Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đây là cấp số nhân với số hạng đầu $a=2$, công bội $q=\frac{1}{3}$, $|q|<1$ nên tổng vô hạn $S=\frac{a}{1-q}=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 15, mã đề 1111: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{\sqrt{3n^2+1}+n}{2n+1}=\lim \frac{\sqrt{3+\frac{1}{n^2}}+1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$. Vậy $a=3,b=2\Rightarrow a+b=5$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 17 = 5).

a) $\lim \left(\frac{3^n-4^n+1}{2.5^n-6}\right)=\lim \left(\frac{\frac{3^n-4^n+1}{5^n}}{\frac{2.5^n-6}{5^n}}\right)=\lim \frac{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n-{\left(\frac{4}{5}\right)}^n+{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}{2.-6.{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}=0$

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x-4}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2(x-2)}{(x-2)(x+3)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2}{x+3}=\frac{2}{5}$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n{v}_n=\frac{2n+1}{1-n}=\frac{2+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}-1}\to \frac{2}{-1}=-2$ khi $n\to +\infty$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n{v}_n=\frac{2n+1}{1-n}$. Chia tử và mẫu cho $n$: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2n+1}{1-n}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{2+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}-1}=\frac{2}{-1}=-2$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Công bội $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$ với $|q|<1$ nên tổng cấp số nhân hội tụ. Khi đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }(u_1+u_2+\dots +u_n)=\frac{u_1}{1-q}=\frac{18}{1-\frac{1}{6}}=\frac{18}{\frac{5}{6}}=\frac{108}{5}=21,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=\frac{1}{3}$, $|q|<1$. Tổng là $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}=1,5$.

Chọn B
Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=10$ và $q=\frac{3}{4}$.
Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{10}{1-\frac{3}{4}}=40$.
Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn $2S-10=70$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^4$: $\lim \frac{2n^3-7n-4}{3n^4+4}=\lim \frac{\frac{2}{n}-\frac{7}{n^3}-\frac{4}{n^4}}{3+\frac{4}{n^4}}=\frac{0}{3}=0$. Vậy đáp án C.

Lưu ý từ nguồn: bảng đáp án ở trang 6 (ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 1 KHỐI 11, Phần 1) ghi Câu 3 = B cho cả Mã đề 316 và Mã đề 518, nhưng bảng này không khớp với các câu của đề ở trang 5 (ví dụ Câu 4 của đề trang 5 có đáp án đúng là B - MN // (SBC) - trong khi bảng ghi A/C cho Câu 4), nên không thể ánh xạ tin cậy; đáp án C giữ theo tính toán toán học.

(Đáp án chính thức, trang 6, Phần 4: Tự luận, Câu 1, Mã đề 316)
Chia tử và mẫu cho $n^2$ theo đáp án:
$$\lim \frac{n^3-2n}{5n^3+n-n^2}=\lim \frac{1-\frac{2}{n^2}}{5+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}=\frac{1-0}{5+0-0}=\frac{1}{5}.$$
Vậy giới hạn của dãy số bằng $\frac{1}{5}$ (đáp án khớp với bảng đáp án chính thức, Mã đề 316).

a) $\lim \frac{n^2+4n-9}{6n^2-n}$, $\lim \frac{1+\frac{4}{n}-\frac{9}{n^2}}{6-\frac{1}{n}}=\frac{1}{6}$
b) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{8^n+4\cdot 4^n}{3^n-8^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{{\left(\frac{3}{8}\right)}^n-1}=-1$

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\lim \frac{n^4-n^3}{5n^3+6n-7}=\lim \frac{n-1}{5+\frac{6}{n^2}-\frac{7}{n^3}}=+\infty$ vì $n-1\to +\infty$ còn mẫu tiến về 5. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 518, Câu 4: A).

a) $\lim \frac{1-\frac{2}{n^2}}{5+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}}=\frac{1}{5}$
b) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{6^n-3^n}{2^n+3\cdot 6^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+3}=\frac{1}{3}$

Chọn B. Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1=10$ và $q=\frac{3}{4}$. Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{10}{1-\frac{3}{4}}=40$. Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn $2S-10=70$.

Chọn D. Cách 1: Tự luận $$\lim \left(2n-\sqrt{n^3+2n-2}\right)=\lim n\sqrt{n}\left(\frac{2}{\sqrt{n}}-\sqrt{1+\frac{2}{n^2}-\frac{2}{n^3}}\right)=-\infty$$ Vì $\lim n\sqrt{n}=+\infty$; $\lim \left(\frac{2}{\sqrt{n}}-\sqrt{1+\frac{2}{n^2}-\frac{2}{n^3}}\right)=-1$. Cách 2: Máy tính. Nhập vào máy tính: $2X-\sqrt{X^3+2X-2}$ CALC $X=10^6$ (Hiệu là số vô cùng lớn) ta được đáp án là $-998000000$. Nghĩa là $\lim \left(2n-\sqrt{n^3+2n-2}\right)=-\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=\frac{1}{2}$ (với $|q|<1$). Tổng là $$S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.$$ Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $7^n$: $\lim \frac{5^n-9\cdot 7^n}{4-4\cdot 7^n}=\lim \frac{(5/7{)}^n-9}{4/7^n-4}=\frac{0-9}{0-4}=\frac{9}{4}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng mã đề 1102.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $7^n$: $\lim \frac{(5/7{)}^n-9}{4/7^n-4}=\frac{0-9}{0-4}=\frac{9}{4}$. Kết quả khớp với đáp án D trong bảng đáp án mã đề 1101.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n={\left(\frac{8}{9}\right)}^n$ với $|q|=\frac{8}{9}<1$ nên $\lim u_n=0$. B) $u_n=\frac{5}{n^4}\to 0$. C) $u_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$, vì $\left|\frac{(-1{)}^n}{n}\right|=\frac{1}{n}\to 0$ nên $\lim u_n=0$. D) $u_n={\left(\frac{9}{8}\right)}^n$ với $q=\frac{9}{8}>1$ nên dãy phân kỳ, $\lim u_n=+\infty \ne 0$. Vậy chỉ dãy ở phương án D có giới hạn khác 0, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Nhân và chia với liên hợp: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+n\sqrt{5}}-n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+n\sqrt{5}-n^2}{\sqrt{n^2+n\sqrt{5}}+n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n\sqrt{5}}{n\left(\sqrt{1+\frac{\sqrt{5}}{n}}+1\right)}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.