Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

a. Ta có $A=\frac{\sin 2\alpha +\sin \alpha }{1+\cos 2\alpha +\cos \alpha }=\frac{\sin \alpha (2\cos \alpha +1)}{2{\cos }^2\alpha +\cos \alpha }=\frac{\sin \alpha (2\cos \alpha +1)}{\cos \alpha (2\cos \alpha +1)}=\tan \alpha$.

b. $$\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=0\iff 2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin x=1\iff \sin x=\frac{1}{2}$. Trên $[0;2\pi ]$, $\sin x=\frac{1}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Vậy nghiệm tổng quát là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khớp với phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x=1$ suy ra $\sin x=\frac{1}{2}$. Trên vòng tròn lượng giác, $\sin x=\frac{1}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{6}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$. Vậy họ nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ và $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$, đều thỏa mãn. Kết quả khớp với phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm $t$ trong khoảng 8 giây đầu sao cho $h=8$ cm. Giải phương trình: $8\sin \left(\frac{\pi }{4}t\right)=8\iff \sin \left(\frac{\pi }{4}t\right)=1\iff \frac{\pi }{4}t=\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff t=2+8k$, $k\in \mathbb{Z}$. Với điều kiện $0\le t\le 8$, chỉ có $k=0$ thỏa mãn, suy ra $t=2$ giây. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 1102, câu 16: 2).

$\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\tan \frac{\pi }{3}$ (0,25 điểm)

$\iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi$ (0,25 điểm)

$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$ (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $8\sin \left(\frac{\pi }{4}t\right)=8$, tức $\sin \left(\frac{\pi }{4}t\right)=1$. Suy ra $\frac{\pi }{4}t=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$, nên $t=2+8k$. Trong vòng 8 giây đầu ($0\le t\le 8$), chỉ có $t=2$ (với $k=0$) thỏa mãn; $k=1$ cho $t=10>8$. Vậy thời điểm cần tìm là $t=2$ giây, trùng với đáp án nguồn.

$\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\tan \frac{\pi }{3}$ (0,25 điểm)

$\iff x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi$ (0,25 điểm)

$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$ (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1-\cos 2x=0\iff \cos 2x=1\iff 2x=k2\pi \iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập nghiệm là $\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, trùng với đáp án C (khớp bảng đáp án mã đề 2103, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1-\cos 2x=0\iff \cos 2x=1\iff 2x=k2\pi \iff x=k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập nghiệm là $\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, khớp với đáp án C (khớp cả đáp án của đề, mã đề 1246).

Câu 1 (1 điểm)
a/ $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$ (0.125)
$\iff \{\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}$ (0.25)
$\iff \{\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ (0.125)
b/ $\sqrt{3}\tan x-1=0\iff \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ (0.125)
$\iff \tan x=\tan \left(\frac{\pi }{6}\right)$ (0.125)
$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (0.25)

Câu 1 (1 điểm):
a/ $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{6}$ — 0.125
$\iff \{\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}$ — 0.25
$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$ — 0.125
b/ $\sqrt{3}\tan x+1=0\iff \tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ — 0.125
$\iff \tan x=\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ — 0.125
$\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ — 0.25

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{2\pi }{9}$ có nghiệm dạng $x=\pm \frac{2\pi }{9}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\cos x=\cos \alpha$). Điều này khớp với đáp án A và cũng khớp với bảng đáp án của đề 102 (câu 11 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{2}\sin x=1\iff \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, có họ nghiệm $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. a) Đúng theo công thức nghiệm tổng quát. b) Nghiệm dương nhỏ nhất: với $k=0$ ta được $x=\frac{\pi }{4}$ (nhỏ hơn $\frac{3\pi }{4}$), các $k<0$ cho nghiệm âm, $k\ge 1$ cho nghiệm lớn hơn, vậy nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ — đúng. c) Trong đoạn $[-\pi ;2\pi ]$: xét $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ ta được $k=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}$ (với $k=-1$, $x=-\frac{7\pi }{4}<-\pi$ loại; $k=1$, $x=\frac{9\pi }{4}>2\pi$ loại); xét $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ ta được $k=0\Rightarrow x=\frac{3\pi }{4}$. Vậy chỉ có 2 nghiệm $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}$, không phải 4 nghiệm — sai. d) Tổng các nghiệm trong đoạn $[-\pi ;2\pi ]$ là $\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=\pi$ — đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đ, b Đ, c S, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, công thức nghiệm tổng quát cho $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $k=0$, nghiệm nhỏ nhất trong hai họ là $x=\frac{\pi }{4}>0$; các $k<0$ cho nghiệm âm nên nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $[-\pi ;2\pi ]$ chỉ có 2 nghiệm: $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{3\pi }{4}$ (các giá trị với $k=\pm 1$ nằm ngoài đoạn).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm trong đoạn là $\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}=\pi$.

Ta có: phương trình tương đương $$\{\begin{array}{l}\sin 3x=1(1)\\ \sin 3x=\frac{1}{2}(2)\end{array}$$ Giải pt (1): $\sin 3x=1\iff 3x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}(k\in Z)$. Giải pt (2): $$\sin 3x=\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 3x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}(k\in Z)$$ Vậy pt đã cho có các nghiệm: $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$; $x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$; $x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$.

Ta có: phương trình tương đương $$\{\begin{array}{l}\sin 3x=1(1)\\ \sin 3x=\frac{1}{2}(2)\end{array}$$ Giải pt (1): $\sin 3x=1\iff 3x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}(k\in Z)$. Giải pt (2): $$\sin 3x=\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}3x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 3x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}(k\in Z)$$ Vậy pt đã cho có các nghiệm: $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$; $x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$; $x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos x=-1$ suy ra $\cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$. Do đó $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, thỏa mãn. Các phương án B, C, D cho $\cos x=\frac{1}{2}$ hoặc tập nghiệm sai chu kỳ, không thỏa. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $1+\sin x=0\iff \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Với $x\in [3\pi ;5\pi ]$, ta cần $3\pi \le -\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 5\pi \iff \frac{7}{4}\le k\le \frac{11}{4}$, nên $k=2$, suy ra $x=-\frac{\pi }{2}+4\pi =\frac{7\pi }{2}$. Vậy nghiệm trên đoạn $[3\pi ;5\pi ]$ là $\frac{7\pi }{2}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai chân cầu là hai giao điểm của đồ thị $y=\frac{39}{10}\sin \left(\frac{x}{8}\right)$ với trục hoành. Điểm $O$ có hoành độ $x=0$ (vì $y=0$ khi $x=0$). Điểm $A$ là giao điểm dương tiếp theo, tức $\sin \left(\frac{x}{8}\right)=0$ với $x>0$ nhỏ nhất: $\frac{x}{8}=\pi \Rightarrow x=8\pi \approx 25,1327$ mét. Vậy khoảng cách $OA=8\pi \approx 25,1$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin x=\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$. Trường hợp 1: $x=x-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ vô nghiệm. Trường hợp 2: $x=\pi -\left(x-\frac{\pi }{3}\right)+k2\pi \Rightarrow 2x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{3}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 0$. Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{3}+k\pi \right\}$, đáp án A.