Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gốc tọa độ đặt tại A nên A(0;0). Đoạn lên dốc T1 có hệ số góc 2 là tiếp tuyến tại A; đoạn xuống dốc T2 có hệ số góc −3 là tiếp tuyến tại B.
a) y' = 2ax + b nên y'(0) = b = 2 (không phải −2) → sai.
b) Parabol đi qua A(0;0) nên y(0) = c = 0 → đúng.
c) Với a = −1/20, b = 2: y' = −x/10 + 2. Tại B: −x_B/10 + 2 = −3 ⟹ x_B = 50, khoảng cách ngang giữa A và B là 50 m → đúng.
d) y_B = −(1/20)·50² + 2·50 = −125 + 100 = −25, chênh lệch độ cao giữa A và B là 25 m (không phải 20 m) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tiếp tuyến tại A là T1 có hệ số góc 2 nên y'(0)=b=2, không phải −2.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Parabol đi qua A(0;0) nên y(0)=c=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) y' = −x/10 + 2 = −3 tại B ⟹ x_B = 50, khoảng cách ngang giữa A và B là 50 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) y_B = −(1/20)·2500 + 100 = −25 nên chênh lệch độ cao giữa A và B là 25 m, không phải 20 m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=-3t^2+90t+600$. Tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200 nghĩa là $f^{\prime }(t)>1200$, tức $-3t^2+90t+600>1200\iff -3t^2+90t-600>0\iff t^2-30t+200<0\iff (t-10)(t-20)<0\iff 10<t<20$. Vì $t\in \mathbb{N}$, $t\le 30$ nên $t\in \{11,12,13,14,15,16,17,18,19\}$, gồm 9 giá trị. Vậy trong 30 ngày đầu tiên có 9 ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là khoảng cách ngang từ máy bay đến điểm trên trục thẳng đứng qua ra đa, $s$ là khoảng cách từ máy bay đến ra đa. Theo hình vẽ: $s^2=x^2+10^2$. Khi $s=16$ thì $x=\sqrt{16^2-100}=\sqrt{156}$. Đạo hàm hai vế theo $t$: $2s{s}^{\prime }=2x{x}^{\prime }$, nên $x^{\prime }=\frac{s{s}^{\prime }}{x}=\frac{16\cdot 546}{\sqrt{156}}\approx \frac{8736}{12.4900}\approx 699.6$ km/h. Làm tròn đến hàng đơn vị: $700$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
v(t)=s'(t)=3t^2-6t+8=3(t-1)^2+5. a) v(3)=27-18+8=17≠8 → sai. b) s(t)=13 ⇔ t^3-3t^2+8t-12=0, thử t=2: 8-12+16-12=0, nên t=2; v(2)=12-12+8=8 m/s → đúng. c) v(t)=3(t-1)^2+5 ≥ 5, min tại t=1 bằng 5 m/s → đúng. d) a(t)=v'(t)=6t-6; tại t=1 (v nhỏ nhất) a(1)=0≠2 m/s² → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=3t^2-6t+8, v(3)=17 m/s ≠ 8 m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
s(t)=13 ⇔ t^3-3t^2+8t-12=0 có nghiệm t=2; v(2)=8 m/s.
c) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=3(t-1)^2+5 ≥ 5, vận tốc nhỏ nhất 5 m/s tại t=1.
d) (AI giải đề cho tôi)
a(t)=6t-6, tại t=1 thì a(1)=0 m/s² ≠ 2 m/s².

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại 0: ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-b-1=f(0)=1\Rightarrow b=-2$. Đạo hàm phải tại 0: $f_{+}^{\prime }(0)=2a\cdot 0+b=b=-2$. Đạo hàm trái tại 0: $f_{-}^{\prime }(0)=a$. Để có đạo hàm tại 0 cần $a=b=-2$. Vậy $T=a+2b=-2+2(-2)=-6$. Khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+18t+21$. a) $v(2)=-12+36+21=45$ m/s, đúng. b) Đúng theo đạo hàm. c) Dừng hẳn: $v(t)=0⟹t^2-6t-7=0⟹t=7$ ($t>0$). $s(7)=-343+441+147+9=254$ m $\ne 255$ m, sai. d) $v^{\prime }(t)=-6t+18=0⟹t=3$; $v(3)=48$ lớn nhất trên $[0;7]$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+18t+21$; $v(2)=-12+36+21=45$ m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+18t+21$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Dừng hẳn khi $v(t)=0⟹t=7$; $s(7)=-343+441+147+9=254$ m, không phải 255 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v^{\prime }(t)=-6t+18=0⟹t=3$, $v(3)=48$ là giá trị lớn nhất của vận tốc.

