Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $h=250$, tức $550+450\cos \frac{\pi t}{50}=250\iff \cos \frac{\pi t}{50}=-\frac{2}{3}$. Với $0\le t\le 60$ thì $0\le \frac{\pi t}{50}\le \frac{6\pi }{5}$, nên $\frac{\pi t}{50}=\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)$ (nghiệm $2\pi -\arccos (-2/3)$ nằm ngoài khoảng này). Do đó $t=\frac{50}{\pi }\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)\approx \frac{50}{\pi }\cdot 2,3005\approx 36,62$ phút, tức khoảng 36 phút 37 giây kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Vậy thời điểm thực hiện thí nghiệm trong 60 phút đầu là $t\approx 36,62$ phút.

Ta có: $\sin x+\cos x+\sin 2x+1=2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos x$

Đặt $\sin x+\cos x=t$ $(|t|\le \sqrt{2})$ $\iff$ $t^2-2t\cos x+t=0$ $\iff$ $\{\begin{array}{l}t=0\\ t=2\cos x-1\end{array}$

+ Với $t=0$ $\iff$ $\sin x+\cos x=0$ $\iff$ $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

+ Với $t=2\cos x-1$ $\iff$ $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-1$ $\iff$ $\{\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{array}$ $(k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ ; $x=k2\pi$; $x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

(AI giải đề cho tôi)
Từ (*) ta có $\cos \left(x-\frac{\pi }{12}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}$, nên ý a) đúng. Khi đó $x-\frac{\pi }{12}=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi$, tức $x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$. Nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{3\pi }{4}$ (khi $k=0$), nên ý b) đúng. Ý c) sai vì họ nghiệm thứ hai phải là $-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ chứ không phải $\frac{\pi }{4}+k2\pi$. Trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ có hai nghiệm $-\frac{3\pi }{4}$ và $\frac{11\pi }{12}$, tổng bằng $-\frac{9\pi }{12}+\frac{11\pi }{12}=\frac{\pi }{6}\ne \frac{7\pi }{6}$, nên ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}$, phương trình tương đương $\cos \left(x-\frac{\pi }{12}\right)=\cos \frac{5\pi }{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$; với $k=0$ được $-\frac{3\pi }{4}$, với $k=1$ được $\frac{5\pi }{4}>0$, nên nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{3\pi }{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nghiệm đúng là $x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, không phải $\frac{\pi }{4}+k2\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm trong $(-\pi ;\pi )$ là $-\frac{3\pi }{4}$ và $\frac{11\pi }{12}$, tổng bằng $\frac{\pi }{6}$, không phải $\frac{7\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=x+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$. Nghiệm dương nhỏ nhất của họ này là $x=\frac{5\pi }{3}$.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\pi -x+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$. Với $k=0$ ta được $x=\frac{2\pi }{9}\approx 0,222\pi$, nhỏ hơn $\frac{5\pi }{3}$.

Kiểm tra: $\sin \left(2\cdot \frac{2\pi }{9}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{7\pi }{9}=\sin \frac{2\pi }{9}$ ✓.

Vậy $x_0=\frac{2}{9}\pi$, tức $m=2$, $n=9$ (phân số tối giản), nên $m+2n=2+18=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $3\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+10=7$ với $0\le t\le 24$.

$$\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=-1$$

$$\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

$$\frac{\pi t}{12}=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow t=8+24k$$

Với $0\le t\le 24$, chỉ có $k=0$ cho $t=8$ ($k=1$ cho $t=32>24$, $k=-1$ cho $t=-16<0$).

Vậy vào lúc 8 giờ, độ sâu mực nước là 7 cm. Kiểm tra: $\cos \left(\frac{8\pi }{12}+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \pi =-1$, nên $h=3(-1)+10=7$ cm — đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: a) Với $m=-\frac{1}{2}$: $\cos 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$. Đúng. b) $\cos 2x=-m$ có nghiệm $\iff -m\in [-1;1]\iff m\in [-1;1]$, mệnh đề chỉ cho $(-1;1)$ nên Sai. c) $\tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Trong khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{2025\pi }{4}\right)$: cần $k\ge 1$ và $k\pi <505\pi \Rightarrow k\le 504$, thus $k=1,\dots ,504$ cho 504 nghiệm, không phải 505. Sai. d) Với $m=-1$: $\cos 2x-1=\tan x\iff -2{\sin }^{2}x=\frac{\sin x}{\cos x}\iff \sin x\left(2\sin x\cos x+1\right)=0\iff \sin x=0$ hoặc $\sin 2x=-1$. Suy ra $x=k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$. Trong $\left(\frac{\pi }{2};\frac{41\pi }{2}\right)$: họ $x=k\pi$ có $k=1,\dots ,20$ (20 nghiệm); họ $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ có $k=1,\dots ,20$ (20 nghiệm). Tổng 40 nghiệm, không phải 60. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=-m$ có nghiệm khi và chỉ khi $-m\in [-1;1]$, tức $m\in [-1;1]$ (bao gồm hai đầu mút), không chỉ $(-1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ với $k=1,\dots ,504$ nên chỉ có 504 nghiệm trong khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{2025\pi }{4}\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tương đương $\sin x(\sin 2x+1)=0$ cho $x=k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$; trong $\left(\frac{\pi }{2};\frac{41\pi }{2}\right)$ mỗi họ có 20 nghiệm, tổng 40 nghiệm chứ không phải 60.

