Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R=\sqrt{R_{ABC}^2+R_{SAB}^2-\frac{A{B}^2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$. Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{5\sqrt{15}\pi }{54}$.

Vì $SA,AB,AC$ đôi một vuông góc tại $A$ nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2+A{C}^2+S{A}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{9a^2+16a^2+100a^2}=\frac{5\sqrt{5}}{2}a$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{6}$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d$.
Vì $(P),(Q)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A,B$ và chứa $d$ nên $IA\perp (P)$ và $IB\perp (Q)$, do đó $IA\perp d$ và $IB\perp d$.
Suy ra $d\perp (IAB)$, do đó $K=d\cap (IAB)$ và $KA,KB$ là các tiếp tuyến kẻ từ $K$ đến $(S)$.
Điểm $K\in d⟹K(-2+2t;-1-3t;t)$.
$\overrightarrow{IK}=(2t-4;-3t;t+1)$. Đường thẳng $d$ có VTCP $\vec{u}=(2;-3;1)$.
$IK\perp d⟺\overrightarrow{IK}\cdot \vec{u}=0⟺2(2t-4)-3(-3t)+1(t+1)=0⟺14t-7=0⟺t=\frac{1}{2}$.
Suy ra $\overrightarrow{IK}=\left(-3;-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)⟹I{K}^2=(-3{)}^2+{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=9+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}=\frac{27}{2}$.
Trong tam giác vuông $IAK$ vuông tại $A$:
$\cos \widehat{AIK}=\frac{IA}{IK}=\frac{R}{IK}⟹{\cos }^2\widehat{AIK}=\frac{R^2}{I{K}^2}=\frac{6}{\frac{27}{2}}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$.
Vì $\Delta IAK=\Delta IBK$ nên $IK$ là tia phân giác của $\widehat{AIB}$, tức là $\widehat{AIB}=2\widehat{AIK}$.
Theo công thức nhân đôi:
$\cos \widehat{AIB}=2{\cos }^2\widehat{AIK}-1=2\left(\frac{4}{9}\right)-1=\frac{8}{9}-1=-\frac{1}{9}$.

Chọn B.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Chọn A.
Đường tròn giao tuyến có chu vi $2\pi r=8\pi ⟹r=4$.
Khoảng cách từ tâm $I(-3;3;1)$ đến mặt phẳng $(P)$ là $d=d(I,(P))=\frac{|-3-6+2-11|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{18}{3}=6$.
Bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=\sqrt{d^2+r^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}$.
Phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x+3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-1{)}^2=52$.

Chọn C.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(2;1;0)$, $S(0;0;2)$ và $M(1;1;0)$.
Gọi $I(x;y;z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.BCM$.
Vì $IB=IC=IM$ và tam giác $BCM$ vuông tại $C$ nên hình chiếu của $I$ trên $(ABCD)$ là trung điểm của $BM$, suy ra $x=\frac{3}{2},y=\frac{1}{2}$.
Từ $I{B}^2=I{S}^2⟺{\left(\frac{3}{2}-2\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+z^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+(z-2{)}^2⟺4z=6⟺z=\frac{3}{2}$.
Vậy bán kính mặt cầu là $R=IB=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2}$.

a) Đúng: Bán kính phủ sóng $130\text{ m}$ ứng với $R=13$ đơn vị nên mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-12{)}^2=169$.
b) Sai: Giao của hình cầu với mặt đất $(Oxy)$ là hình tròn tâm $H(2;1;0)$, bán kính $r=\sqrt{13^2-12^2}=5$ đơn vị ($50\text{ m}$). Ta có $HM=10\text{ m}$; sau $40\text{ s}$ với vận tốc $1\text{ m/s}$, quãng đường đi được là $40\text{ m}$ nên khoảng cách từ $H$ đến người đó tối đa là $10+40=50\text{ m}=r$, tức chưa ra ngoài vùng phủ sóng.
c) Sai: $HN=\sqrt{(8-2{)}^2+(9-1{)}^2}=10$ đơn vị ($100\text{ m}$), nên khoảng cách ngắn nhất từ $N$ đến vùng phủ sóng là $100-50=50\text{ m}$.
d) Đúng: Chiều dài dây cung thuộc vùng phủ sóng là $L=60\cdot 0,1=6$ đơn vị, nên $d(H,AB)=\sqrt{5^2-3^2}=4$. Đường thẳng $AB$ trong $(Oxy)$ có phương trình $(b-9)x+10y-6b-36=0$, từ $d(H,AB)=\frac{4|b+11|}{\sqrt{(b-9{)}^2+100}}=4$ suy ra $(b+11{)}^2=(b-9{)}^2+100\iff b=\frac{3}{2}$.