(AI giải đề cho tôi)
Với $s(t)=t^2-7t+1$ ta có $v(t)=s^{\prime }(t)=2t-7$, $a(t)=v^{\prime }(t)=2$.

a) $v(t)=0\iff t=3,5$. Trên $[0;3,5]$ vật đi lùi: quãng đường $=|s(3,5)-s(0)|=|(-11,25)-1|=12,25$ m. Trên $[3,5;12]$ vật đi tới: quãng đường $=|s(12)-s(3,5)|=|61-(-11,25)|=72,25$ m. Tổng quãng đường $=12,25+72,25=84,5$ m. Đúng.

b) $a(t)=v^{\prime }(t)=2$ nên tại $t=10$, gia tốc bằng $2$ m/s${}^2$. Đúng.

c) $v(9)=2\cdot 9-7=11$ m/s. Đúng.

d) Trên $[2;5]$, $v(t)=2t-7$ tăng từ $v(2)=-3$ đến $v(5)=3$, qua $0$ tại $t=3,5$. Nếu hiểu vận tốc là độ lớn (tốc độ) thì giá trị nhỏ nhất là $0$ m/s (tại $t=3,5$), không phải $3$ m/s; nếu hiểu là vận tốc có hướng thì giá trị nhỏ nhất là $-3$ m/s. Cả hai cách hiểu đều không cho $3$ m/s. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường $=|s(3,5)-s(0)|+|s(12)-s(3,5)|=12,25+72,25=84,5$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=v^{\prime }(t)=2$ nên tại $t=10$ gia tốc là $2$ m/s${}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(9)=2\cdot 9-7=11$ m/s.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;5]$, tốc độ (độ lớn vận tốc) nhỏ nhất bằng $0$ m/s tại $t=3,5$ (vận tốc có hướng nhỏ nhất là $-3$ m/s tại $t=2$), không phải $3$ m/s.

Đường thẳng $x-3y+1=0\iff y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$ có hệ số góc $k_1=\frac{1}{3}$. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đã cho có hệ số góc $k=-3$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=-3\iff 3(x-1{)}^2=0\iff x_0=1\Rightarrow y_0=0$. Phương trình tiếp tuyến là $y=-3(x-1)\iff 3x+y-3=0$. Chọn đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2+1=x-2⟺x^3-3x^2-x+3=0⟺x\in \{-1;1;3\}$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x$, nên tổng hệ số góc là $y^{\prime }(-1)+y^{\prime }(1)+y^{\prime }(3)=9+(-3)+9=15$. Chọn D.

Phần dưới của bể là hình nón ngược nên khi bơm nước với tốc độ không đổi, tiết diện mặt nước tăng dần làm tốc độ tăng của $h$ giảm dần (đồ thị lõm xuống); khi mực nước lên đến phần hình trụ phía trên thì tiết diện không đổi nên $h$ tăng bậc nhất theo $t$ (đoạn thẳng đi lên). Đồ thị phù hợp là hình A. Chọn A.

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-3$.

Gọi $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M$: $y=(3x_0^2-3)(x-x_0)+y_0=(3x_0^2-3)x-3x_0^3+3x_0+y_0$.

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$ song song với đường thẳng $y=9x-14$ nên ta có:

$\{\begin{array}{l}3x_0^2-3=9\\ -3x_0^3+3x_0+y_0\ne -14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_0^2=4\\ -3x_0^3+3x_0+(x_0^3-3x_0+2)\ne -14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_0=\pm 2\\ -2x_0^3\ne -16\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_0=\pm 2\\ x_0\ne 2\end{array}\Rightarrow x_0=-2$.

Vậy có một tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+2$ song song với đường thẳng $y=9x-14$.

Chọn hệ trục tọa độ $Axy$ với $A(0;0),B(10;0),D(0;10)$. Tại thời điểm $t$, $Q(10;t)$ nên đường thẳng $AQ$ có phương trình $y=\frac{t}{10}x$. Gọi $s$ là cạnh hình vuông $DMNP$, khi đó $N(s;10-s)\in AQ\Rightarrow 10-s=\frac{t}{10}s\iff s=\frac{100}{t+10}$. Diện tích hình vuông là $S(t)=s^2=\frac{10000}{(t+10{)}^2}$, suy ra $S^{\prime }(t)=-\frac{20000}{(t+10{)}^3}$. Tại $t=5$, tốc độ giảm diện tích là $-S^{\prime }(5)=\frac{20000}{15^3}=\frac{160}{27}\approx 5,93$ $({\text{m}}^2/\text{s})$.

