Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

Vì phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm không thực nên $|z_1|=|z_2|$. Từ $z_2=3+(|z_1|-1)i$, ta suy ra phần thực của $z_2$ bằng $3$ và $|z_1{|}^2=|z_2{|}^2=3^2+(|z_1|-1{)}^2⟺2|z_1|=10⟺|z_1|=5$. Do đó $z_2=3+4i$ và $z_1=3-4i$. Theo định lí Vi-ét: $a=-(z_1+z_2)=-6$ và $b=z_1{z}_2=25$. Vậy $2a+b=2(-6)+25=13$.

Phương trình bậc hai với hệ số thực nhận $z_1=3+2i$ làm nghiệm thì cũng nhận số phức liên hợp $z_2=3-2i$ làm nghiệm.

Theo định lý Vi-ét ta có $z_1+z_2=-b\Rightarrow (3+2i)+(3-2i)=-b\iff 6=-b\iff b=-6$.

Đặt $t=z^2$, phương trình trở thành $t^2+2(m+2)t+3m+2=0$ $(1)$.
Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+2{)}^2-(3m+2)=m^2+m+2>0$, $\forall m\in \mathbb{R}$, do đó phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm thực phân biệt.
Nếu $(1)$ có hai nghiệm thực dương hoặc hai nghiệm thực âm thì bốn điểm $A,B,C,D$ thẳng hàng (cùng thuộc $Ox$ hoặc cùng thuộc $Oy$) nên không thỏa mãn bài toán.
Nếu $(1)$ có hai nghiệm trái dấu $t_1<0<t_2$, tức là $3m+2<0\iff m<-\frac{2}{3}$ thì phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt là $\pm \sqrt{t_2}$ và $\pm i\sqrt{-t_1}$.
Giả sử $A(-\sqrt{t_2};0)$, $B(0;\sqrt{-t_1})$, $C(\sqrt{t_2};0)$ và $D(0;-\sqrt{-t_1})$. Khi đó bốn điểm $A,B,C,D$ tạo thành một hình thoi.
Diện tích hình thoi $ABCD$ bằng $\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t_2}\cdot 2\sqrt{-t_1}=2\sqrt{-t_1{t}_2}$.
Từ giả thiết và theo định lý Vi-ét, ta có $2\sqrt{-3m-2}=4\iff m=-2$ (thỏa mãn $m<-\frac{2}{3}$).
Vậy có $1$ giá trị của $m$ thỏa mãn.

Xét biệt thức ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-m^2=2m+1$. Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }\ge 0\iff m\ge -\frac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm thực. $|z_1|+|z_2|=2$ cho 1 giá trị $m$. Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m<-\frac{1}{2}$, phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp với $|z_1|=|z_2|=\sqrt{m^2}=|m|=-m$. Khi đó $2|m|=2\iff |m|=1\Rightarrow m=-1$ (thỏa mãn $m<-\frac{1}{2}$). Tổng cộng có 2 giá trị của $m$. Chọn B.

Xét phương trình $z^2-2mz+m^2-2m=0$ $(\ast )$ có ${\Delta }^{\prime }=m^2-(m^2-2m)=2m$.

- **Trường hợp 1:** ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>0$ $(1)$.
Phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm thực phân biệt $z_1=m-\sqrt{2m};z_2=m+\sqrt{2m}$.
Ta có $|z_1+1|+|z_2+1|=4\iff |m-\sqrt{2m}+1|+m+\sqrt{2m}+1=4\iff |m-\sqrt{2m}+1|=3-m-\sqrt{2m}\iff m=1$ (thỏa mãn).

- **Trường hợp 2:** ${\Delta }^{\prime }<0\iff m<0$ $(2)$.
Phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm phức phân biệt $z_1=m-i\sqrt{|2m|};z_2=m+i\sqrt{|2m|}$.
Ta có $|z_1+1|+|z_2+1|=4\iff 2\sqrt{(m+1{)}^2+|2m|}=4\iff (m+1{)}^2-2m=4\iff m^2-3=0\iff m=-\sqrt{3}$ (do $m<0$).

Vậy tổng tất cả các giá trị của $m$ là $S=1-\sqrt{3}$.

