Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

* $\cos \left(2x+20^{\circ }\right)=\cos \left(90^{\circ }-15^{\circ }\right)$ — 0,25

* $\{\begin{array}{l}2x+20^{\circ }=90-15^{\circ }+k360^{\circ }\\ 2x+20^{\circ }=-\left(90^{\circ }-15^{\circ }\right)+k360^{\circ }\end{array}$ — 0,5

* $\{\begin{array}{l}x={\left(\frac{55}{2}\right)}^{\circ }+k180^{\circ }\\ x={\left(-\frac{95}{2}\right)}^{\circ }+k180^{\circ }\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng điều kiện $\cos A=\cos B⟺A=\pm B+2k\pi$.

TH1: $4x+\frac{\pi }{3}=2x+\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\pi$.

TH2: $4x+\frac{\pi }{3}=-2x-\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 6x=-\pi +2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}$.

Vậy nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$, khớp với đáp án A (đáp án nguồn cho mã đề 469 cũng là A).

* $\sin \left(3x-10^{\circ }\right)=\sin \left(90^{\circ }-15^{\circ }\right)$ — 0,25

* $\{\begin{array}{l}3x-10^{\circ }=90^{\circ }-15^{\circ }+k360^{\circ }\\ 3x-10^{\circ }=180^{\circ }-\left(90^{\circ }-15^{\circ }\right)+k360^{\circ }\end{array}$ — 0,5

* $\{\begin{array}{l}x={\left(\frac{85}{3}\right)}^{\circ }+k120^{\circ }\\ x={\left(\frac{115}{3}\right)}^{\circ }+k120^{\circ }\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ — 0,25

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng điều kiện $\cos A=\cos B⟺A=\pm B+2k\pi$.

TH1: $4x+\frac{\pi }{3}=2x+\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 2x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\pi$.

TH2: $4x+\frac{\pi }{3}=-\left(2x+\frac{2\pi }{3}\right)+2k\pi \Rightarrow 6x=-\pi +2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}$.

