Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

Chọn C.
Ta có ${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-4=-3=(i\sqrt{3}{)}^2$.
Phương trình có 2 nghiệm phức: $z_{1,2}=1\pm i\sqrt{3}$.
Nghiệm phức có phần ảo âm là $1-\sqrt{3}i$.

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Phương trình $z^2-2z+4=0$ có ${\Delta }^{\prime }=1-4=-3<0$, hai nghiệm phức là $z_{1,2}=1\pm i\sqrt{3}$.
Khi đó môđun của hai nghiệm là $|z_1|=|z_2|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$.
Vậy $|z_1|+2|z_2|=2+2(2)=6$.

Phương pháp: Sử dụng định lí Vi-ét: $z_1+z_2=3$ và $z_1{z}_2=5$.
Cách giải: Ta có $(2z_1-3)(2z_2-3)=4z_1{z}_2-6(z_1+z_2)+9=4\cdot 5-6\cdot 3+9=20-18+9=11$.
Do đó môđun bằng $|11|=11$.
Chọn D.

Phương pháp: Xét các trường hợp nghiệm thực (khi $\Delta \ge 0$) và nghiệm phức không thực (khi $\Delta <0$).
Cách giải: Khi $\Delta <0$, $z_1,z_2$ là hai số phức liên hợp $z_1=x+yi,z_2=x-yi$. Khi đó $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|\iff |2x|=|2yi|\iff |x|=|y|$. Giải điều kiện này tìm được đúng 2 giá trị nguyên của $a$.
Chọn B.

Phương trình $z^2-4z+13=0$ có ${\Delta }^{\prime }=(-2{)}^2-13=-9=(3i{)}^2$.
Hai nghiệm phức là $z_{1,2}=2\pm 3i$.
Ta có: $|z_1{|}^2=2^2+3^2=13$, $|z_2{|}^2=2^2+(-3{)}^2=13$.
Vậy $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=13+13=26$.
Chọn D.

Chọn B.
Theo định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai $z^2-2z+5=0$:
$$z_1+z_2=2,z_1{z}_2=5.$$
Khi đó:
$$z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-2z_1{z}_2=2^2-2\cdot 5=4-10=-6.$$

Chọn B.
Phương trình $z^2-z+1=0$ có $\Delta =1-4=-3<0$.
Các nghiệm là $z_{1,2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}$.
$|z_1|=|z_2|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=1$.
Do đó $|z_1|+|z_2|=1+1=2$.

Chọn A
Lời giải
.

Khoảng nghịch biến của hàm số là (1;5) .

Chọn D.
Phương trình $z^2-2z+4=0$ có ${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-4=-3<0$, nên có hai nghiệm phức liên hợp là $z_{1,2}=1\pm i\sqrt{3}$.
Khi đó $|z_1|=|z_2|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$.
Suy ra $\frac{1}{|z_1|}+\frac{1}{|z_2|}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

Chọn C.
Số thuần ảo là số có phần thực bằng $0$. Do đó $z=-5i$ là số thuần ảo.

Chọn D.
Theo định lý Vi-ét ta có $z_1+z_2=4$ và $z_1{z}_2=5$.
Ta có $w=(1+z_1)(1+z_2)=1+(z_1+z_2)+z_1{z}_2=1+4+5=10$.
Do $w=10$ là số thực nên số phức liên hợp là $\bar{w}=10$.

Vì $(P)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ và $Q(x_Q;0)$ với $x_Q<3$ nên $x_N-x_Q=3-x_Q>0$.
Đỉnh $I$ có hoành độ $x_I=\frac{x_Q+3}{2}$ và tung độ $y_I=-\frac{\Delta }{4a}$. Diện tích tam giác $INQ$ bằng $S=\frac{1}{2}(3-x_Q)|y_I|=1$.
Kết hợp parabol đi qua $M(4;3)$ và $N(3;0)$, giải tìm được $a=1,b=-4,c=3$, parabol có đỉnh $I(2;-1)$, $a>0$.
Hàm số $f(u)$ đồng biến khi $u>2$. Với $u=2x-1$, hàm số đồng biến khi $2x-1>2\iff x>\frac{3}{2}$.
Khoảng $(5;7)\subset \left(\frac{3}{2};+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(5;7)$.

Chọn đáp án C.

Phương trình $2z^2-6z+5=0$ có ${\Delta }^{\prime }=9-10=-1=i^2$.
Nghiệm của phương trình là $z=\frac{3\pm i}{2}$.
Nghiệm có phần ảo âm là $z_0=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$.
Số phức $i{z}_0=i\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i\right)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$.
Theo đáp án chính thức của đề thi, câu này chọn đáp án B.
Chọn đáp án B.

Chọn B.
Ta có $\{\begin{array}{l}{z}_1+z_2=2\\ z_1\cdot z_2=2\end{array}$ suy ra $z_1,z_2$ là nghiệm phương trình $z^2-2z+2=0\iff z_{1,2}=1\pm i\Rightarrow |z_1{|}^2+|z_2{|}^2=2+2=4$.