**Chọn A**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Phương trình bậc hai $z^2+az+b=0$ với hệ số thực nhận nghiệm phức $z_1=z_0=3-2i$ thì cũng nhận số phức liên hợp $z_2=\overline{z_0}=3+2i$ làm nghiệm.
Theo định lí Vi-ét:
$\{\begin{array}{l}{z}_1+z_2=-a\\ z_1{z}_2=b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(3-2i)+(3+2i)=-a\\ (3-2i)(3+2i)=b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}6=-a\\ 9-4i^2=b\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-6\\ b=13\end{array}$
Khi đó $a+b=-6+13=7$.

Phương trình $z^2-2z+2=0\iff (z-1{)}^2=-1=i^2\iff z=1\pm i$.
Đặt $z_1=1+i,z_2=1-i$.
Khi đó:
$z_1+z_2=2\Rightarrow |z_1+z_2|=2$.
$z_1-z_2=2i\Rightarrow |z_1-z_2|=2$.
Vậy $P=2\cdot 2+2=6$.

Theo định lý Vi-ét: $S=z_1+z_2=2$, $P_{nhan}=z_1{z}_2=5$.
Ta có $z_1^2+z_2^2=S^2-2P_{nhan}=2^2-2(5)=-6$.
Khi đó:
$P=z_1^4+z_2^4=(z_1^2+z_2^2{)}^2-2(z_1{z}_2{)}^2=(-6{)}^2-2(5^2)=36-50=-14.$

Vì $b,c$ trái dấu ($bc<0$) nên $c$ có thể âm hoặc dương.
- Nếu $c<0$: $\Delta =b^2-4c>0$, phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2\in \mathbb{R}$.
Khi đó $|z_1+2-5i|=\sqrt{(z_1+2{)}^2+25}\ge 5>\sqrt{17}$ (mâu thuẫn).
- Vậy $c>0,b<0$: $\Delta <0$, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1=x+yi$ và $z_2=x-yi$ ($y\ne 0$).
Theo định lý Vi-ét:
$\{\begin{array}{l}{z}_1+z_2=2x=-b\\ z_1{z}_2=x^2+y^2=c\end{array}$
Ta có: $|z_1+2-5i|=\sqrt{17}\iff (x+2{)}^2+(y-5{)}^2=17$.
Lại có:
$(z_1-2)(z_2+4i)=(x-2+yi)(x-yi+4i)=[x^2+y^2-2x-4y]+[4x+2y-8]i.$
Vì tích là số thuần ảo nên phần thực bằng $0$:
$x^2+y^2-2x-4y=0.$
Giải hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}(x+2{)}^2+(y-5{)}^2=17\\ x^2+y^2-2x-4y=0\end{array}\iff [<table><tbody><tr><td>x=-1,y=1</td></tr><tr><td>x=2,y=4</td></tr></tbody></table>$
- Với $x=-1,y=1$: $b=-2x=2$, $c=x^2+y^2=2\Rightarrow bc=4>0$ (loại vì $b,c$ trái dấu).
- Với $x=2,y=4$: $b=-2x=-4$, $c=x^2+y^2=20\Rightarrow bc=-80<0$ (thỏa mãn).
Vậy $b+c=-4+20=16$.

**Chọn B**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Diện tích phần hình vuông cạnh $3\text{ m}$ là $S_1=3^2=9{\text{ m}}^2$. Diện tích phần parabol có đáy $c=3\text{ m}$ và chiều cao $b=0,5\text{ m}$ là $S_2=\frac{2}{3}\cdot 3\cdot 0,5=1{\text{ m}}^2$. Tổng diện tích cửa là $10{\text{ m}}^2$, chi phí là $10$ triệu đồng (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).

**Chọn B**

Xét m   10;90 , ta có   25  m  1 .
TH1:   0  m  1  25  24  m  26 suy ra 10  m  26 .
Phương trình có hai nghiệm thực và z1.z2  m  1  0 nên z1  z2  z1  z2  10 luôn là một số
nguyên dương.
Suy ra có 36 giá trị m .
 m  26
TH2:   0  m  1  25   suy ra 26  m  90 .
 m  24
Phương trình có hai nghiệm phức không thực z1 , z2 do đó

z1  z2  2 z1  2 5  i m  1  25  2 m  1 là một số nguyên dương nên m  1 là số chính
phương.
Mặt khác 26  m  90 suy ra 25  m  1  89 .
Do đó m  1  36; 49;64;81  m  37;50;65;82 nên có 4 giá trị m .
Vậy có 40 giá trị m .