Vậy nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,x=-\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$, trùng với đáp án B (khớp bảng đáp án mã đề 357, Câu 2 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ta có $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$, nên $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi =\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, đúng. Phương án A dùng chu kỳ $k\pi$ cho cả hai họ nên sai (ví dụ $x=\frac{5\pi }{4}$ cho $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$); B sai vì $-\frac{\pi }{4}$ cho $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$; C thiếu họ nghiệm thứ hai. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Do đó $2x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-\frac{\pi }{12}+k\pi ;-\frac{\pi }{4}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin (x+\alpha )=\sqrt{3}\iff \sin (x+\alpha )=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó $x+\alpha =\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x+\alpha =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $x=-\alpha +\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha +\frac{2\pi }{3}+k2\pi$. Đây chính là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Với $x\in \left[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$: $k=-1$ cho $x=-\frac{3\pi }{2}$ (thỏa mãn); $k=0$ cho $x=\frac{\pi }{2}$ (thỏa mãn); $k=1$ cho $x=\frac{5\pi }{2}$ (thỏa mãn vì thuộc đoạn). Các giá trị $k=-2$ và $k=2$ cho $x=-\frac{7\pi }{2}$ và $x=\frac{9\pi }{2}$, đều ngoài đoạn nên loại. Vậy $S=\left\{-\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right\}$ có 3 phần tử, khớp với đồ thị: trên đoạn đã cho, đồ thị $y=\sin x$ đạt đỉnh bằng 1 tại đúng ba điểm này. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff 2x=k2\pi \iff x=k\pi$.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \iff 2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{k\pi ;\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Kiểm tra: với $x=k\pi$ thì $2x+\frac{\pi }{3}=2k\pi +\frac{\pi }{3}$, $\sin =\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓; với $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ thì $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, $\sin =\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos (x+\alpha )=1$ ta có $\cos (x+\alpha )=\frac{1}{2}$. Do đó $x+\alpha =\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, suy ra $x=-\alpha +\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha -\frac{\pi }{3}+k2\pi$ (thường viết $x=-\alpha +\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ vì $-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$... thực chất hai họ nghiệm tương đương). So với các phương án, phương án A cho họ nghiệm $x=-\alpha +\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và $x=-\alpha +\frac{2\pi }{3}+k2\pi$; kiểm tra: với $x=-\alpha +\frac{2\pi }{3}$ thì $\cos (x+\alpha )=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, không thỏa. Xét kỹ lại: nghiệm đúng là $x=-\alpha \pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=-\alpha +\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha -\frac{\pi }{3}+k2\pi$ — đây chính là phương án D. Phương án A sai vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$; B, C cũng không thỏa mãn. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $\left[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$, ta có $\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Điều kiện $-\frac{5\pi }{2}\le k\pi \le \frac{5\pi }{2}$ tương đương $-2,5\le k\le 2,5$, nên $k\in \{-2,-1,0,1,2\}$. Các giá trị của $x$ là $-2\pi ,-\pi ,0,\pi ,2\pi$. Vậy S có 5 phần tử, khớp với đồ thị cắt trục hoành tại 5 điểm. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Do đó $2x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{-\frac{\pi }{12}+k\pi ;-\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin (x+\alpha )=\sqrt{3}$ ta có $\sin (x+\alpha )=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Nghiệm tổng quát của $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$ là $t=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $t=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Thay $t=x+\alpha$ và trừ $\alpha$ hai vế, ta được $x=-\alpha +\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha +\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Đây đúng là phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $\left[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$, phương trình $\sin x=1$ có nghiệm dạng $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=-1$: $x=-\frac{3\pi }{2}$; với $k=0$: $x=\frac{\pi }{2}$; với $k=1$: $x=\frac{5\pi }{2}$. Cả ba giá trị đều thuộc đoạn đã cho (khớp với đồ thị $y=\sin x$ ở trang 6 có 3 đỉnh cao tại $-\frac{3\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{2}$). Vậy $S$ có 3 phần tử, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff 2x=k2\pi \iff x=k\pi$.
Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \iff 2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{k\pi ;\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos (x+\alpha )=1$ ta có $\cos (x+\alpha )=\frac{1}{2}$. Suy ra $x+\alpha =\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=-\alpha +\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha -\frac{\pi }{3}+k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. So sánh với các phương án, chỉ phương án D khớp (phương án A có $\frac{2\pi }{3}$ là sai vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $\left[-\frac{5\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$, phương trình $\sin x=0$ có nghiệm $x=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vì $-\frac{5\pi }{2}\le k\pi \le \frac{5\pi }{2}$ nên $-2.5\le k\le 2.5$, tức $k\in \{-2,-1,0,1,2\}$. Vậy $S=\{-2\pi ;-\pi ;0;\pi ;2\pi \}$ có 5 phần tử. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: phương trình $\cos x=m$ vô nghiệm khi và chỉ khi $m\notin [-1;1]$, tức $|m|>1$; khi $-1\le m\le 1$ phương trình luôn có nghiệm. b) Sai: $\frac{\pi }{5}\text{ rad}=\frac{\pi }{5}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=36^{\circ }\ne 35^{\circ }$. c) Đúng: $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. d) Đúng: $\frac{41\pi }{5}=8\pi +\frac{\pi }{5}$, và $0<\frac{\pi }{5}<\frac{\pi }{2}$ nên điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ I. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 0111 (S, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=m$ vô nghiệm khi và chỉ khi $|m|>1$; với $-1\le m\le 1$ phương trình luôn có nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{\pi }{5}\text{ rad}=36^{\circ }$, không phải $35^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=\cot x$ xác định khi $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{41\pi }{5}=8\pi +\frac{\pi }{5}$ với $0<\frac{\pi }{5}<\frac{\pi }{2}$, nên điểm thuộc góc phần tư thứ I.