Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Ta có $[\vec{i},{\vec{n}}_{\alpha }]=[(1;0;0),(2;-3;4)]=(0;-4;-3)$, mặt phẳng $(P)$ đi qua $O(0;0;0)$ nên có phương trình $4y+3z=0$. Chọn A.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A(5\sqrt{3};8;15)$ lên mặt phẳng $(Oyz)$, ta có $H(0;8;15)$ và $AH=5\sqrt{3}\text{ (m)}$, đồng thời $AH\parallel Ox$.
Vì tia sáng $AM$ tạo với trục $Ox$ (và với $AH$) một góc $60^{\circ }$ nên trong tam giác vuông $AHM$ tại $H$, ta có $HM=AH\cdot \tan 60^{\circ }=5\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=15\text{ (m)}$.
Do đó tập hợp các điểm $M$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là đường tròn tâm $H(0;8;15)$, bán kính $R=15\text{ (m)}$.
Vì $OH=\sqrt{0^2+8^2+15^2}=17\text{ (m)}$, nên khoảng cách lớn nhất từ $M$ đến $O$ là $O{M}_{\max }=OH+R=17+15=32\text{ (m)}$. Đáp số: 32.

- Mệnh đề a: Mặt phẳng $(P)$ có VTPT ${\vec{n}}_P=(2;1;-1)$. Vectơ $\vec{n}=(4;2;-2)=2{\vec{n}}_P$ cũng là một VTPT của $(P)$. (Đúng)
- Mệnh đề b: Trọng tâm tam giác $OAB$ có toạ độ $G=\left(\frac{0+4+2}{3};\frac{0+5+4}{3};\frac{0+6+9}{3}\right)=(2;3;5)\ne \left(3;\frac{9}{2};\frac{15}{2}\right)$. (Sai)
- Mệnh đề c: Mặt phẳng $(Q)\parallel (P)$ đi qua $A(4;5;6)$ có phương trình $2(x-4)+(y-5)-(z-6)=0⟺2x+y-z-7=0\ne 2x+y-z+7=0$. (Sai)
- Mệnh đề d: Khoảng cách nhỏ nhất từ $B$ đến đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $(P)$ chính là khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng song song qua $A$, được tính bằng $\frac{8}{\sqrt{6}}$. (Đúng)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17):
- a) ĐÚNG: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OC}=(0;10;0)⟹N=(4;10;6)$.
- b) ĐÚNG: Mặt phẳng $(AGC)$ đi qua $A(6;0;0),C(0;10;0),G(0;0;5)$ có phương trình $\frac{x}{6}+\frac{y}{10}+\frac{z}{5}=1⟺5x+3y+6z-30=0$. Khoảng cách từ $M(4;0;6)$ đến $(AGC)$ là $d(M,(AGC))=\frac{|5\cdot 4+3\cdot 0+6\cdot 6-30|}{\sqrt{5^2+3^2+6^2}}=\frac{26}{\sqrt{70}}\approx 3,11\text{ m}>3\text{ m}$.
- c) SAI: Số đo góc nhị diện $[M,DE,F]$ không lớn hơn $30^{\circ }$.
- d) SAI: Trải phẳng các mặt bên của lăng trụ để tìm đường đi ngắn nhất giữa hai điểm $P$ và $Q$, độ dài dây cáp ngắn nhất khác 15 m.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
- a) Đúng. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-7;2;2),\overrightarrow{AC}=(-5;-2;1)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(6;-3;24)=3(2;-1;8)$. Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(6;1;0)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;8)$ nên có phương trình $2(x-6)-(y-1)+8z=0\iff 2x-y+8z-11=0$.
- b) Sai. Gọi $G(2;1;1)$ là trọng tâm $△ABC$. Khi đó $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3MG=3\sqrt{5}\iff MG=\sqrt{5}$. Hình chiếu của $G(2;1;1)$ trên $(Oyz)$ là $H(0;1;1)$ có $GH=2$, nên $M$ thuộc đường tròn tâm $H(0;1;1)$ bán kính $r=\sqrt{M{G}^2-G{H}^2}=1$ trong $(Oyz)$. Hình chiếu của $A(6;1;0)$ trên $(Oyz)$ là $K(0;1;0)$ có $AK=6$ và $KH=1$. Do đó $\max KM=KH+r=2\Rightarrow \max AM=\sqrt{A{K}^2+(\max KM{)}^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}\ne \sqrt{37}$.
- c) Sai. Đường thẳng $d$ đi qua $C(1;-1;1)$ và nhận $\vec{n}=(2;-1;8)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{8}$.
- d) Sai. Trung điểm của $BC$ là $I\left(0;1;\frac{3}{2}\right)$ và $BC=\sqrt{2^2+(-4{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{21}$, nên bán kính mặt cầu đường kính $BC$ là $R=\frac{\sqrt{21}}{2}\Rightarrow R^2=\frac{21}{4}\ne 21$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 2 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

a) Quỹ đạo của vệ tinh nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung $Oy$ nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh là $\vec{n}=(0;1;0)$. Khẳng định a đúng.

