Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $x^2-13x+40=(x-5)(x-8)$ và $35-7x=-7(x-5)$. Với $x\to 5$, $x\ne 5$ nên $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{(x-5)(x-8)}{-7(x-5)}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x-8}{-7}=\frac{-3}{-7}=\frac{3}{7}$. Phân số tối giản là $\frac{3}{7}$, vậy $a=3$, $b=7$, $a+b=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a: Chia tử và mẫu cho $n^2$: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+5n-17}{5n^2-n+19}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{5}{n}-\frac{17}{n^2}}{5-\frac{1}{n}+\frac{19}{n^2}}=\frac{2}{5}.$$ Vì $\frac{5}{n},\frac{17}{n^2},\frac{1}{n},\frac{19}{n^2}\to 0$ khi $n\to +\infty$.

Câu 1b: Thay $x=2$: tử $\sqrt{3\cdot 2-2}-2=2-2=0$, mẫu $-3\cdot 4+4+8=0$, nên đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Nhân liên hợp tử số: $$\sqrt{3x-2}-2=\frac{(\sqrt{3x-2}-2)(\sqrt{3x-2}+2)}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{3x-6}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x-2}+2}.$$ Phân tích mẫu: $-3x^2+2x+8=-(3x^2-2x-8)=-(3x+4)(x-2)$.

Do đó: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{3x-2}-2}{-3x^2+2x+8}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3(x-2)}{-(\sqrt{3x-2}+2)(3x+4)(x-2)}=\frac{3}{-(2+2)(6+4)}=\frac{3}{-4\cdot 10}=-\frac{3}{40}.$$ (Với $x\to 2$: $\sqrt{3x-2}+2\to 4$ và $3x+4\to 10$.)