Theo định nghĩa đạo hàm:
$f^{\prime }(2023)={\lim }_{x\to 2023}\frac{f(x)-f(2023)}{x-2023}={\lim }_{x\to 2023}(x-1)(x-2)\dots (x-2022)=2022\cdot 2021\dots 1=2022!.$

Ta có $v(t)=x^{\prime }(t)=10t(4-t)e^{-0,5t}$.
a) $v(0)=0\text{ m/s}\ne 20\text{ m/s}$. Sai.
b) Với $t>0$, $v(t)$ chỉ đổi dấu duy nhất một lần tại $t=4$. Đúng.
c) ${\max }_{t\ge 0}x(t)=x(4)=320e^{-2}\text{ (m)}$. Đúng.
d) Sau thời điểm $t=4$, hạt quay lại về phía $O$ (${\lim }_{t\to +\infty }x(t)=0$) nên tổng quãng đường tiệm cận $640e^{-2}>320e^{-2}$. Sai.

a) Đúng. Tại $t=0$, $f(0)=94-12\ln 1=94\%$.
b) Sai. Đạo hàm của $f(t)=94-12\ln (3t+1)$ là $f^{\prime }(t)=-\frac{12\cdot 3}{3t+1}=-\frac{36}{3t+1}$.
c) Sai. Tại $t=3$, tốc độ giảm sút kiến thức của bạn Thành là $|f^{\prime }(3)|=\frac{36}{3\cdot 3+1}=3,6\%$/tháng $\ne 1,2\%$/tháng.
d) Đúng. Gọi $g(t)$ là phần trăm kiến thức bạn Công còn nhớ sau $t$ tháng. Vì $f^{\prime }(t)=3g^{\prime }(t)$ nên $g^{\prime }(t)=-\frac{12}{3t+1}\Rightarrow g(t)=-4\ln (3t+1)+C$. Do $g(0)=96\Rightarrow C=96$, suy ra $g(3)=96-4\ln 10\approx 86,79\%>85\%$.

Vận tốc $v(t)=y^{\prime }(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-12$.
a) Đúng vì trên $(1;3)$ thì $v(t)<0$.
b) Đúng vì $v(1)=v(3)=0$.
c) Đúng vì $a^{\prime }(t)=6>0$.
d) Sai vì trên $[0;3]$ vật chỉ đổi chiều tại $t=1$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 1 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

- Ý a: Khóa học vừa kết thúc tương ứng với $t=0$. Ta có $f(0)=92-20\ln (1)=92\%$. Vậy ý a đúng.
- Ý b: Đạo hàm $f^{\prime }(t)={\left(92-20\ln (t+1)\right)}^{\prime }=-\frac{20}{t+1}$. Vậy ý b đúng.
- Ý c: Tại thời điểm $t=4$, tốc độ giảm sút kiến thức của bạn Thành là $|f^{\prime }(4)|=\frac{20}{4+1}=4\%$/tháng $\ne 4,5\%$/tháng. Vậy ý c sai.
- Ý d: Vì tốc độ thay đổi của bạn Thành gấp $2$ lần của bạn Công nên $f^{\prime }(t)=2g^{\prime }(t)⟹g^{\prime }(t)=-\frac{10}{t+1}$, suy ra $g(t)=90-10\ln (t+1)$. Tại $t=4$, lượng kiến thức bạn Công còn nhớ là $g(4)=90-10\ln (5)\approx 90-10\cdot 1,6094=73,9\%<75\%$. Vậy ý d sai.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 102, trang 6), Câu 4 (Phần II): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Thay $x=0$ vào hệ thức: $[f(1){]}^2+[f(1){]}^3=0\iff f(1)=0$ hoặc $f(1)=-1$. Đạo hàm hai vế theo $x$: $4f(2x+1)f^{\prime }(2x+1)-3[f(1-x){]}^2{f}^{\prime }(1-x)=1$. Thay $x=0$: $4f(1)f^{\prime }(1)-3[f(1){]}^2{f}^{\prime }(1)=1$, suy ra $f(1)\ne 0\Rightarrow f(1)=-1$. Khi đó $-4f^{\prime }(1)-3f^{\prime }(1)=1\Rightarrow f^{\prime }(1)=-\frac{1}{7}$. Phương trình tiếp tuyến tại $x=1$: $y=-\frac{1}{7}(x-1)-1=-\frac{1}{7}x-\frac{6}{7}$ (theo đáp án chính thức của đề là B). Chọn B.

Trên $(0;+\infty )$, ta có $x{f}^{\prime }(x)+f(x)=4x^3+3x^2\iff (xf(x){)}^{\prime }=4x^3+3x^2\Rightarrow xf(x)=x^4+x^3+C$.

Thay $x=1,f(1)=2\Rightarrow C=0\Rightarrow f(x)=x^3+x^2$.

Tại $x=2$: $f(2)=12$ và $f^{\prime }(2)=3(2{)}^2+2(2)=16$. Phương trình tiếp tuyến là $y=16(x-2)+12=16x-20$.