(AI giải đề cho tôi)
$2\sin x+1=0\iff \sin x=-\frac{1}{2}\iff x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $x=\pi +\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{7\pi }{6}+2k\pi$ (tương đương họ $x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$ và $x=\frac{11\pi }{6}+2k\pi$). Với mỗi họ, điều kiện $0\le \frac{7\pi }{6}+2k\pi \le 2024\pi$ cho $0\le k\le 1011,5$, tức $k=0,1,\dots ,1011$: 1012 nghiệm. Tương tự họ $\frac{11\pi }{6}+2k\pi$ cũng cho 1012 nghiệm. Tổng: $1012+1012=2024$ nghiệm. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $f(x)$ không âm, bằng $0$ tại các bội của $\pi$ và đạt giá trị $1$ tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, nên $f(x)=|\sin x|$. Giải $|\sin x|=\frac{1}{2}$ trên đoạn $\left[-\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$, tức $\sin x=\pm \frac{1}{2}$. Với $\sin x=\frac{1}{2}$: $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$; trong đoạn đã cho có $x=-\frac{7\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ (3 nghiệm; lưu ý $-\frac{11\pi }{6}<-\frac{3\pi }{2}$ và $\frac{13\pi }{6}>2\pi$ nên bị loại). Với $\sin x=-\frac{1}{2}$: $x=-\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$ (4 nghiệm). Tổng cộng $3+4=7$ nghiệm. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\sin x$, nên phương trình $(\ast )$ trở thành $\sin 2x+\sin x=0\iff \sin x(2\cos x+1)=0$.
Suy ra $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$ hoặc $\cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$.

a) Họ nghiệm gồm các điểm trên đường tròn lượng giác: $0,\pi ,\frac{2\pi }{3},-\frac{2\pi }{3}$ — tức là đúng 4 điểm, không phải 3 điểm. Mệnh đề a SAI.

b) Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{2\pi }{3}$ (nhỏ hơn $\pi$). Mệnh đề b SAI.

c) Nghiệm dương nhỏ nhất $\frac{2\pi }{3}$ ứng với điểm $N$. Điểm $K$ đối xứng qua $O$ có số đo góc $(OA;OK)=\frac{2\pi }{3}+\pi =\frac{5\pi }{3}\equiv -\frac{\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$. Vì $-\frac{7\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}-2\pi$ cùng biểu diễn điểm $K$, nên góc $(OA;OK)$ có thể nhận giá trị $-\frac{7\pi }{3}$. Mệnh đề c ĐÚNG.

d) Phương trình $\sin x-\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, biểu diễn bởi 2 điểm $\frac{\pi }{4}$ và $\frac{5\pi }{4}$, khác hoàn toàn 4 điểm của phương trình $(\ast )$. Mệnh đề d SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tương đương $\sin x(2\cos x+1)=0$, cho họ nghiệm $x=k\pi$ hoặc $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, biểu diễn bởi 4 điểm $0,\pi ,\frac{2\pi }{3},-\frac{2\pi }{3}$ trên đường tròn lượng giác, không phải 3 điểm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{2\pi }{3}<\pi$, nên nghiệm dương nhỏ nhất không phải $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$N$ ứng với số đo $\frac{2\pi }{3}$; điểm đối xứng $K$ có số đo $\frac{5\pi }{3}\equiv -\frac{\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$. Vì $-\frac{7\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}-2\pi$ cùng biểu diễn $K$, góc $(OA;OK)$ có thể nhận giá trị $-\frac{7\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x-\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, biểu diễn bởi các điểm $\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$, không trùng với bất kỳ điểm nào của phương trình $(\ast )$.

