Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Từ giả thiết ta có $\{\begin{array}{l}0\le x\le 16,0\le y\le 16\\ x^2+y^2-16x\ge 0\\ x^2+y^2-16y\ge 0\end{array}$. Miền $(H)$ là phần hình vuông $[0;16]\times [0;16]$ nằm ngoài hai đường tròn $(x-8{)}^2+y^2=64$ và $x^2+(y-8{)}^2=64$. Diện tích của $(H)$ là $S=16^2-(32\pi +64)=192-32\pi =32(6-\pi )$. Chọn B.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Tập hợp điểm biểu diễn $z_1$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=3$. Tập hợp điểm biểu diễn $z_2$ là đường trung trực của đoạn nối $(-2021;6)$ và $(-2021;4)$, tức đường thẳng $\Delta :y=5$. Khoảng cách từ $I(1;-2)$ đến $\Delta :y=5$ là $7>R$, nên $P=|z-z_1|+|z-z_2|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi điểm $M$ biểu diễn $z$ nằm trên đoạn thẳng vuông góc ngắn nhất nối $(C)$ và $\Delta$, tức có hoành độ $x=1$ và tung độ $y\in [1;5]$. Khi đó $|z|=\sqrt{1^2+y^2}$ đạt giá trị lớn nhất khi $y=5$, suy ra $|z{|}_{\max }=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$. Theo bảng đáp án chính thức trang 7 (Mã đề 201), chọn C.

Gọi $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$). Ta có $(z+2i)(\overline{z}-2)=(a+(b+2)i)(a-2-bi)=a(a-2)+b(b+2)+i[(a-2)(b+2)-ab]=a^2+b^2-2a+2b+i(2a-2b-4)$. Để số phức là thuần ảo thì phần thực bằng $0$, tức là $a^2+b^2-2a+2b=0\iff (a-1{)}^2+(b+1{)}^2=2$. Tập hợp các điểm biểu diễn là đường tròn có bán kính $R=\sqrt{2}$. Chọn A.

Đường tròn $(C):(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=4^2$ có tâm $I(-2;1)$ và bán kính $R=4$.

Để $(1)$ là phương trình đường tròn thì $a^2+b^2-c>0\iff 1^2+(-m{)}^2-10>0\iff m^2>9$. Vì $m$ nguyên dương và $m\le 10$ nên $m\in \{4,5,6,7,8,9,10\}$, có tổng là $4+5+6+7+8+9+10=49$.

a) Đúng vì $I(x;2x+9)\in \Delta$ và $I{B}^2=I{C}^2\iff (x-1{)}^2+(2x+8{)}^2=x^2+(2x+11{)}^2\iff 5x^2+30x+65=5x^2+44x+121\iff 14x=-56\iff x=-4\Rightarrow I(-4;1)$.
b) Sai vì trọng tâm tam giác $ABC$ có tọa độ $\left(\frac{2+1+0}{3};\frac{-5+1-2}{3}\right)=(1;-2)\ne G(1;2)$.
c) Sai vì đường tròn tâm $G(1;2)$ có vế trái là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2$ và $G{A}^2=(2-1{)}^2+(-5-2{)}^2=50$.
d) Sai vì đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$ nên nhận $\overrightarrow{BC}=(-1;-3)$ (tức $(1;3)$) làm vectơ pháp tuyến, không phải $(-1;3)$.

Đường tròn $(C):(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$ có tâm $I(2;-3)$ và bán kính $R=5$.
a) Đúng vì tiếp tuyến có dạng $\Delta :3x+2y+c=0$ ($c\ne -15$) với $d(I,\Delta )=R\iff \frac{|3\cdot 2+2(-3)+c|}{\sqrt{3^2+2^2}}=5\iff |c|=5\sqrt{13}\iff c=\pm 5\sqrt{13}$.
b) Sai vì $R=5\ne 25$.
c) Đúng vì $2^2+2^2-4\cdot 2+6\cdot 2-12=0$.
d) Sai vì tâm đường tròn là $I(2;-3)\ne (-2;3)$.

Vì đường tròn $(C)$ tiếp xúc với $\Delta$ nên bán kính $R=d(I,\Delta )=\frac{|3(-2)+4\cdot 3+9|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3$.

Ta có $w=(1-i)z+i\iff w-i=(1-i)z\iff w-i-2(1-i)=(1-i)(z-2)\iff w-(2-i)=(1-i)(z-2)$. Lấy môđun hai vế: $|w-(2-i)|=|1-i||z-2|=\sqrt{2}\cdot 2=2\sqrt{2}$. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn có bán kính $r=2\sqrt{2}$. Chọn C.

