Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. So sánh với $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ ta được $a=-2,b=2,c=3$ (thỏa $b\le 2$). Vậy $S=a+b+c=-2+2+3=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, suy ra $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=3\sin x+4\cos x+1=5\sin (x+\phi )+1$ với $\tan \phi =\frac{4}{3}$. Do đó $M=5+1=6$, $m=-5+1=-4$. Vậy $S=2M+m=2\cdot 6+(-4)=8$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $A=\frac{2\sin x-3\cos x}{\sin x-\cos x}$ cho $\cos x\ne 0$ (vì $\tan x=\frac{1}{3}$ tồn tại), ta được $A=\frac{2\tan x-3}{\tan x-1}=\frac{2\cdot \frac{1}{3}-3}{\frac{1}{3}-1}=\frac{-\frac{7}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{7}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức hiệu hai sin: $\sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$ với $u=\frac{2\pi }{3}-\alpha$, $v=\frac{2\pi }{3}+\alpha$. Khi đó $A=2\cos \frac{2\pi }{3}\sin (-\alpha )=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot (-\sin \alpha )=\sin \alpha$. Vậy $A=1\cdot \sin \alpha$, suy ra $k=1$, trùng với đáp án của đề (mã đề 6789, Phần III câu 2: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tổng hai cos: $\cos (x-y)+\cos (x+y)=2\cos x\cos y$. Với $x=\frac{2\pi }{3}$, ta có $A=2\cos \frac{2\pi }{3}\cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cos \alpha =-\cos \alpha$. Vậy $k=-1$, trùng với đáp án của đề (mã đề 4567, Phần III câu 2: $-1$).

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức biến đổi tổng thành hiệu: $\sin (x-\alpha )-\sin (x+\alpha )=-2\cos x\sin \alpha$ với $x=\frac{2\pi }{3}$. Do đó $A=-2\cos \frac{2\pi }{3}\sin \alpha =-2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\sin \alpha =\sin \alpha$. Vậy $A=1\cdot \sin \alpha$, suy ra $k=1$, trùng với đáp án của đề (mã đề 2345, Phần III câu 1: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tổng hai cosin: $\cos (x-y)+\cos (x+y)=2\cos x\cos y$. Với $x=\frac{2\pi }{3}$, ta có $A=2\cos \frac{2\pi }{3}\cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cos \alpha =-\cos \alpha$. Vậy $k=-1$, trùng với đáp án của đề (mã đề 0123, Phần III câu 1: $-1$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ nên $x$ ở góc phần tư thứ III, do đó $\sin x<0$. Ta có $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{144}{169}}=-\frac{5}{13}$.

1) Tính $\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)$:
$$\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos x-\cos \frac{\pi }{3}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}.$$

2) Tính $\sin 2x$:
$$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{120}{169}.$$

3) Tính $\cos 2x$:
$$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\frac{144}{169}-\frac{25}{169}=\frac{119}{169}.$$

Vậy $\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}$; $\sin 2x=\frac{120}{169}$; $\cos 2x=\frac{119}{169}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos \alpha =\frac{2}{3}\ne 0$ nên $\tan \alpha ,\cot \alpha$ xác định. Chia cả tử và mẫu của $A$ cho $\tan \alpha$ (với $\tan \alpha \ne 0$, tức $\sin \alpha \ne 0$): $$A=\frac{1+3{\cot }^2\alpha }{1+{\cot }^2\alpha }.$$ Ta có $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ và ${\cot }^2\alpha =\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$, do đó $$A=\frac{1+3\cdot \frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }}{\frac{1}{{\sin }^2\alpha }}={\sin }^2\alpha +3{\cos }^2\alpha =1+2{\cos }^2\alpha .$$ Thay $\cos \alpha =\frac{2}{3}$: $$A=1+2\cdot \frac{4}{9}=1+\frac{8}{9}=\frac{17}{9}.$$ Vậy $A=\frac{17}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\tan \alpha =3$ nên $\cos \alpha \ne 0$ và $\sin \alpha =3\cos \alpha$. Từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ suy ra $9{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, tức ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$.

Cách gọn: chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$ (hoặc thay $\sin \alpha =3\cos \alpha$):

- Tử số: $\sin \alpha -\cos \alpha =3\cos \alpha -\cos \alpha =2\cos \alpha$.