(AI giải đề cho tôi)
Chất điểm qua vị trí cân bằng khi $x(t)=0$, tức $\cos \left(2\pi t+\frac{\pi }{3}\right)=0$. Suy ra $2\pi t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Giải ra: $t=\frac{1}{12}+\frac{k}{2}$. Với $0\le t\le 10$: $0\le \frac{1}{12}+\frac{k}{2}\le 10\Rightarrow -\frac{1}{6}\le k\le \frac{59}{6}\approx 9,83$, nên $k=0,1,\dots ,9$ — kiểm tra lại: $k=9$ cho $t=\frac{1}{12}+\frac{9}{2}=\frac{55}{12}\approx 4,583$; nhưng $k$ có thể lớn hơn vì $t=\frac{1}{12}+\frac{k}{2}\le 10\Rightarrow k\le 19,83$, vậy $k=0,1,\dots ,19$, tức 20 giá trị. Thật vậy $k=19$ cho $t=\frac{115}{12}\approx 9,583\le 10$ và $k=20$ cho $t\approx 10,083>10$. Vậy trong 10 giây đầu tiên chất điểm đi qua vị trí cân bằng 20 lần.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $2{\sin }^{3}x-\sin 2x\cdot \sin x=-2\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{2026\pi }{4}\right)$.

Rút gọn vế phải: $\frac{2026\pi }{4}=\frac{1013\pi }{2}=506\pi +\frac{\pi }{2}$, nên $\cos \left(x+\frac{2026\pi }{4}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x$. Vậy vế phải $=-2\sqrt{2}\cdot (-\sin x)=2\sqrt{2}\sin x$.

Rút gọn vế trái: $\sin 2x\cdot \sin x=2\sin x\cos x\cdot \sin x=2{\sin }^{2}x\cos x$, nên vế trái $=2{\sin }^{3}x-2{\sin }^{2}x\cos x=2{\sin }^{2}x(1-\cos x)$.

Phương trình trở thành:
$$2{\sin }^{2}x(1-\cos x)=2\sqrt{2}\sin x⟺\sin x\left[2\sin x(1-\cos x)-2\sqrt{2}\right]=0.$$

Trường hợp 1: $\sin x=0⟺x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Khi đó hai vế đều bằng $0$, thỏa mãn.

Trường hợp 2: $\sin x\ne 0$, phương trình tương đương $\sin x(1-\cos x)=\sqrt{2}$.

Nếu $\sin x<0$ thì vế trái $\le 0<\sqrt{2}$, vô nghiệm. Xét $\sin x>0$, đặt $t=\cos x\in (-1;1)$, khi đó $\sin x=\sqrt{1-t^2}$ và cần $g(t)=\sqrt{1-t^2}(1-t)=\sqrt{2}$.

Xét $h(t)=g^2(t)=(1-t^2)(1-t{)}^2=(1-t{)}^3(1+t)$. Ta có
$$h^{\prime }(t)=-3(1-t{)}^2(1+t)+(1-t{)}^3=(1-t{)}^2(-2-4t).$$
Trên $(-1;1)$, $h^{\prime }(t)=0$ khi $t=-\frac{1}{2}$, và $h$ đạt cực đại (rồi giảm) tại đó:
$$h\left(-\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{3}{2}\right)}^3\cdot \frac{1}{2}=\frac{27}{16}.$$
Vậy $\sin x(1-\cos x)\le \sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\approx 1,299<\sqrt{2}\approx 1,414$.
Do đó trường hợp 2 vô nghiệm.

Kết luận: tập nghiệm của phương trình là $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. (Lưu ý: bản giải AI gốc đã đúng phép biến đổi $\sin x(1-\cos x)=\sqrt{2}$ và chặn $\frac{3\sqrt{3}}{4}<\sqrt{2}$; kết luận $x=k\pi$ là chính xác.)

Yêu cầu bài toán tương đương với việc đếm số nghiệm $t\in [0;200]$ của phương trình $$550-450\cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)=325⟺\cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)=\frac{1}{2}.$$ Giải phương trình: $$\frac{\pi }{50}t=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})⟺t=\pm \frac{50}{3}+100k(k\in \mathbb{Z}).$$ Chọn nghiệm thuộc đoạn $[0;200]$: Với $t=\frac{50}{3}+100k$ ta được $t=\frac{50}{3}$ (ứng với $k=0$) và $t=\frac{350}{3}$ (ứng với $k=1$). Với $t=-\frac{50}{3}+100k$ ta được $t=\frac{250}{3}$ (ứng với $k=1$) và $t=\frac{550}{3}$ (ứng với $k=2$). Các giá trị khác của $k$ đều cho nghiệm nằm ngoài đoạn $[0;200]$. Đáp số: Có 4 lần độ cao của vệ tinh bằng 325 km.