Vậy a) $\frac{2}{5}$; b) $-\frac{3}{40}$.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$ thì $\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+1/x^2}=-x\sqrt{1+1/x^2}$. Do đó mẫu số $\sqrt{x^2+1}-x=-x\sqrt{1+1/x^2}-x=-x\left(\sqrt{1+1/x^2}+1\right)$. Vậy $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-3}{\sqrt{x^2+1}-x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x(2-3/x)}{-x\left(\sqrt{1+1/x^2}+1\right)}=\frac{2}{-(1+1)}=-1.$$ Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{x^2+ax+4}+x=\frac{ax+4}{\sqrt{x^2+ax+4}-x}$. Khi $x\to -\infty$, mẫu số $\sqrt{x^2+ax+4}-x\approx |x|-x=-2x$, nên giới hạn bằng $\frac{a}{-2}=4\Rightarrow a=-8$. Vì $-12<-8<-6$ nên $a\in (-12;-6)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+3}{x-5}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{3}{x}}{1-\frac{5}{x}}=\frac{2+0}{1-0}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn hữu hạn: $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f(x)+g(x)\right]=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=5+7=12$. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án (Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Khi $x\to -\infty$ thì $f(x)=x+5\to -\infty$, nên khẳng định Đúng.
b) Với $a=1$: ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\sqrt{x^2-5}+x\right)={\lim }_{x\to +\infty }\left(x\sqrt{1-\frac{5}{x^2}}+x\right)=+\infty \ne 0$, nên Sai.
c) Với $a=-1$: $\sqrt{x^2-5}-x=\frac{-5}{\sqrt{x^2-5}+x}\to 0$ khi $x\to +\infty$, không phải $+\infty$, nên Sai.
d) Liên tục tại $x=3$: giới hạn trái ${\lim }_{x\to 3^{-}}(x+5)=8$; giới hạn phải ${\lim }_{x\to 3^{+}}(\sqrt{x^2-5}+ax)=\sqrt{4}+3a=2+3a$. Liên tục khi $2+3a=8⟺a=2$, nên Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\le 3$, $f(x)=x+5\to -\infty$ khi $x\to -\infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1$, $\sqrt{x^2-5}+x\approx 2x\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, không bằng 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=-1$, $\sqrt{x^2-5}-x=\frac{-5}{\sqrt{x^2-5}+x}\to 0$, không phải $+\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái tại $x=3$ bằng 8, giới hạn phải bằng $2+3a$; liên tục khi $2+3a=8⟺a=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\frac{\sqrt{3x-5}-2}{x-3}=\frac{(3x-5)-4}{(x-3)(\sqrt{3x-5}+2)}=\frac{3(x-3)}{(x-3)(\sqrt{3x-5}+2)}=\frac{3}{\sqrt{3x-5}+2}$. Do đó $L=\frac{3}{\sqrt{4}+2}=\frac{3}{4}=0,75$, khớp đáp án nguồn 0.75.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng giới hạn:
- A: $\underset{x\to +\infty }{\lim }(-x^3+2x+3)=-\infty$ vì $-x^3$ trội khi $x\to +\infty$.
- B: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x^2+x+1}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x^2}{x}=-\infty$.
- C: Khi $x\to 4^{-}$, tử số $2x-1\to 7>0$ và mẫu số $4-x\to 0^{+}$, nên $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{4-x}=+\infty$.
- D: Khi $x\to 4^{+}$, mẫu số $4-x\to 0^{-}$, tử số dương, nên giới hạn bằng $-\infty$.
Vậy chỉ có giới hạn ở phương án C bằng $+\infty$, khớp với đáp án nguồn (Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $v(t)=\frac{5\pi }{6}\sin \left(\frac{\pi }{6}t+\frac{\pi }{3}\right)$ liên tục tại $t=0$ nên $L=\underset{t\to 0}{\lim }v(t)=v(0)=\frac{5\pi }{6}\sin \frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\pi \sqrt{3}}{12}$ (cm/s). Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: lim u_n = c không kéo theo u_n = c với mọi n; ví dụ u_n = c + 1/n có giới hạn bằng c nhưng u_n ≠ c.
b) Đúng: với x → +∞, chia tử và mẫu cho x^2: lim √(4 + 2/x^2)/(2 + 2/x^2) = 2/2 = 1.
c) Đúng: khi x → 1^− thì 2025x → 2025 > 0 và √(1−x^2) → 0^+, nên lim = +∞.
d) Sai: theo hình vẽ trang 3, đường cong (C) (x > 0) tiến tới 2 khi x → 0^+ (chấm hở tại (0;2)), nhưng tia Ot (x ≤ 0) đi qua gốc O nên lim_{x→0^−} f(x) = 0. Vì giới hạn trái (0) khác giới hạn phải (2) nên lim_{x→0} f(x) không tồn tại.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Sai. lim u_n = c không suy ra u_n = c với mọi n; ví dụ u_n = c + 1/n có giới hạn bằng c nhưng u_n ≠ c.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đúng. Với x → +∞, chia tử và mẫu cho x^2: lim √(4 + 2/x^2)/(2 + 2/x^2) = 2/2 = 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đúng. Khi x → 1^−, tử số 2025x → 2025 > 0, mẫu số √(1−x^2) → 0^+, nên lim = +∞.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Sai. Theo hình vẽ, lim_{x→0^+} f(x) = 2 (chấm hở tại (0;2)) nhưng lim_{x→0^−} f(x) = 0 vì tia Ot đi qua gốc O. Hai giới hạn một bên khác nhau nên lim_{x→0} f(x) không tồn tại.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to 1$ với $1<2$, ta dùng nhánh $f(x)=-x^2$ (áp dụng khi $x\le 2$). Hàm số $-x^2$ liên tục, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=-(1{)}^2=-1$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng tính chất tuyến tính của giới hạn: $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[f(x)-2g(x)\right]=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)-2\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\frac{1}{2}-2\cdot (-3)=\frac{1}{2}+6=\frac{13}{2}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích tử và mẫu: $3x^2-13x-10=(3x+2)(x-5)$ và $25-x^2=(5-x)(5+x)=-(x-5)(x+5)$. Khi $x\to 5$, $x\ne 5$ nên ta rút gọn được nhân tử chung $(x-5)$:
$$\underset{x\to 5}{\lim }\frac{3x^2-13x-10}{25-x^2}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{(3x+2)(x-5)}{-(x-5)(x+5)}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{3x+2}{-(x+5)}=\frac{17}{-10}=-\frac{17}{10}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 2^{+}$ thì $x-2\to 0^{+}$ (dương), do đó $\frac{3}{x-2}\to +\infty$. Vậy $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{3}{x-2}=+\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích tử và mẫu: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Với $x\to 3$, $x\ne 3$ nên $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-2}{x+3}=\frac{1}{6}$. Phân số tối giản $\frac{a}{b}=\frac{1}{6}$, nên $a+b=1+6=7$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}=\frac{(x+7)-9}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)}=\frac{1}{\sqrt{x+7}+3}$. Do đó $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+7}-3}{x-2}=\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=1-x^2$ khi $x<2$ và $f(x)=\sqrt{x+2}$ khi $x\ge 2$.
a) Với $x\to 3>2$ nên ${\lim }_{x\to 3}f(x)=\sqrt{3+2}=\sqrt{5}\approx 2,236\ne -8$ → SAI.
b) ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}(1-x^2)=1-4=-3$ → ĐÚNG.
c) ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x+2}=\sqrt{4}=2$ → ĐÚNG.
d) Vì ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-3\ne 2={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)$ nên giới hạn ${\lim }_{x\to 2}f(x)$ không tồn tại, do đó không bằng 4 → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to 3>2$ nên dùng nhánh $\sqrt{x+2}$: ${\lim }_{x\to 3}f(x)=\sqrt{5}\ne -8$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{-}}(1-x^2)=1-4=-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x+2}=\sqrt{4}=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái $-3$ khác giới hạn phải $2$ nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)$ không tồn tại.

(AI giải đề cho tôi)
a) $x^2+4x-21=(x-3)(x+7)$ nên ${\lim }_{x\to 3}\frac{x^2+4x-21}{x-3}={\lim }_{x\to 3}(x+7)=10$.

b) Hàm số $x-2+\sqrt{x^2-x+1}$ liên tục tại $x=0$ (biểu thức trong căn $x^2-x+1>0$ với mọi $x$). Do đó ${\lim }_{x\to 0}\left(x-2+\sqrt{x^2-x+1}\right)=0-2+\sqrt{1}=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{x-3}{x+3}$ liên tục tại $x=3$ vì mẫu $x+3=6\ne 0$. Do đó $L=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x+3}=\frac{3-3}{3+3}=\frac{0}{6}=0$. Vậy đáp án là B.