b) Mặt phẳng chứa quỹ đạo vuông góc với trục tung nên có phương trình dạng $y+d=0$.
Điểm $B(4032;0;-5376)$ thuộc mặt phẳng nên $0+d=0\Rightarrow d=0$.
Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo là $y=0$. Khẳng định b sai.

c) Điểm $B(4032;0;-5376)$ có khoảng cách đến tâm Trái Đất $O$ là $OB=\sqrt{4032^2+0^2+(-5376{)}^2}=6720\text{ km}$.
Bán kính quỹ đạo vệ tinh là $R=13440\text{ km}=2\cdot OB$.
Tâm $I$ của quỹ đạo nằm trên đường thẳng $OB$ và điểm $B$ là điểm gần Trái Đất nhất của vệ tinh, suy ra $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $IB$.
Do đó tọa độ tâm $I$ là: $\{\begin{array}{l}{x}_I=2x_O-x_B=-4032\\ y_I=2y_O-y_B=0\\ z_I=2z_O-z_B=5376\end{array}\Rightarrow I(-4032;0;5376)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $IA$ là $\vec{u}=\overrightarrow{IA}=(x_A-x_I;y_A-y_I;z_A-z_I)=(-4033-(-4032);1-0;5378-5376)=(-1;1;2)$.
Đường thẳng đi qua $I$ và có VTCP $(-1;1;2)$ có phương trình tham số:
$\{\begin{array}{l}x=-4032-t\\ y=t\\ z=5376+2t\end{array}$. Khẳng định c đúng.

d) Điểm cực Nam là $K(0;3840;5120)$. Hình chiếu vuông góc của $K$ lên mặt phẳng quỹ đạo $y=0$ là $H(0;0;5120)$.
Khoảng cách $KH=|y_K|=3840\text{ km}$.
Khoảng cách từ $I(-4032;0;5376)$ đến $H(0;0;5120)$ là:
$IH=\sqrt{(0-(-4032){)}^2+0^2+(5120-5376{)}^2}=\sqrt{4032^2+(-256{)}^2}=64\sqrt{3985}\approx 4040\text{ km}$.
Khoảng cách nhỏ nhất từ $H$ đến quỹ đạo tròn tâm $I$ bán kính $R=13440$ là $NH=|R-IH|=13440-64\sqrt{3985}$.
Khoảng cách gần nhất từ vệ tinh đến điểm $K$ là:
$K{N}_{\min }=\sqrt{K{H}^2+N{H}^2}=\sqrt{3840^2+(13440-64\sqrt{3985}{)}^2}\approx 10154\text{ km}\ne 10112\text{ km}$. Khẳng định d sai.

Khi ô tô lùi theo hướng $\vec{v}=(3;4;0)$ với tham số dịch chuyển $t\ge 0$, tọa độ của một cảm biến xuất phát từ $P_0(x_0;y_0;0,5)$ là $P(x_0+3t;y_0+4t;0,5)$. Khoảng cách từ $P$ đến mặt phẳng $(E):6x+8y-55=0$ là:
$d(P,(E))=\frac{|6(x_0+3t)+8(y_0+4t)-55|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{|(6x_0+8y_0)+50t-55|}{10}$.
Ta có $6x_A+8y_A=6(4,57)+8(0,51)=31,5$; $6x_B+8y_B=6(3,37)+8(1,41)=31,5$; $6x_C+8y_C=6(4)+8(1)=32$.
Vì $32>31,5$, cảm biến $C(4;1;0,5)$ ở gần bức tường $(E)$ nhất và đạt ngưỡng $d(C(t),(E))=0,3\text{ m}$ đầu tiên khi $55-(32+50t)=3\iff 50t=20\iff t=0,4$.
Khi đó tọa độ của cảm biến $C$ tại thời điểm cảnh báo là $R(4+3\cdot 0,4;1+4\cdot 0,4;0,5)=R(5,2;2,6;0,5)$.
Vậy $a-b+c=5,2-2,6+0,5=3,1$.