(AI giải đề cho tôi)
Con lắc qua vị trí cân bằng khi $s=0$: $\cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow 7t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=\frac{\pi }{42}+\frac{k\pi }{7}=\frac{(6k+1)\pi }{42}$, với $k\in \mathbb{Z},k\ge 0$. Điều kiện $0\le t\le 30$: $\frac{(6k+1)\pi }{42}\le 30\Rightarrow 6k+1\le \frac{1260}{\pi }\approx 401,07\Rightarrow k\le 66,68$. Vậy $k=0,1,\dots ,66$, tức con lắc đi qua vị trí cân bằng $67$ lần. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV) — Giải từng phương trình:

a) $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff 2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $2x-\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$. Suy ra $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. (Kiểm tra: $x=\frac{\pi }{3}$ thì $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ đúng.)

b) $\cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4}\iff 3x+\frac{\pi }{6}=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi$.
• Dấu $+$: $3x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi \iff x=\frac{7\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.
• Dấu $-$: $3x=-\frac{11\pi }{12}+k2\pi \iff x=-\frac{11\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.
Vậy $x=\frac{7\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$ hoặc $x=-\frac{11\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$. (Kiểm tra: $x=-\frac{11\pi }{36}$ thì $3x+\frac{\pi }{6}=-\frac{3\pi }{4}$, $\cos \left(-\frac{3\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ đúng.)

c) Điều kiện $x-15^{\circ }\ne 90^{\circ }+k180^{\circ }$. $\tan (x-15^{\circ })=\sqrt{3}=\tan 60^{\circ }\iff x-15^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }\iff x=75^{\circ }+k180^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$ (thỏa điều kiện).

d) Điều kiện $2x+\frac{\pi }{4}\ne k\pi$. $\cot \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=-1=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)\iff 2x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k\pi \iff 2x=-\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Với các nghiệm này, $2x+\frac{\pi }{4}=k\pi -\frac{\pi }{4}\ne k\pi$ nên thỏa điều kiện.

e) $\sin 3x+\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$
$\iff 3x=\frac{\pi }{4}-x+k2\pi$ hoặc $3x=\pi -\left(\frac{\pi }{4}-x\right)+k2\pi =\frac{3\pi }{4}+x+k2\pi$
$\iff x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{2}$ hoặc $x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

f) $\sin (x-60^{\circ })=\cos (90^{\circ }-(x-60^{\circ }))=\cos (150^{\circ }-x)$. Phương trình trở thành $\cos (2x+30^{\circ })=\cos (150^{\circ }-x)$
$\iff 2x+30^{\circ }=\pm (150^{\circ }-x)+k360^{\circ }$.
• Dấu $+$: $3x=120^{\circ }+k360^{\circ }\iff x=40^{\circ }+k120^{\circ }$.
• Dấu $-$: $2x+30^{\circ }=-150^{\circ }+x+k360^{\circ }\iff x=-180^{\circ }+k360^{\circ }$.
Vậy $x=40^{\circ }+k120^{\circ }$ hoặc $x=-180^{\circ }+k360^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. (Kiểm tra: $x=40^{\circ }$ thì $\cos 110^{\circ }=-\sin 20^{\circ }=\sin (-20^{\circ })=\sin (40^{\circ }-60^{\circ })$ đúng.)