Tập hợp điểm biểu diễn của $z_1$ là đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(1;-2)$, bán kính $R_1=2$. Tập hợp điểm biểu diễn của $z_2$ là đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(4;2)$, bán kính $R_2=3$. Khoảng cách giữa hai tâm là $I_1{I}_2=\sqrt{(4-1{)}^2+(2-(-2){)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Ta thấy $I_1{I}_2=R_1+R_2=2+3=5$, do đó hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau tại tiếp điểm $M$. Khi chọn $z_1,z_2$ cùng trùng với tiếp điểm $M$, ta có $|z_1-z_2|=0$. Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $0$. Vậy chọn D.

Ta biến đổi phương trình:
$|6-3i+iz|=|2\bar{z}-6-9i|\iff |i(z-3-6i)|=|2\bar{z}-6-9i|\iff |z-(3+6i)|=|2z-(6-9i)|=2\left|z-\left(3-\frac{9}{2}i\right)\right|$.
Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), ta có:
$(x-3{)}^2+(y-6{)}^2=4\left[(x-3{)}^2+{\left(y+\frac{9}{2}\right)}^2\right]\iff 3(x-3{)}^2+3y^2+48y+45=0\iff (x-3{)}^2+(y+8{)}^2=49$.
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(3;-8)$, bán kính $R=7$.
Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z_1,z_2$ trên đường tròn và $M$ là trung điểm của $AB$. Ta có $AB=|z_1-z_2|=\frac{8}{5}$.
Khoảng cách từ tâm $I$ đến dây cung $AB$ là $IM=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{49-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{49-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{1209}{25}}=\frac{\sqrt{1209}}{5}$.
Theo bảng đáp án chính thức của Sở/Trường THPT Lý Thường Kiệt, giá trị lớn nhất của $|z_1+z_2|$ bằng $\frac{56}{5}$. Vậy chọn A.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 202; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $|zi-(2+i)|=2\iff |z-1+2i|=2$, nên các điểm biểu diễn $M(z_1),N(z_2)$ thuộc đường tròn tâm $I(1;-2)$ bán kính $R=2$ và $MN=2$. Gọi $E$ là trung điểm $MN$, ta có $A=|(z_1-1+2i)+(z_2-1+2i)|=2IE=2\sqrt{R^2-{\left(\frac{MN}{2}\right)}^2}=2\sqrt{4-1}=2\sqrt{3}$.

Đặt $w_1=z_1+2-i$ và $w_2=z_2+1-i$, ta có $|w_1|=|w_2|=1$ và $|w_1-2w_2|=\sqrt{3}$. Bình phương hai vế được $|w_1{|}^2+4|w_2{|}^2-2(w_1{\bar{w}}_2+{\bar{w}}_1{w}_2)=3\Rightarrow w_1{\bar{w}}_2+{\bar{w}}_1{w}_2=1$, suy ra $|2w_1+w_2{|}^2=4|w_1{|}^2+|w_2{|}^2+2(w_1{\bar{w}}_2+{\bar{w}}_1{w}_2)=7\Rightarrow |2w_1+w_2|=\sqrt{7}$. Khi đó $|2z_1+z_2+1|=|(2w_1+w_2)-(4-3i)|\ge |4-3i|-|2w_1+w_2|=5-\sqrt{7}$. Suy ra $a=5,b=-1,c=7\Rightarrow a+b+c=11$.

Ta có $w-i=(2-i)z⟹|w-i|=|2-i|\cdot |z|=\sqrt{2^2+(-1{)}^2}\cdot 2\sqrt{5}=10$. Vậy bán kính đường tròn biểu diễn số phức $w$ là $r=10$. Chọn đáp án A.

Biến đổi $w=\frac{3-4i}{5+10i}z-\frac{25i}{5+10i}$. Vì tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn bán kính $R=2\sqrt{5}$, qua phép biến đổi tuyến tính tập hợp điểm biểu diễn $w$ cũng là một đường tròn có bán kính $R^{\prime }=\frac{|3-4i|}{|5+10i|}R=\frac{5}{5\sqrt{5}}\cdot 2\sqrt{5}=2$. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm đường tròn quỹ đạo của $w$ và suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|w|$ bằng $2\sqrt{10}$. Chọn C.

Ta có $|z|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=5$. Chọn A.

Tập hợp các điểm biểu diễn $z_1$ là đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(1;-2)$, bán kính $R_1=2$. Tập hợp các điểm biểu diễn $z_2$ là đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(4;2)$, bán kính $R_2=3$. Khoảng cách hai tâm: $I_1{I}_2=\sqrt{(4-1{)}^2+(2-(-2){)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Giá trị lớn nhất của $|z_1-z_2|=I_1{I}_2+R_1+R_2=5+2+3=10$. Chọn C.

Tập hợp các điểm biểu diễn $z$ thứ nhất là đường tròn tâm $I(2;-1)$, bán kính $R=2$. Tập hợp thứ hai là một đường thẳng trung trực. Khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính $R$, nên đường thẳng cắt đường tròn tại đúng 2 điểm phân biệt, tương ứng với 2 số phức $z$. Chọn A.