Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ làm đường tròn lớn nên tâm mặt cầu là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;0;0)$, $\overrightarrow{BC}=(0;3;0)$. Vì $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Suy ra bán kính mặt cầu là $R=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3^2+3^2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Vậy diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2=18\pi$.

Gọi $I$ là tâm mặt cầu $(S)\Rightarrow I\in (Q)$ là mặt phẳng trung trực của $AB$:
$\{\begin{array}{l}\text{qua }M\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2};2\right)\\ \text{VTPT }\overrightarrow{AB}=(1;3;2)\end{array}\Rightarrow (Q):x+3y+2z-16=0$.
Vậy $I\in d$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng: $\{\begin{array}{l}x+3y+2z-16=0\\ x+2y+z-7=0\end{array}$.
Cho $x=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=-2\\ z=11\end{array}\Rightarrow C(0;-2;11)\in d$ và cho $x=1\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=-3\\ z=12\end{array}\Rightarrow D(1;-3;12)\in d$.
Đường thẳng $d$: $\{\begin{array}{l}\text{qua }C(0;-2;11)\\ \text{VTCP }\overrightarrow{CD}=(1;-1;1)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2-t\\ z=11+t\end{array}\Rightarrow I(t;-2-t;11+t)$.
Bán kính $R=IA=\sqrt{(1-t{)}^2+(4+t{)}^2+(10+t{)}^2}=\sqrt{3\left[{\left(t+\frac{13}{3}\right)}^2+\frac{182}{9}\right]}\ge \frac{\sqrt{546}}{3}$ khi $t=-\frac{13}{3}$.
Vậy $R_{\min }=\frac{\sqrt{546}}{3}$.

Mặt cầu $(S_1)$ có tâm $I_1(1;2;3)$, bán kính $R_1=1$. Mặt cầu $(S_2)$ có tâm $I_2(-3;2;0)$, bán kính $R_2=3$. Khoảng cách hai tâm: $I_1{I}_2=\sqrt{(-4{)}^2+0^2+(-3{)}^2}=5$. Vì $I_1{I}_2>R_1+R_2=4$ nên hai mặt cầu ở ngoài nhau. Khi đó $A{B}_{\max }=I_1{I}_2+R_1+R_2=5+1+3=9$. Chọn A.

Phương trình là mặt cầu khi $a^2+b^2+c^2-d>0\iff (m-2{)}^2+(-m{)}^2+3^2-(m^2+10)>0\iff m^2-4m+3>0\iff m<1$ hoặc $m>3$. Do $m\in [-2;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0;4;5;6;7;8;9;10\}$. Có 10 giá trị nguyên. Chọn B.

Tại $t=4$, điểm trên đường thẳng trùng với gốc tọa độ $O(0;0;0)$ nên khoảng cách gần nhất đạt tại $I(0;0;0)\Rightarrow a+b+c=0$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề B).

Gọi $M(222+91t;565+75t;8)\in d$. Điều kiện $OM=417⟺(222+91t{)}^2+(565+75t{)}^2+8^2=417^2⟺t=-2$ hoặc $t=-7$. Vị trí sớm nhất ứng với $t=-2$, tức $M(40;415;8)\Rightarrow a+b+c=463$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề B).

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1;2)$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ tiếp xúc với $(S)$ tại $M(0;3;0)$ nên nhận vectơ $\overrightarrow{MI}=(1-0;1-3;2-0)=(1;-2;2)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ là:
$1(x-0)-2(y-3)+2(z-0)=0\iff x-2y+2z+6=0.$

**Chọn C**

u
d qua M ( 0; - 1; 2 ) và VTCP = (1; - 2; - 2) .


Mặt phẳng ( P ) có VTPT n = [] AM ; u ]] = ( 2; - 1; 2 ) → ( P ) : 2 x - y + 2 z - 5 = 0 .
Bán kính mặt cầu R = d( I ;( P)) = 2 → Chọn C

( P ) : x - 2 y + 2 z = 0 và ba điểm
A ( 2; 0; 2 ) , B ( 4; 0; 4 ) , C ( 5; 2; 4 ) . Gọi M là điểm di động trên ( P ) sao cho có một mặt cầu
( S ) đi qua A, B và tiếp xúc với ( P ) tại M . Khi đó, độ dài đoạn C M có giá trị nhỏ nhất là

a) Đúng. b) Đúng vì $d(A,(P))=\frac{2}{\sqrt{3}}<9$. c) Sai vì $r=\sqrt{81-4/3}\approx 8,93>8,5$. d) Sai vì $A{M}^2=25+4+64=93>81$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 222).

a) Đúng vì $d(A,(P))=\frac{|4-6|}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}<4$. b) Đúng vì $AM=\sqrt{0+4+4}=2\sqrt{2}<4$. c) Sai vì bán kính bằng $4$ nên vế phải là $16$. d) Sai vì bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{16-4/3}=\sqrt{44/3}\approx 3,83>3,5$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

Gọi $I$ là tâm mặt cầu, bán kính $R=4$.
Chiều cao hình trụ là $h=4$. Khoảng cách từ tâm $I$ đến mỗi mặt đáy của hình trụ là $d=\frac{h}{2}=2$.
Bán kính đáy $r$ của hình trụ thỏa mãn: $r^2=R^2-d^2=4^2-2^2=16-4=12$.
Thể tích khối trụ là: $V_1=\pi r^{2}h=\pi \cdot 12\cdot 4=48\pi$.
Thể tích khối cầu là: $V_2=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 4^3=\frac{256\pi }{3}$.
Tỉ số thể tích: $\frac{V_1}{V_2}=\frac{48\pi }{\frac{256\pi }{3}}=\frac{144}{256}=\frac{9}{16}$.

