Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 152 (trang 8): Chọn B. Ta có ${\Delta }^{\prime }=-4m+3$. Nếu ${\Delta }^{\prime }>0\iff m<\frac{3}{4}$ thì $z_1^2+z_2^2=4(m-2{)}^2-2(m^2+1)=4\iff m^2-8m+5=0\Rightarrow m=4-\sqrt{11}$ (thỏa mãn). Nếu ${\Delta }^{\prime }<0\iff m>\frac{3}{4}$ thì $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=2(m^2+1)=4\iff m^2=1\Rightarrow m=1$ (thỏa mãn). Tổng các giá trị của $m$ là $(4-\sqrt{11})+1=5-\sqrt{11}$.

Đặt $z_1=m+ni,z_2=m-ni$ ($m,n\in \mathbb{R},n\ne 0$). Từ giả thiết ta có $(m-5{)}^2+(n+3{)}^2=16$ và $(m-2{)}^2+(n-1{)}^2=1$. Trừ hai phương trình được $3m-15=4n-8$, thế vào được $(4n-8{)}^2+(3n+9{)}^2=48\iff 25n^2-10n+1=0\iff n=\frac{1}{5}\Rightarrow m=\frac{13}{5}$. Khi đó $b=-2m=-\frac{26}{5}$ và $c=m^2+n^2=\frac{34}{5}$, suy ra $5b+5c=8$.

Chọn B
${\Delta }^{\prime }=m^2-(8m-12)=m^2-8m+12=(m-2)(m-6)$.
- TH1: ${\Delta }^{\prime }<0\iff 2<m<6$. Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1,z_2=\overline{z_1}$, luôn thỏa mãn $|z_1|=|z_2|$.
Các giá trị nguyên của $m$ trong trường hợp này: $m\in \{3;4;5\}$ (3 giá trị).
- TH2: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m<2$ hoặc $m>6$. Hai nghiệm là số thực phân biệt, $|z_1|=|z_2|\iff z_1=-z_2\iff z_1+z_2=0\iff 2m=0\iff m=0$ (thỏa mãn $m<2$).
Tổng cộng có $3+1=4$ giá trị nguyên của $m$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101): Chọn B ($3$).

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+2{)}^2-(m^2+1)=4m+3$.
- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>-\frac{3}{4}$.
Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$.
Vì tích $z_1{z}_2=m^2+1>0$ nên $z_1,z_2$ cùng dấu.
Do đó $|z_1|+|z_2|=|z_1+z_2|=|2(m+2)|=3\iff 2|m+2|=3\iff \left[\begin{array}{c}m=-\frac{1}{2}\\ m=-\frac{7}{2}\end{array}\right]$.
Đối chiếu điều kiện $m>-\frac{3}{4}$, ta nhận $m=-\frac{1}{2}$.
- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m<-\frac{3}{4}$.
Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1,z_2$ với $|z_1|=|z_2|=\sqrt{m^2+1}$.
Khi đó $|z_1|+|z_2|=3\iff 2\sqrt{m^2+1}=3\iff m^2+1=\frac{9}{4}\iff m^2=\frac{5}{4}\iff m=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Đối chiếu điều kiện $m<-\frac{3}{4}=-0.75$:
$m=-\frac{\sqrt{5}}{2}\approx -1.118<-0.75$ (thỏa mãn).
$m=\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1.118>-0.75$ (loại).
Vậy có đúng 2 giá trị của $m$ thỏa mãn là $m=-\frac{1}{2}$ và $m=-\frac{\sqrt{5}}{2}$. Chọn C.

Xét hai trường hợp: $\Delta >0$ (hai nghiệm thực phân biệt) và $\Delta <0$ (hai nghiệm phức liên hợp). Giải điều kiện $|z_1-i{|}^2+|z_2-i{|}^2=6$ cho cả hai trường hợp ta tìm được 2 giá trị của $m$ thỏa mãn. Chọn A.

Chọn C
Ta có $\Delta$ ' = [ -2 ( m + 1) ] - ( 4m 2 + 2 ) = 8m + 2 .
2

21
z1 + z2 = 4m + 4
Phương trình luôn có 2 nghiệm z1 , z2 thỏa mãn: ( )
z1.z2 = 4m + 2
2

1
TH1: Nếu $\Delta$ '  0 $\iff$ m  - thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt nên
4
z1 + z2 = 2028 $\iff$ z1 + z2 - 2 z1 z2 = 2028 (1)
2 2 2

[ m = 14
Thay ( ) vào (1) , ta có: 4m + 4 - 2 4m 2 + 2 = 2028 $\iff$ 8m 2 + 32m - 2016 = 0 $\iff$ 
2
.
[ m = -18
1
Kết hợp m  - ta được m = 14 .
4
1
TH2: Nếu $\Delta$ '  0 $\iff$ m  - thì phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt nên
4
z1 + z2 = 2028 $\iff$ 2 z1 = 2028 $\iff$ z1 z1 = 1014 $\iff$ z1.z2 = 1014 ( 2 )
2 2 2

[ m = 253
Thay ( ) vào ( 2 ) , ta có: 4m 2 + 2 = 1014 $\iff$  .
[ m = - 253
1
Kết hợp m  - ta được m = - 253 .
4
Vậy S = 14 - 253 $\approx$ -1,905 $\in$ ( -2; -1) .