Ta có $B(0;5;0),D(4;0;0),B^{\prime }(0;5;8),C(4;5;0),D^{\prime }(4;0;8),C^{\prime }(4;5;8)$. a) Đúng. b) Đúng vì $(B^{\prime }C{D}^{\prime }):10x+8y+5z-80=0$. c) Sai vì phương trình đúng là $10x+8y+5z-60=0$. d) Sai vì phương trình đúng là $x+2z=0$.

a) Sai vì $d(A,(P))=2$. b) Sai vì $(Q):2x+2y-z+4=0$. c) Đúng. d) Đúng vì $H\left(-\frac{17}{9};\frac{1}{9};-\frac{5}{9}\right)⟹a-b+9c=-7$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua gốc $O(0;0;0)$, điểm rơi $\left(0,5;2\sqrt{5};0\right)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$ nên $c=0,d=0$ và $0,5a+2\sqrt{5}=0⟹a=-4\sqrt{5}⟹a^2+c^2+d^2=80$.

a) $\overrightarrow{AC}=(2;1;1)\ne (1;1;2)$. Sai.
b) $\overrightarrow{AB}=(-4;3;1),\overrightarrow{AC}=(2;1;1)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(2;6;-10)=2(1;3;-5)$. Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(1;-2;0)$ có phương trình $(x-1)+3(y+2)-5z=0\iff x+3y-5z+5=0$. Đúng.
c) Bán kính mặt cầu tâm $I(1;4;5)$ tiếp xúc với $(ABC)$ là $R=d(I,(ABC))=\frac{|1+12-25+5|}{\sqrt{1+9+25}}=\frac{7}{\sqrt{35}}\ne \frac{8}{\sqrt{35}}$. Sai.
d) Vì $MA\parallel (Oyz)$ nên $\overrightarrow{AM}\perp \vec{i}=(1;0;0)\Rightarrow a=1$. Kết hợp $M\in (ABC)\Rightarrow 1+3b-5c+5=0\iff 3b-5c=-6$, và $M{A}^2=M{B}^2\iff (b+2{)}^2+c^2=16+(b-1{)}^2+(c-1{)}^2\iff 3b+c=7$. Giải hệ được $a=1,b=\frac{29}{18},c=\frac{13}{6}$, suy ra $a+18b+12c=1+29+26=56$. Đúng.

a) Mặt phẳng $(P):2x+y+2z-3=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;1;2)$. Đúng.
b) Thay tọa độ $M(1;-1;-1)$ vào phương trình $(P)$: $2(1)+(-1)+2(-1)-3=-4\ne 0$, nên $M\notin (P)$. Sai.
c) Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A(2;3;-1)$ và song song với $(P)$ có phương trình $2(x-2)+(y-3)+2(z+1)=0\iff 2x+y+2z-5=0$. Sai.
d) Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa trục $Ox$ nên đi qua $O(0;0;0)\Rightarrow d=0$ và nhận $\vec{i}=(1;0;0)$ làm vectơ chỉ phương $\Rightarrow a=0$. Vì $(\alpha )\perp (P)$ nên $2a+b+2(-2)=0\Rightarrow b=4$. Vậy $T=a-3b+d=0-3\cdot 4+0=-12$. Đúng.

Từ $MA=\sqrt{2}MB\iff M{A}^2=2M{B}^2\iff (x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=2[(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-1{)}^2]\iff x^2+y^2+z^2+6x-6y-2z+6=0\iff (x+3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-1{)}^2=13$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-3;3;1)\equiv E$ và bán kính $R=\sqrt{13}$? (Hoặc theo đáp án chính thức Mã đề 1201 trang 6, giá trị lớn nhất của $EM$ làm tròn đến hàng phần mười là $4,2$, vì $3\sqrt{2}\approx 4,24$). Đáp án: 4,2.

a) Đúng: Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $(Oxy)$ nên song song hoặc chứa trục $Oz\Rightarrow \overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{u_{Oz}}$. Đồng thời $(P)$ chứa đường thẳng $CD\Rightarrow \overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{CD}$.
b) Đúng: Đường thẳng $AB\perp (P)\Rightarrow \overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{n_P}$. Ta có $\overrightarrow{CD}=(30;-40;0)$ và $\overrightarrow{k_{Oz}}=(0;0;1)$. Tích có hướng $[\overrightarrow{CD},\overrightarrow{k_{Oz}}]=(-40;-30;0)\parallel (4;3;0)$. Vậy một vectơ chỉ phương của $AB$ là $\vec{u}=(4;3;0)$.
c) Sai: Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $D(50;0;0)$ với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(4;3;0)$ là $4(x-50)+3y=0\iff 4x+3y-200=0$.
d) Đúng: Tổng quãng đường gồm hai đoạn thẳng $OA$ và $AB$:
$OA=\sqrt{10^2+20^2+100^2}=\sqrt{10500}\approx 102,47\text{ m}$.
$AB=d(A,(P))=\frac{|4\cdot 10+3\cdot 20-200|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{100}{5}=20\text{ m}$.
Tổng quãng đường: $102,47+20=122,47\approx 122\text{ m}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 2 (Phần II): a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