Ghi chú: chú thích cũ ở câu d) đã được sửa lại đúng — điều kiện là $2x+\frac{\pi }{4}\ne k\pi$ và các nghiệm $x=-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ cho $2x+\frac{\pi }{4}=k\pi -\frac{\pi }{4}\ne k\pi$, nên thỏa điều kiện; nghiệm cuối cùng không đổi.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=f(x)=1+{\sin }^{2}x\in [1;2]$, khi đó $g(x)=1+{\cos }^{2}x=3-t$. Điều kiện $\sqrt{H(x)}=H_0$ tức ${\log }_{4}t\cdot {\log }_4(3-t)={\log }_4^2\frac{3}{2}$. Xét $\phi (t)=\ln t\cdot \ln (3-t)$ trên $[1;\frac{3}{2}]$: ${\phi }^{\prime }(t)=\frac{\ln (3-t)}{t}-\frac{\ln t}{3-t}>0$ vì $\ln (3-t)>\ln t$ và $\frac{1}{t}>\frac{1}{3-t}$, nên $\phi$ đồng biến, phương trình có nghiệm duy nhất $t=\frac{3}{2}$ (cùng với điểm đối xứng $t=\frac{3}{2}$). Vậy cần $1+{\sin }^{2}x=\frac{3}{2}\iff {\sin }^{2}x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$. Với $x\in [0;8\pi ]$ có $k=0,1,\dots ,15$, tức 16 giá trị. Tổng $S={\sum }_{k=0}^{15}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right)=16\cdot \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}\cdot \frac{15\cdot 16}{2}=4\pi +60\pi =64\pi$. Suy ra $\frac{20S}{\pi }=\frac{20\cdot 64\pi }{\pi }=1280$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-\frac{1}{\sqrt{3}}=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ nên $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)\Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$. a) Đúng vì $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. b) Sai: nghiệm tổng quát là $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}$, khác $\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ (vì $\frac{\pi }{9}=\frac{2\pi }{18}\ne -\frac{\pi }{18}$). c) Sai: trong $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$, với $k=0$: $x=-\frac{\pi }{18}\approx -0,17$ (nhận); $k=-1$: $x=-\frac{7\pi }{18}\approx -1,22$ (nhận); $k=-2$: $x=-\frac{13\pi }{18}\approx -2,27<-\frac{\pi }{2}$ (loại). Tổng $=-\frac{8\pi }{18}=-\frac{4\pi }{9}\ne -\frac{5\pi }{9}$. d) Sai: nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k=1$: $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{18}\ne \frac{2\pi }{9}=\frac{4\pi }{18}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên hai phương trình tương đương.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm tổng quát là $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}$, không phải $\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm trong $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ là $-\frac{\pi }{18}$ và $-\frac{7\pi }{18}$, tổng bằng $-\frac{4\pi }{9}\ne -\frac{5\pi }{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{5\pi }{18}$, không phải $\frac{2\pi }{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $550-450\cos \left(\frac{\pi t}{50}\right)=325\iff \cos \left(\frac{\pi t}{50}\right)=\frac{1}{2}$. Suy ra $\frac{\pi t}{50}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \iff t=\pm \frac{50}{3}+100k$. Với $t\in [0;300]$ (5 giờ), các giá trị thỏa mãn là $t=\frac{50}{3},\frac{250}{3},\frac{350}{3},\frac{550}{3},\frac{650}{3},\frac{850}{3}$, tức 6 giá trị. Vậy độ cao 325 km xuất hiện 6 lần, khớp với đáp án nguồn (6).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$. Ta có $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=-(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)=-t(\sin x+\cos x)$. Phương trình trở thành $t=-t(\sin x+\cos x)\iff t\left(1+\sin x+\cos x\right)=0$.

Trường hợp 1: $t=0\iff \sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $\sin x+\cos x=-1\iff \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Suy ra $x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, hoặc $x+\frac{\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=\pi +k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Thử lại: $x=\pi$: $0-(-1)=1=\cos 2\pi =1$ ✓; $x=-\frac{\pi }{2}$: $-1-0=-1=\cos (-\pi )=-1$ ✓; $x=\frac{\pi }{4}$: $0=\cos \frac{\pi }{2}=0$ ✓.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: $S=\left\{\pi +k2\pi ,-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$, nên phương trình trở thành $\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=-\cos x=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$.

Trường hợp 1: $3x+\frac{\pi }{4}=x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow 2x=-\frac{3\pi }{4}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $3x+\frac{\pi }{4}=\pi -\left(x-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi =\frac{3\pi }{2}-x+2k\pi \Rightarrow 4x=\frac{5\pi }{4}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{16}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Tập nghiệm gồm hai họ $x=-\frac{3\pi }{8}+k\pi$ và $x=\frac{5\pi }{16}+\frac{k\pi }{2}$, đúng với đáp án A (khớp với key đã cho).

(AI giải đề cho tôi)
Vật qua vị trí cân bằng khi $x=0$, tức $\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)=0$, nên $5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $t=\frac{2\pi /3+k\pi }{5}$. Với $0\le t\le 6$: $0\le \frac{2\pi }{3}+k\pi \le 30$, tức $-\frac{2}{3}\le k\le \frac{30}{\pi }-\frac{2}{3}\approx 8,88$. Vậy $k=0,1,\dots ,8$, tổng cộng 9 lần. Kết quả khớp với đáp án nguồn: 9.