Kẻ $SH\perp (ABC)$ tại $H$. Vì $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Suy ra $SH$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Trong mặt phẳng $(SAH)$ kẻ đường trung trực của $SA$ cắt $SH$ tại $I$. Vậy $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.
Bán kính $R = IS = \frac{{SA^2}}{{2SH}} = \frac{{SA^2}}{{2\sqrt{{SA^2 - HA^2}}}} = \frac{{2a^2}}{{2\sqrt{{2a^2 - \frac{{a^2}}}}}}

}}

$.

Gọi $M(x;y;z)$. Ta có $\overrightarrow{OM}=(x;y;z)$, $\overrightarrow{AM}=(x-2;y+2;z-2)$.
$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AM}=x(x-2)+y(y+2)+z(z-2)=x^2+y^2+z^2-2x+2y-2z=6$.
Mặt khác $M\in (S)\Rightarrow x^2+y^2+z^2+4z+4=1\iff x^2+y^2+z^2=-4z-3$.
Thay vào: $-4z-3-2x+2y-2z=6\iff -2x+2y-6z-9=0\iff 2x-2y+6z+9=0$. Chọn C.

**Chọn A**
  
Ta có OA = (1; 4; -3) nên []OA, i ]] = ( 0; -3; -4 ) khi đó mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A (1; 4; -3) và

có véctơ pháp tuyến n = ( 0;3; 4 ) nên phương trình mặt phẳng ( P ) là: 3 y + 4 z = 0 .
3.2 + 4.1
Lại có d ( I , ( P ) ) = = 2.
32 + 42
Mặt cầu tâm I (1; 2;1) bán kính R = d ( I , ( P ) ) = 2 có phương trình là

( x - 1) + ( y - 2 ) + ( z - 1) = 4 .
2 2 2

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ (b đúng) và bán kính $R=\sqrt{1+4+9-5}=3$ (d sai). Khoảng cách $d(I,(P))=\frac{|2+6+18-12|}{7}=2$ (a đúng). Bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\Rightarrow$ chu vi là $2\pi \sqrt{5}$ (c sai) (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1101).

Vùng phủ sóng là hình cầu $x^2+y^2+z^2\le 4$. Thay phương trình đường thẳng vào mặt cầu: $t^2+(1-t{)}^2+3=4⟺t=0$ hoặc $t=1$. Hai giao điểm là $A(0;1;\sqrt{3})$ và $B(1;0;\sqrt{3})$, nên quãng đường là $AB=\sqrt{2}\approx 1,4\text{ km}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1101).

**Chọn D**
Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 3;1; −1) , bán kính R = 2 .

Đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; −1;1) và có một vectơ chỉ phương là ud = ( 2;1; 2 )
Xét mặt phẳng thiết diện đi qua tâm I , điểm M , N và cắt d tại H .
Khi đó d ( I , d ) = IH .

Ta có: IA = ( −1; −2; 2 ) .

ud = ( 2;1; 2 )
 
⇒  IA, ud  = ( −6;6;3)
 
 IA, ud  ( −6 ) + 62 + 32
2
 
⇒ d (I , d ) = IH =  = 3.
=
ud 22 + 12 + 22

⇒ IH =3, IM =IN =R =2 ⇒ MH = 32 − 22 = IH 2 − IM 2 = 5 .
Gọi O là trung điểm của MN . Khi đó:
MH .IM 2 5 4 5
MO = = ⇒ MN = 2 MO = .
IH 3 3

a) Sai vì $(x-1{)}^2+y^2+(z+3{)}^2=34^2⟺x^2+y^2+z^2-2x+6z-1146=0$. b) Sai vì $IN=\sqrt{16^2+18^2+(-24{)}^2}=34=R$. c) Đúng vì $IP=\sqrt{(-15{)}^2+30^2+10^2}=35\Rightarrow IP-R=1\text{ m}$. d) Sai vì $IM=\sqrt{(-30{)}^2+40^2+0}=50>34$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

a) Sai vì $IN=\sqrt{(-16{)}^2+18^2+24^2}=34=R$ nên vẫn nhận được sóng. b) Sai vì $IM=\sqrt{30^2+40^2+0}=50>34$. c) Đúng vì $(x+1{)}^2+y^2+(z-3{)}^2=34^2⟺x^2+y^2+z^2+2x-6z-1146=0$. d) Đúng vì $IP=\sqrt{15^2+30^2+(-10{)}^2}=35$, quãng đường ngắn nhất là $IP-R=35-34=1\text{ m}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

Chọn A.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;-1;-1)$ và bán kính $R=3$.
Độ dài $I{A}^2=(2+1{)}^2+(3+1{)}^2+(-1+1{)}^2=9+16+0=25$.
Do $AM$ là tiếp tuyến nên $A{M}^2=I{A}^2-R^2=25-9=16$.
Điểm $M(x;y;z)$ thỏa mãn đồng thời:
1) $(x+1{)}^2+(y+1{)}^2+(z+1{)}^2=9$
2) $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z+1{)}^2=16$.
Trừ vế theo vế ta được: $6x+8y-4=0\iff 3x+4y-2=0$.
Vậy $M$ luôn thuộc mặt phẳng $3x+4y-2=0$.