Giả sử khối lập phương có cạnh $a$, thể tích là $V_{\text{lp}}=a^3$. Đường chéo của khối lập phương là $d=a\sqrt{3}$. Khối cầu ngoại tiếp có đường kính bằng đường chéo hình lập phương, do đó bán kính cầu là $R=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối cầu là $V_{\text{caˆˋu}}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \frac{3\sqrt{3}{a}^3}{8}=\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{2}$. Tỉ số thể tích: $\frac{V_{\text{caˆˋu}}}{V_{\text{lp}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi$.

Từ $w=2z+3-2i\iff z=\frac{w-3+2i}{2}$. Thay vào giả thiết: $\left|\frac{w-3+2i}{2}+3-4i\right|=3\iff |w-3+2i+6-8i|=6\iff |w+3-6i|=6$. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm $I(-3;6)$, bán kính $R=6$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến tâm $I$ là $OI=\sqrt{(-3{)}^2+6^2}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$. Do đó giá trị lớn nhất của $|w|$ là $|w{|}_{max}=OI+R=3\sqrt{5}+6=6+3\sqrt{5}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn B.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-4)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;-3;-4)$, suy ra $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(-8;8;-4)=-4(2;-2;1)$. Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(0;1;1)$ có phương trình $2x-2(y-1)+(z-1)=0\iff 2x-2y+z+1=0$.
a) Đúng vì mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;0;-1)$, bán kính $R=2$, khoảng cách $d(I,(ABC))=\frac{|2-0-1+1|}{3}=\frac{2}{3}$, nên bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{4-\frac{4}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
b) Sai vì phương trình $(ABC)$ là $2x-2y+z+1=0$.
c) Đúng vì $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-4)$.
d) Sai vì trọng tâm $G\left(0;-\frac{1}{3};-\frac{5}{3}\right)$ có $a+b+c=-2$.

Chọn C.
Giả sử tâm mặt cầu là $I\in \Delta \Rightarrow I(1+t;-1+t;2t)$.
Vì $(S)$ tiếp xúc với $(P)$ và $(Q)$ nên $d(I,(P))=d(I,(Q))=R$:
$\frac{|(1+t)-2(-1+t)+3(2t)|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+3^2}}=\frac{|(1+t)-2(-1+t)+3(2t)+4|}{\sqrt{14}}$
$\iff |5t+3|=|5t+7|\iff 5t+3=-(5t+7)\iff 10t=-10\iff t=-1$.
Khi đó tâm $I(0;-2;-2)$.
Bán kính mặt cầu là:
$R=\frac{|0-2(-2)+3(-2)|}{\sqrt{14}}=\frac{|4-6|}{\sqrt{14}}=\frac{2}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$.

Chọn D.

Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục $Ox\Rightarrow E(2;0;0)$. Suy ra $IE=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Giả sử mặt cầu $(S)$ có bán kính $R$. Ta có $△IAB$ cân tại $I\Rightarrow IE\perp AB$. Suy ra $AE=BE=\sqrt{I{A}^2-I{E}^2}=\sqrt{R^2-25}$. Khi đó $S_{△IAB}=\frac{1}{2}IE\cdot AB=IE\cdot AE=5\sqrt{R^2-25}=60\iff \sqrt{R^2-25}=12\iff R^2=169$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-4{)}^2=169$.