- Mẫu số: ${\sin }^3\alpha +3{\cos }^3\alpha +2\sin \alpha =27{\cos }^3\alpha +3{\cos }^3\alpha +6\cos \alpha =30{\cos }^3\alpha +6\cos \alpha =6\cos \alpha \left(5{\cos }^2\alpha +1\right)$.

Do đó:
$$B=\frac{2\cos \alpha }{6\cos \alpha \left(5{\cos }^2\alpha +1\right)}=\frac{1}{3\left(5{\cos }^2\alpha +1\right)}$$

Thay ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$:
$$B=\frac{1}{3\left(\frac{5}{10}+1\right)}=\frac{1}{3\cdot \frac{3}{2}}=\frac{2}{9}$$

Kiểm tra lại bằng cách chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$: $B=\frac{\tan \alpha -1}{{\cos }^2\alpha ({\tan }^3\alpha +3)+2\tan \alpha }=\frac{3-1}{\frac{1}{10}(27+3)+6}=\frac{2}{3+6}=\frac{2}{9}$. Hai cách cho cùng kết quả.

Vậy $B=\frac{2}{9}$. Kết quả không phụ thuộc dấu của $\cos \alpha$ (dù $\alpha$ ở góc phần tư thứ I hay thứ III) vì biểu thức cuối chỉ phụ thuộc ${\cos }^2\alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4. Chứng minh các đẳng thức (giả sử các biểu thức đều có nghĩa).

a) VT = ${\cos }^{4}x+2{\sin }^{2}x$. Ta có ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, nên:
$${\cos }^{4}x=(1-{\sin }^{2}x{)}^2=1-2{\sin }^{2}x+{\sin }^{4}x.$$
Do đó:
$${\cos }^{4}x+2{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x+{\sin }^{4}x+2{\sin }^{2}x=1+{\sin }^{4}x=\text{VP}.$$
Vậy ${\cos }^{4}x+2{\sin }^{2}x=1+{\sin }^{4}x$. Đẳng thức được chứng minh.

b) Áp dụng hằng đẳng thức $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ với $a=\sin \alpha$, $b=\cos \alpha$:
$${\sin }^3\alpha +{\cos }^3\alpha =(\sin \alpha +\cos \alpha )({\sin }^2\alpha -\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha ).$$
Vì $\sin \alpha +\cos \alpha \ne 0$ (biểu thức có nghĩa), ta được:
$$\frac{{\sin }^3\alpha +{\cos }^3\alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -\sin \alpha \cos \alpha =1-\sin \alpha \cos \alpha =\text{VP}.$$
(đã dùng ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$).
Vậy $\frac{{\sin }^3\alpha +{\cos }^3\alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }=1-\sin \alpha \cos \alpha$. Đẳng thức được chứng minh.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\sin }^{2}30^{\circ }={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$, ${\cos }^{2}30^{\circ }={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$, $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}$.

Tính từng thành phần:
- $\frac{2{\sin }^{2}30^{\circ }}{1-2{\cos }^{2}30^{\circ }}=\frac{2\cdot \frac{1}{4}}{1-2\cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{3}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=-1$.
- $4\sin 60^{\circ }=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$.
- $\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}$.

Vậy $B=-1+2\sqrt{3}-\sqrt{3}=-1+\sqrt{3}\approx -1+1,7321=0,7321\approx 0,73$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,73$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\sin }^{2}30^{\circ }=\frac{1}{4}$ nên $2{\sin }^{2}30^{\circ }=\frac{1}{2}$; ${\cos }^{2}30^{\circ }=\frac{3}{4}$ nên $1-2{\cos }^{2}30^{\circ }=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$. Do đó $\frac{2{\sin }^{2}30^{\circ }}{1-2{\cos }^{2}30^{\circ }}=\frac{1/2}{-1/2}=-1$. Tiếp theo $4\sin 60^{\circ }=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ và $\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}$. Vậy $B=-1+2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1\approx 1,7321-1=0,7321\approx 0,73$, khớp với đáp án nguồn 0,73.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=9$ vào công thức: $h(9)=-4\sin \left(\frac{\pi \cdot 9}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+5=-4\sin \left(\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)+5=-4\sin \frac{11\pi }{6}+5$. Vì $\sin \frac{11\pi }{6}=-\frac{1}{2}$ nên $h(9)=-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+5=2+5=7$ (m). Vậy độ sâu mực nước lúc 9 giờ sáng là 7 m.