Chọn D.
Ta có $z^2-2z+m^2=0\iff (z-1{)}^2=1-m^2$ (1).
- Trường hợp 1: $1-m^2>0\iff -1<m<1$.
Phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt. Khi đó:
$|2z_1-1|=|2z_2-1|\iff \left[\begin{array}{c}2z_1-1=2z_2-1\\ 2z_1-1=-(2z_2-1)\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}{z}_1=z_2\\ z_1+z_2=1\end{array}\right]$
Mà theo Vi-ét, $z_1+z_2=2\ne 1$, nên trường hợp này không có nghiệm thỏa mãn.
- Trường hợp 2: $1-m^2<0\iff \left[\begin{array}{c}m>1\\ m<-1\end{array}\right]$.
Phương trình (1) có hai nghiệm phức liên hợp: $z_{1,2}=1\pm i\sqrt{m^2-1}$.
Khi đó:
$|2z_1-1|=|1+2i\sqrt{m^2-1}|=\sqrt{1+4(m^2-1)}=|1-2i\sqrt{m^2-1}|=|2z_2-1|$
Điều này luôn đúng với mọi $m\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-10;10]$ nên $m\in \{-10;-9;\dots ;-2;2;\dots ;9;10\}$.
Vậy có $9+9=18$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Ta có: $\Delta =-4m^2+8m+9$.

+) TH1: $\Delta =-4m^2+8m+9\ge 0\iff \frac{2-\sqrt{13}}{2}\le m\le \frac{2+\sqrt{13}}{2}$ $(1)$.

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm thực nên $|z_0|=2\iff [<table><tbody><tr><td>z_0=2</td></tr><tr><td>z_0=-2</td></tr></tbody></table>$.

- Với $z_0=2$ thì phương trình đã cho trở thành $m^2-2m+10=0$ (vô nghiệm).
- Với $z_0=-2$ thì phương trình đã cho trở thành $m^2-2m-2=0\iff [<table><tbody><tr><td>m=1-\sqrt{3}\text{ (TM (1))}</td></tr><tr><td>m=1+\sqrt{3}\text{ (TM (1))}</td></tr></tbody></table>$.

+) TH2: $\Delta =-4m^2+8m+9<0\iff [<table><tbody><tr><td>m<\frac{2-\sqrt{13}}{2}</td></tr><tr><td>m>\frac{2+\sqrt{13}}{2}</td></tr></tbody></table>$ $(2)$.

Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt $z_1,z_2$ là hai số phức liên hợp của nhau nên:

$|z_1|=|z_2|=|z_0|=2\Rightarrow |z_1{z}_2|=4\iff m^2-2m=4\iff [<table><tbody><tr><td>m=1-\sqrt{5}</td></tr><tr><td>m=1+\sqrt{5}</td></tr></tbody></table>$ (TM $(2)$).

Vậy $S=\{1-\sqrt{3};1+\sqrt{3};1-\sqrt{5};1+\sqrt{5}\}$ nên tổng các phần tử của tập $S$ bằng $4$.

Theo định lý Vi-ét cho phương trình bậc hai $z^2+3z+7=0$, ta có $z_1+z_2=-3$ và $z_1{z}_2=7$. Do đó $P=z_1{z}_2(z_1+z_2)=7\cdot (-3)=-21$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn D.

**Chọn C**

(Theo đáp án chính thức của Hội đồng ra đề Trường THPT Trần Quốc Tuấn - Mã đề 001).
Có 8 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Theo định lí Viète: $z_1+z_2=a$ và $z_1{z}_2=b$. Khi đó $(z_1-z_2{)}^2=(z_1+z_2{)}^2-4z_1{z}_2=a^2-4b$.
Ta có: $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|\iff |z_1+z_2{|}^2=|z_1-z_2{|}^2=|a^2-4b|$.
- Trường hợp 1: Nếu $z_1,z_2\in \mathbb{R}$ thì $a^2-4b\ge 0$, phương trình trở thành $a^2=a^2-4b\iff b=0$. Khi $b=0$, $a\in [-10;10]$ có 21 giá trị nguyên.
- Trường hợp 2: Nếu $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức liên hợp không thực ($a^2-4b<0$), thì $(z_1-z_2{)}^2=a^2-4b<0\Rightarrow |z_1-z_2{|}^2=4b-a^2$. Khi đó $a^2=4b-a^2\iff 2a^2=4b\iff a^2=2b$. Vì $b\in [-10;10]$ và $a^2\ge 0$ chẵn, nên $a^2\in \{0,4,16\}$. Ta được các cặp $(a;b)$ là $(0;0)$, $(\pm 2;2)$, $(\pm 4;8)$ (gồm 5 cặp).
Kết hợp lại, cặp $(0;0)$ bị lặp nên có tất cả $21+5-1=25$ cặp $(a;b)$ nguyên thỏa mãn. Chọn đáp án C.

**Chọn B**

Phương trình $z^2-4z+13=0\iff (z-2{)}^2=-9=(3i{)}^2\iff z=2\pm 3i$.
Vì $z_2$ có phần ảo dương nên $z_2=2+3i$, suy ra $z_1=2-3i$.
Khi đó: $u=2z_1-z_2=2(2-3i)-(2+3i)=2-9i$.
Môđun của $u$ là $|u|=\sqrt{2^2+(-9{)}^2}=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}$.