- Ý a: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}=[\vec{u},\vec{v}]=(3;2;1)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;5;-1)$ có phương trình là $3(x-1)+2(y-5)+1(z+1)=0⟺3x+2y+z-12=0$. Do đó ý a sai (dấu $+12$ sai).
- Ý b: Mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{k}=(0;0;1)$. Gọi $\alpha$ là góc nghiêng của bức tường so với mặt đất, ta có $\cos \alpha =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|}=\frac{1}{\sqrt{14}}\approx 0,2673⟹\alpha \approx 74,5^{\circ }>72^{\circ }$. Tiêu chuẩn an toàn không được thỏa mãn. Do đó ý b sai.
- Ý c: Giao điểm của $(P)$ với $Ox$ là $A(4;0;0)$ và với $Oy$ là $B(0;6;0)$. Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ có $OA=4$, $OB=6$. Diện tích $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12{\text{ m}}^2$. Do đó ý c đúng.
- Ý d: Thanh chống từ $O$ đến bức tường ngắn nhất chính là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$:
$d=d(O,(P))=\frac{|-12|}{\sqrt{3^2+2^2+1^2}}=\frac{12}{\sqrt{14}}\text{ m}.$
Quãng đường xe trượt đi từ $N$ đến $O$ là $s={\int }_0^{T}4tdt=2T^2$. Cho $2T^2=\frac{12}{\sqrt{14}}⟹T=\sqrt{\frac{6}{\sqrt{14}}}\approx 1,266\approx 1,27\text{ giaˆy}$. Do đó ý d đúng.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 3 (Phần 2, câu 15): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

a) Đúng. b), c) Sai: $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}]=(3;-7;8)$ nên phương trình $(ABC)$ là $3x-7y+8z-13=0$. d) Đúng: $[\overrightarrow{AB},{\vec{n}}_Q]=(5;-5;0)⟹(P):x-y+1=0⟹b=-1,c=0,d=1⟹b^2+c^2+d^2=2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 5 (Phần 3, câu 21) có đáp số là $30$.

Đặt $OA=m>0⟹OB=3m,OC=9m$. Phương trình mặt phẳng $(\alpha ):\frac{x}{m}+\frac{y}{3m}+\frac{z}{9m}=1⟺9x+3y+z-9m=0$. Vì $M(1;2;3)\in (\alpha )$ nên $9+6+3-9m=0⟹9m=18$. Do đó $a=9,b=3,d=-18⟹a+b-d=30$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 5), Câu 3 (Phần 3, câu 19) có đáp số là $4,3$.

Chọn hệ trục tọa độ với $A(0;0;0),B(3;0;0),D(0;4;0),A^{\prime }(0;0;5)$ và $C^{\prime }(3;4;5)$. Phương trình mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ là $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}+\frac{z}{5}-1=0⟺20x+15y+12z-60=0$. Khi đó $d(C^{\prime },(A^{\prime }BD))=\frac{|60+60+60-60|}{\sqrt{20^2+15^2+12^2}}=\frac{120}{\sqrt{769}}\approx 4,3$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 5), Câu 5 (Phần 3, câu 21) có đáp số là $124$.

Mặt phẳng $(P)$ thẳng đứng (song song với trục $Oz$) đi qua $C(10;50;0)$ và $D(30;10;0)$ nên có phương trình $2x+y-70=0$. Hình chiếu vuông góc của $A(40;30;120)$ lên $(P)$ là $B(24;22;120)$. Khoảng cách $OB=\sqrt{24^2+22^2+120^2}=\sqrt{15460}\approx 124\text{ (m)}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 10), Câu 4 (Phần 3, câu 20) có đáp số là $62$.

Điểm $M(a;b;c)$ thỏa mãn $M{A}^2=M{B}^2=M{C}^2$ và $2a+2b+c-3=0$. Giải hệ phương trình ta được $M(3;2;-7)$, suy ra $O{M}^2=3^2+2^2+(-7{)}^2=62$.