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2 < α < π nên α thuộc góc phần tư thứ II, do đó cos α < 0 và tan α < 0. a) Sai vì cos α < 0. b) Sai vì cos α = -√(1 - 9/25) = -4/5 (không phải 4/5). c) Sai vì tan α = sin α / cos α = (3/5)/(-4/5) = -3/4. d) Đúng: tan(α + π/3) = (tan α + tan π/3)/(1 - tan α · tan π/3) = (-3/4 + √3)/(1 + 3√3/4) = (4√3 - 3)/(4 + 3√3). Nhân với liên hợp (4 - 3√3): (4√3 - 3)(4 - 3√3)/(16 - 27) = (16√3 - 36 - 12 + 9√3)/(-11) = (25√3 - 48)/(-11) = (48 - 25√3)/11.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì π/2 < α < π nên cos α < 0, khẳng định cos α > 0 sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos α = -√(1 - sin²α) = -√(1 - 9/25) = -4/5 (âm vì α ở góc phần tư II), không phải 4/5.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan α = (3/5)/(-4/5) = -3/4, không phải 3/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan(α + π/3) = (tan α + √3)/(1 - tan α·√3) = (-3/4 + √3)/(1 + 3√3/4) = (4√3 - 3)/(4 + 3√3) = (4√3 - 3)(4 - 3√3)/(16 - 27) = (25√3 - 48)/(-11) = (48 - 25√3)/11. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: sin²x − cos²x = −cos2x, không bằng 1 với mọi x (ví dụ x=0 thì biểu thức bằng −1). b) Đúng: 108° = 108·π/180 = 3π/5. c) Sai: phương trình tan(2x−π/3)=√3 cho 2x−π/3=π/3+kπ, tức x=π/3+kπ/2, không phải x=π/6+kπ/2 (thử x=π/6: tan(0)=0≠√3). d) Sai: hàm y=1/sin x xác định khi sin x≠0, tức x≠kπ, nên tập xác định là ℝ\{kπ}, không phải ℝ.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin²x − cos²x = −cos2x; tại x=0 giá trị là −1 ≠ 1, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
108° = 108·(π/180) = 3π/5, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan(2x−π/3)=√3 ⟹ 2x−π/3=π/3+kπ ⟹ x=π/3+kπ/2. Với x=π/6 thì 2x−π/3=0 và tan0=0≠√3, nên nghiệm đưa ra sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
y=1/sin x xác định khi sin x≠0, tức x≠kπ; tập xác định là ℝ\{kπ}, không phải ℝ.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ nên $\cos a<0$, $\tan a<0$, $\cot a<0$.

$\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$.

$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}$.

$\cot a=\frac{1}{\tan a}=-\frac{3}{4}$.

Vậy $\sin a=\frac{4}{5},\cos a=-\frac{3}{5},\tan a=-\frac{4}{3},\cot a=-\frac{3}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn từng thành phần:
- $\sin (3\pi +x)=\sin (\pi +x)=-\sin x$ (vì $3\pi =\pi +2\pi$).
- $\cos \left(\frac{9\pi }{2}-x\right)=\cos \left(4\pi +\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$.
- $\cot \frac{3\pi }{4}=\cot \left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)=-\cot \frac{\pi }{4}=-1$.

Vậy biểu thức $=-\sin x+\sin x-1=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<a<\frac{\pi }{2}$ và $\cos a=\frac{4}{5}$ nên $\sin a=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$ (d) Đúng. a) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}\ne \frac{12}{25}$ → Sai. b) $\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)=\sin a=\frac{3}{5}>0$ → Đúng. c) $\cos \left(a-\frac{\pi }{3}\right)=\cos a\cos \frac{\pi }{3}+\sin a\sin \frac{\pi }{3}=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: a)S - b)Đ - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}\ne \frac{12}{25}$ nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\frac{\pi }{2}-a\right)=\sin a=\frac{3}{5}>0$ nên mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(a-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$ nên mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<a<\frac{\pi }{2}$ nên $\sin a>0$, do đó $\sin a=\sqrt{1-{\cos }^{2}a}=\frac{3}{5}$ nên mệnh đề đúng.