Phương trình mặt cầu $(S)$ viết lại: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=10\Rightarrow$ tâm $I(1;-2;-1)$, bán kính $R=\sqrt{10}$. Ta có $\overrightarrow{IM}=(0;3;1)$. Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $M$ nhận $\overrightarrow{IM}=(0;3;1)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình $(P)$: $0(x-1)+3(y-1)+1(z-0)=0\iff 3y+z-3=0$. Chọn đáp án C.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=3$. Mặt phẳng $(\alpha )\parallel (P)$ có phương trình $2x-2y+z+D=0$ ($D\ne 3$). Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu khi $d(I,(\alpha ))=R\iff \frac{|2(1)-2(-2)+3+D|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=3\iff |9+D|=9\iff 9+D=9$ hoặc $9+D=-9$. Suy ra $D=0$ hoặc $D=-18$. Phương trình là $2x-2y+z-18=0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

[IMAGE_1]

Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R=3$. Mặt phẳng $(P)$ có ${\vec{n}}_P=(1;1;1)$ và điểm $M(1;1;2)\in (P)$ nằm trong $(S)$ vì $OM=\sqrt{6}<3$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ trên $\Delta$, ta có $AB=2\sqrt{R^2-O{K}^2}$ nhỏ nhất khi $OK$ lớn nhất. Mà $OK\le OM$ nên $OK$ lớn nhất khi $K\equiv M$, tức $\Delta \perp OM$.
Suy ra ${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_P,\overrightarrow{OM}]=(1;-1;0)\Rightarrow a=-1,b=0\Rightarrow 5a+3b=-5$.

Gọi $O=AC\cap BD$. Vì các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau nên hình chiếu của $S$ lên đáy là $O$. Bán kính đáy $R_d=OA=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{3^2+4^2}=\frac{5}{2}$. Chiều cao $SO=OA\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{5\sqrt{3}}{2}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp $R=\frac{S{A}^2}{2SO}=\frac{O{A}^2+S{O}^2}{2SO}=\frac{(5/2{)}^2+(75/4)}{5\sqrt{3}}=\frac{100/4}{5\sqrt{3}}=\frac{25}{5\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$. Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)}^3=\frac{500\sqrt{3}}{27}\pi$.

Chọn C.

Gọi $I(0;0;z)\in Oz$ là tâm mặt cầu $(S)$.
Mặt cầu đi qua hai điểm $A(-1;-2;4),B(2;1;2)$ nên $IA=IB\iff \sqrt{1^2+2^2+(z-4{)}^2}=\sqrt{2^2+1^2+(z-2{)}^2}\iff z=3$.
Bán kính của mặt cầu là $R=IA=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}$.

Gọi $R_1,R_2$ là bán kính của hai mặt cầu ($R_1\ge R_2$). Theo giả thiết ta có hệ:
$\{\begin{array}{l}(R_1+R_2{)}^2=(R_1-R_2{)}^2+A{B}^2\\ 4\pi (R_1^2+R_2^2)=80\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}4R_1{R}_2=32\\ R_1^2+R_2^2=20\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{R}_1{R}_2=8\\ R_1+R_2=6\end{array}\Rightarrow R_1=4,R_2=2$.
Tổng thể tích hai khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi (R_1^3+R_2^3)=\frac{4}{3}\pi (64+8)=96\pi$.

Ranh giới vùng phủ sóng là mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;2;2)$, bán kính $R=3$. Ta có $IM=IN=3\sqrt{5}>3$ và trung điểm của $MN$ là $K(5;-2;4)$ với $\overrightarrow{IK}=(4;-4;2)$, $IK=6$. Do tính đối xứng qua đường thẳng $IK$, tổng $EM+EN$ đạt giá trị lớn nhất khi $E$ thuộc $(S)$ nằm trên tia đối của tia $IK$, tức là $\overrightarrow{IE}=-\frac{R}{IK}\overrightarrow{IK}=(-2;2;-1)\Rightarrow E(-1;4;1)$. Khi đó $T=a+b+c=-1+4+1=4$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0171, trang 5): 4.

a) Sai vì $IA=1>R=\frac{1}{2}$. b) Sai vì giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{41}{12}\ne 5$. c) Đúng. d) Đúng vì $AB=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$ (theo đáp án chính thức Trang 11, Mã đề 2101).