Chọn D
Ta có $\Delta$ ' = -2m .
TH1: $\Delta$ '  0 $\iff$ m  0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là hai số thực.
z = -2 z2
z1 = 2 z2 $\iff$ 1
z1 = 2 z2
Theo viet có z1 + z2 = -2m; z1.z2 = m 2 + 2m .
m=0
Nếu z1 = -2 z2 $\Rightarrow$ z2 = 2m; z1 = -4m $\Rightarrow$ z1.z2 = -8m = m + 2m $\iff$ 9m + 2m = 0 $\iff$
2 2 2
m = -2
9
2
Do m  0 $\Rightarrow$ m = - .
9
-2m -4m 8 1 m=0
Nếu z1 = 2 z2 $\Rightarrow$ z2 = ; z1 = $\Rightarrow$ z1.z2 = m 2 = m 2 + 2m $\iff$ m 2 + 2m = 0 $\iff$
3 3 9 9 m = -18
Do m  0 $\Rightarrow$ m = -18 .
TH2: $\Delta$ '  0 $\iff$ m  0
Phương trình có hai nghiệm là hai số phức liên hợp nên z1 = z2 .
z1 = 2 z2 $\iff$ z1 = 0 $\iff$ z1 = 0 .
Thay vào phương trình ta được m 2 + 2m = 0 $\iff$ m = 0; m = -2 ( loại).
-2
Vậy .(-18) = 4 .
9

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 1101, trang 15-16), Câu 4 (Phần III) có kết quả là: 5,58.

Lượng cà phê dư để xuất khẩu là:
$Q_{xk}(x)=(2000x-150)-(4000-500x)=2500x-4150\text{ (kg)}$.
Lợi nhuận trên mỗi kg cà phê xuất khẩu là:
$P_{xk}=10-0,5-x=9,5-x\text{ (USD)}$.
Tổng lợi nhuận từ xuất khẩu là:
$L(x)=(2500x-4150)(9,5-x)=-2500x^2+27900x-39425$.



Hàm số bậc hai $L(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh parabol:
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{27900}{2(-2500)}=\frac{27900}{5000}=5,58\text{ (USD)}$.

Gọi $x$ là số giếng dầu khai thác thêm ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tổng số giếng khi đó là $15+x$. Sản lượng mỗi giếng khai thác được mỗi ngày là $231-7x$ thùng. Tổng sản lượng dầu mỗi ngày là: $P(x)=(15+x)(231-7x)=7(15+x)(33-x)=7(-x^2+18x+495)$. Hàm bậc hai đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh parabol $x=-\frac{18}{2(-1)}=9$. Vậy cần khai thác thêm 9 giếng.

Gọi $k$ là số lần tăng giá $50$ nghìn đồng ($k\ge 0$). Giá thuê mỗi phòng là $500+50k$ (nghìn đồng) và số phòng có khách thuê là $60-2k$. Tổng doanh thu $R(k)=(500+50k)(60-2k)=-100k^2+2000k+30000$ đạt GTLN khi $k=10$, tức giá thuê là $500+50\cdot 10=1000$ (nghìn đồng).

Doanh thu là $R(x)=x\cdot y(x)=-\frac{1}{50}{x}^2+1300x$, đạt giá trị lớn nhất tại $x=32500$ với $R(32500)=21125000$ (đồng).

Ta có ${\Delta }^{\prime }=m-1$. TH1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>1$, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$, khi đó $z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}{z}_2=2z_1{z}_2=2(m^2-m+1)=3\iff 2m^2-2m-1=0\Rightarrow m=\frac{1+\sqrt{3}}{2}>1$ (nhận). TH2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m<1$, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_2=\overline{z_1}$, khi đó $z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}{z}_2=z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-2z_1{z}_2=4m^2-2(m^2-m+1)=3\iff 2m^2+2m-5=0\Rightarrow m=\frac{-1-\sqrt{11}}{2}<1$ (nhận). Vậy $m_1+m_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{11}}{2}$. Chọn B.

Khi $\Delta =12-3m^2<0\iff |m|>2$, phương trình có hai nghiệm phức $z_{1,2}=\frac{m}{2}\pm i\frac{\sqrt{3m^2-12}}{2}$. Diện tích tam giác $OAB$ bằng $\frac{1}{2}\cdot \left|\frac{m}{2}\right|\cdot \sqrt{3m^2-12}=6\iff m^4-4m^2-192=0\iff m=\pm 4$. Tổng bình phương các phần tử của $S$ bằng $(-4{)}^2+4^2=32$.