Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P$ cho $\cos x\ne 0$ (vì $\tan x=2$): $P=\frac{\tan x-5}{\tan x+1}=\frac{2-5}{2+1}=\frac{-3}{3}=-1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 111, Câu 1: -1).

a. Ta có:
$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$$
$$P={\cos }^{2}2x+{\cos }^{2}x={\left(2{\cos }^{2}x-1\right)}^2+{\cos }^{2}x$$
$$={\left(2.\frac{16}{25}-1\right)}^2+\frac{16}{25}=\frac{449}{625}$$
b. Giải phương trình:
$$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)$$
$$\iff [<table><tbody><tr><td>x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr><tr><td>x-\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$$

a. Ta có:
$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{24}{25}$$
$$P={\cos }^{2}2x+{\cos }^{2}x={\left(2{\cos }^{2}x-1\right)}^2+{\cos }^{2}x={\left(2.\frac{24}{25}-1\right)}^2+\frac{24}{25}=\frac{1129}{625}$$
b. Giải phương trình:
$$\cos \left(x-\frac{\pi }{5}\right)=\frac{1}{2}$$
$$\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{5}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)$$
$$\iff [<table><tbody><tr><td>x-\frac{\pi }{5}=\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr><tr><td>x-\frac{\pi }{5}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi </td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=\frac{8\pi }{15}+k2\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{2\pi }{15}+k2\pi </td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ IV, do đó $\cos \alpha >0$. Ta có $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{12}{5}<0$, nên phát biểu c) sai. Với d): $\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}\ne \frac{5-\sqrt{3}}{26}$, nên phát biểu d) sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn DDSS (mã đề 1102).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV nên $\cos \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\sqrt{1-{\left(-\frac{12}{13}\right)}^2}=\frac{5}{13}$ (dương vì $\alpha$ ở góc phần tư IV).
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{-12/13}{5/13}=-\frac{12}{5}\ne \frac{12}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}\ne \frac{5-\sqrt{3}}{26}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Vì $0<\beta <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \beta >0$: $\sin \beta =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Do đó $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}-\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{5}{13}=\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=\frac{56}{65}\approx 0,8615\approx 0,86$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,86$ (bảng đáp án mã đề 1102, câu 20).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ IV, do đó $\cos \alpha >0$. Ta có $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{12}{5}$ (âm, không phải $\frac{12}{5}$). Với d): $\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}\ne \frac{5-\sqrt{3}}{26}$. Kết quả a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai, khớp đáp án DDSS của mã đề 1101.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ (góc phần tư IV) nên $\cos \alpha >0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$ (dương vì $\alpha$ ở góc phần tư IV). Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-12/13}{5/13}=-\frac{12}{5}\ne \frac{12}{5}$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}\ne \frac{5-\sqrt{3}}{26}$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Vì $0<\beta <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \beta =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Áp dụng công thức: $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}-\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{5}{13}=\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=\frac{56}{65}\approx 0,8615\approx 0,86$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,86$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16: Kiểm tra các công thức biến đổi tổng thành tích. - B đúng: $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$. - C đúng: $\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$. - D đúng: $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$. - A SAI vì công thức đúng phải là $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$, còn đáp án A lại viết $2\cos \frac{a-b}{2}\sin \frac{a+b}{2}$ (hoán vị nhầm giữa hai nửa tổng và nửa hiệu). Ví dụ kiểm tra: $a=\pi ,b=0$ thì $\sin a-\sin b=0$, nhưng theo A: $2\cos \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2}=0$ (trùng hợp); thử $a=\frac{\pi }{2},b=0$: vế trái $=1$, theo A: $2\cos \frac{\pi }{4}\sin \frac{\pi }{4}=1$ (vẫn trùng vì $b=0$); thử $a=\frac{\pi }{2},b=\frac{\pi }{6}$: vế trái $=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, theo A: $2\cos \frac{\pi }{6}\sin \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\ne \frac{1}{2}$. Vậy A sai. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\sin \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, suy ra $\sin \alpha =-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Kết quả trùng với đáp án C và với bảng đáp án (mã đề 1131, câu 23: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\sin \alpha <0$ và $\tan \alpha <0$.

a) Sai: Theo hệ thức cơ bản ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ nên $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$ (dấu trừ vì $\sin \alpha <0$), không phải $+\frac{\sqrt{7}}{4}$.

b) Đúng: $\cos (\alpha +21\pi )=\cos (\alpha +\pi +20\pi )=\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha =-\frac{3}{4}$.

c) Đúng: Với $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{\sqrt{7}}{3}$, ta có
$$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\tan \alpha +\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\tan \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{7}}{3}+\sqrt{3}}{1+\frac{\sqrt{21}}{3}}=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{3+\sqrt{21}}.$$
Kiểm tra số: $\tan (\alpha +\frac{\pi }{3})\approx \frac{1.7321-0.8819}{1+0.8819\cdot 1.7321}\approx 0.3364$, cộng $\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 2.3094$ được $\approx 2.6458=\sqrt{7}$. Vậy $M=\sqrt{7}$.