Vì phương trình bậc hai có hệ số thực và nghiệm phức không thực, hai nghiệm phải là liên hợp của nhau: $z_1=w+3$ và $z_2=2w-15i+9={\bar{z}}_1$. Đặt $w=x+yi$. Ta có $z_1=(x+3)+yi$ và $z_2=(2x+9)+(2y-15)i$. Vì $z_2={\bar{z}}_1$, ta có hệ: $\{\begin{array}{l}2x+9=x+3\\ 2y-15=-y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-6\\ 3y=15\Rightarrow y=5\end{array}$. Do đó $z_1=-3+5i$ và $z_2=-3-5i$. Theo định lý Viète: $z_1+z_2=-6=-b\Rightarrow b=6$; $z_1{z}_2=(-3{)}^2+5^2=34=c$. Khi đó $S=b^2-2c=6^2-2(34)=36-68=-32$. Chọn A.

Chọn A.
TH1: Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, khi đó: $(z_1-3)+(2z_2-3)i=0\iff \{\begin{array}{l}{z}_1=3\\ z_2=\frac{3}{2}\end{array}$.
Theo định lý Vi-ét, ta có $\{\begin{array}{l}-4a=z_1+z_2=\frac{9}{2}\\ b^2+2=z_1{z}_2=\frac{9}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{-9}{8}\\ b=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}\end{array}$.
Trường hợp này có $2$ cặp $(a;b)$ là $\left(\frac{-9}{8};\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$ và $\left(\frac{-9}{8};\frac{-\sqrt{5}}{2}\right)$.
TH2: Phương trình có hai nghiệm phức. Đặt $z_1=m+ni$, khi đó $z_2=m-ni$.
Ta có $(z_1-3)+(2z_2-3)i=0\iff m+ni-3+(2m-2ni-3)i=0\iff (m-3+2n)+(n+2m-3)i=0\iff \{\begin{array}{l}m+2n=3\\ 2m+n=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m=1\\ n=1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{z}_1=1+i\\ z_2=1-i\end{array}$.
Theo định lý Vi-ét, ta có $\{\begin{array}{l}-4a=z_1+z_2=2\\ b^2+2=z_1{z}_2=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{-1}{2}\\ b=0\end{array}$.
Trường hợp này có cặp $(a;b)$ là $\left(\frac{-1}{2};0\right)$. Vậy có tất cả $3$ cặp $(a;b)$ thỏa.

- **Trường hợp 1:** Phương trình có hai nghiệm thực $z_1,z_2\in \mathbb{R}$. Khi đó $z_1+2i{z}_2=3+3i\iff \{\begin{array}{l}{z}_1=3\\ 2z_2=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{z}_1=3\\ z_2=\frac{3}{2}\end{array}$.
Theo định lí Vi-ét: $\{\begin{array}{l}-2a=z_1+z_2=\frac{9}{2}\\ b^2+2=z_1{z}_2=\frac{9}{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{9}{4}\\ b=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}\end{array}$ (có $2$ cặp $(a;b)$).
- **Trường hợp 2:** Phương trình có hai nghiệm phức không thực $z_1=m+ni$, $z_2=m-ni$ $(m,n\in \mathbb{R},n\ne 0)$. Thay vào $z_1+2i{z}_2=3+3i$ ta được $(m+2n)+(2m+n)i=3+3i\iff m=n=1$.
Khi đó $z_1=1+i,z_2=1-i\Rightarrow \{\begin{array}{l}-2a=2\\ b^2+2=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=0\end{array}$ (có $1$ cặp $(a;b)$).

Vậy có tất cả $3$ cặp số thực $(a;b)$.

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m-45{)}^2-(2016-80m)=m^2-10m+9=(m-1)(m-9)$.
- TH1: Phương trình có $2$ nghiệm thực trái dấu $z_2=-z_1\iff \{\begin{array}{l}m-45=0\\ 2016-80m<0\end{array}\iff m=45$ ($1$ giá trị).
- TH2: Phương trình có $2$ nghiệm phức không thực liên hợp $\iff {\Delta }^{\prime }<0\iff 1<m<9$, suy ra $m\in \{2;3;4;5;6;7;8\}$ ($7$ giá trị).
Vậy có $1+7=8$ giá trị nguyên dương của $m$. Chọn A.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 16, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+2{)}^2-(m^2+1)=4m+3$. TH1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>-\frac{3}{4}$, khi đó $z_1+z_2=2(m+2)>0$ và $z_1{z}_2=m^2+1>0\Rightarrow z_1,z_2>0$, nên $|z_1|+|z_2|=z_1+z_2=2(m+2)=3\iff m=-\frac{1}{2}$ (thỏa mãn). TH2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m<-\frac{3}{4}$, khi đó $|z_1|=|z_2|=\sqrt{m^2+1}$, nên $2\sqrt{m^2+1}=3\iff m^2=\frac{5}{4}\Rightarrow m=-\frac{\sqrt{5}}{2}$ (vì $m<-\frac{3}{4}$). Tổng các giá trị của $m$ là $-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx -1,618\in (-2;-1)$. Chọn C.

Vì $z_i$ là nghiệm của $(1)$ nên $z_i^2-m(z_i-4)=2z_i+4$. Điều kiện trở thành $|2z_1+4|=|2z_2+4|⟺|z_1+2|=|z_2+2|$. Ta có $\Delta =(m+2{)}^2-16(m-1)=m^2-12m+20$. Trường hợp 1: $\Delta >0⟺m<2$ hoặc $m>10$; khi đó $z_1,z_2$ là hai nghiệm thực phân biệt nên $z_1+2=-(z_2+2)⟺z_1+z_2=-4⟺m+2=-4⟺m=-6$ (nhận). Trường hợp 2: $\Delta <0⟺2<m<10$; khi đó $z_1,z_2$ là hai số phức liên hợp nên $|z_1+2|=|z_2+2|$ luôn đúng, cho $7$ giá trị nguyên $m\in \{3;4;5;6;7;8;9\}$. Vậy có tất cả $1+7=8$ giá trị nguyên của $m$. Chọn đáp án A.