d) Sai: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\cdot \frac{3}{4}=-\frac{3\sqrt{7}}{8}\ne -\frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp bảng chấm mã đề 102 Phần II Câu 2 (a: S, b: Đ, c: Đ, d: S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0$: $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}\ne \frac{\sqrt{7}}{4}$. Ý a) Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cos (\alpha +21\pi )=\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha =-\frac{3}{4}$. Ý b) Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $\tan \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{3}$, $\tan (\alpha +\frac{\pi }{3})=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{3+\sqrt{21}}\approx 0.3364$; cộng $\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 2.3094$ được $\sqrt{7}\approx 2.6458$. Ý c) Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{3\sqrt{7}}{8}\ne -\frac{3\sqrt{7}}{16}$. Ý d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b$ nhọn nên $\sin a=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\sin b=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$. Dùng công thức nhân: $\cos (a+b)\cos (a-b)={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}b=\frac{4}{9}-\frac{7}{16}=\frac{64-63}{144}=\frac{1}{144}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $\frac{1}{144}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b$ nhọn nên $\sin a=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\sin b=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$. Áp dụng công thức nhân: $\cos (a+b)\cos (a-b)={\cos }^{2}a{\cos }^{2}b-{\sin }^{2}a{\sin }^{2}b=\frac{4}{9}\cdot \frac{9}{16}-\frac{5}{9}\cdot \frac{7}{16}=\frac{36}{144}-\frac{35}{144}=\frac{1}{144}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $\frac{1}{144}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $\cos x$ (vì $\tan x=-1$ nên $\cos x\ne 0$): $P=\frac{8+6\tan x}{-4+\tan x}=\frac{8+6(-1)}{-4+(-1)}=\frac{2}{-5}=-0,4$. Kết quả khớp với đáp án $-0,4$ của đề (mã 469).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Áp dụng công thức hiệu hai góc: $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{6}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{\sqrt{2}}{3}$. Kết quả trùng với phương án C, cũng khớp với đáp án ma đề 469 là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha \in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ nên $\cos \alpha >0$: $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Áp dụng công thức hiệu: $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{6}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{\sqrt{2}}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{6}$. Kết quả trùng với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 357).

(AI giải đề cho tôi)
Chia cả tử và mẫu cho $\cos x$ (vì $\tan x=1$ nên $\cos x\ne 0$): $P=\frac{2+5\tan x}{1-3\tan x}=\frac{2+5}{1-3}=\frac{7}{-2}=-3,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-3,5$.

Ta có: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$
Vì $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên $\sin \alpha >0$,
$\Rightarrow \sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
$T=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).\frac{\sqrt{3}}{2}$
$T=\frac{\sqrt{15}+2\sqrt{5}}{10}$

Thang điểm: + Tìm đúng $\sin \alpha$: 0,25 đ; + KT đúng CT: 0,25 đ; + Thay đúng GT: 0,25 đ; + Tính đúng T: 0,25 đ.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cot α = 2 > 0 và 0° < α < 180° nên tan α = 1/2 > 0, suy ra α là góc nhọn, sin α > 0, cos α > 0.
a) sin²α = 1/(1+cot²α) = 1/5, sin α > 0 nên sin α = 1/√5 = √5/5. Đúng.
b) α là góc nhọn nên 0 < sin α < 1, do đó 0 < sin α ≤ 1. Đúng.
c) Chia tử và mẫu cho sin α: P = (1 + 2cot α)/(1 − cot α) = (1+4)/(1−2) = −5. Đúng.
d) Đẳng thức đúng phải là 1/cos²α = tan²α + 1 = 5/4, còn cot²α + 1 = 5, nên khẳng định sai. Kết quả Đ-Đ-Đ-S khớp đáp án nguồn (mã 102, câu 13: ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
sin²α = 1/(1+cot²α) = 1/5, sin α > 0 nên sin α = √5/5.
b) (AI giải đề cho tôi)
cot α = 2 > 0 với 0°<α<180° nên α là góc nhọn, 0 < sin α < 1 ≤ 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
P = (1+2cot α)/(1−cot α) = 5/(−1) = −5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là 1/cos²α = tan²α + 1 = 5/4, còn cot²α + 1 = 5, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $3\cos \alpha -\sin \alpha =1$ ta có $\sin \alpha =3\cos \alpha -1$. Thay vào ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$: $(3\cos \alpha -1{)}^2+{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow 10{\cos }^2\alpha -6\cos \alpha =0\Rightarrow \cos \alpha (10\cos \alpha -6)=0$. Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha \ne 0$, suy ra $\cos \alpha =\frac{3}{5}$, khi đó $\sin \alpha =3\cdot \frac{3}{5}-1=\frac{4}{5}$. Vậy $M=3\sin \alpha +\cos \alpha =3\cdot \frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{15}{5}=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 21 = 3).

Đáp án mã đề 101, câu 15: Đ S Đ Đ.
a) Đúng. Chia tử và mẫu cho $\sin \alpha$ (với $\sin \alpha \ne 0$ vì $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$): $P=\frac{1+2\cot \alpha }{1-\cot \alpha }=\frac{1+2\cdot 2}{1-2}=-5$.
b) Sai. $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$, trong khi ${\cot }^2\alpha +1=4+1=5$.
c) Đúng. Vì $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $0<\sin \alpha \le 1$.
d) Đúng. $\cot \alpha =2\Rightarrow \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\Rightarrow \cos \alpha =2\sin \alpha$. Kết hợp ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ ta được $5{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow \sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ (do $\sin \alpha >0$).