Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{3}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{12}\right)$. Phương trình trở thành $\sin \left(x+\frac{\pi }{12}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $x+\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ hoặc $x+\frac{\pi }{12}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm dương nhỏ nhất: $M=\frac{\pi }{6}$. Các nghiệm âm: $-\frac{11\pi }{6}$ (từ họ thứ nhất, $k=-1$) và $-\frac{4\pi }{3}$ (từ họ thứ hai, $k=-1$); vì $-\frac{4\pi }{3}>-\frac{11\pi }{6}$ nên nghiệm âm lớn nhất là $m=-\frac{4\pi }{3}$. Vậy $M+m=\frac{\pi }{6}-\frac{4\pi }{3}=\frac{\pi }{6}-\frac{8\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x-\frac{\pi }{4}$. Phương trình trở thành $\sin t+\sqrt{3}\cos t=\sqrt{2}$, tức $2\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{2}$, nên $\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Suy ra $t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ hoặc $t+\frac{\pi }{3}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$.
- Trường hợp 1: $t=-\frac{\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$.
- Trường hợp 2: $t=\frac{5\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$.
Nghiệm dương nhỏ nhất: $M=\frac{\pi }{6}$.
Nghiệm âm lớn nhất: so sánh $\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{11\pi }{6}$ và $\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{4\pi }{3}$; vì $-\frac{4\pi }{3}>-\frac{11\pi }{6}$ nên $m=-\frac{4\pi }{3}$.
Vậy $M+m=\frac{\pi }{6}-\frac{4\pi }{3}=-\frac{7\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm độ cao: $H(t)=50\sin \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}\right)+55$, chu kỳ 20 phút.
a) $H(10)=50\sin \left(\pi -\frac{\pi }{2}\right)+55=50\cdot 1+55=105$ m → Đúng.
b) Độ cao lớn nhất là $50+55=105$ m (không phải 50 m) → Sai.
c) $H(t)=30\iff \sin \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{10}{3}+20k\\ t=\frac{50}{3}+20k\end{array}$; với $0\le t\le 20$ ta được $t=\frac{10}{3}$ và $t=\frac{50}{3}$, không phải $t=\frac{40}{3}$ → Sai.
d) Thời gian cabin ở độ cao trên 30 m là $\frac{50}{3}-\frac{10}{3}=\frac{40}{3}\approx 13,3$ phút → Đúng. Kết quả khớp đáp án ĐSSD của đề (mã 0112).
a) (AI giải đề cho tôi)
$H(10)=50\sin \left(\pi -\frac{\pi }{2}\right)+55=50+55=105$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Độ cao cao nhất là $50+55=105$ m, không phải 50 m.
c) $H(t)=30\iff \sin \left(\frac{\pi }{10}t-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}t=\frac{10}{3}+20k\\ t=\frac{50}{3}+20k\end{array};0\le t\le 20\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=\frac{10}{3}\\ t=\frac{50}{3}\end{array}$
d) Thời gian mà cabin ở độ cao trên $30m$ so với mặt đất là $\frac{50}{3}-\frac{10}{3}=\frac{40}{3}=13,3$ phút

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ cho $2x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+2k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ hoặc $x=k\pi$. Trên khoảng $\left(0;\frac{9\pi }{4}\right)$: họ $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ cho $x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$; họ $x=k\pi$ cho $x=\pi ,2\pi$. Vậy có 4 nghiệm, khớp đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 21 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff 2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ hoặc $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$. Suy ra $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Với $x\in \left(0;\frac{9\pi }{4}\right)$: họ thứ nhất cho $x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$ (2 nghiệm); họ thứ hai cho $x=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$ (2 nghiệm, vì $\frac{5\pi }{2}>\frac{9\pi }{4}$). Vậy phương trình có 4 nghiệm, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0111, câu 18 = 4).

Chọn B

$2\cos x-\sqrt{2}=0\iff \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ thì $t=3x+\frac{\pi }{3}\in \left(\frac{\pi }{3};\frac{11\pi }{6}\right)$. Trên khoảng này, phương trình $\sin t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ có các nghiệm $t=\frac{4\pi }{3}$ và $t=\frac{5\pi }{3}$ (đều thuộc $\left(\frac{\pi }{3};\frac{11\pi }{6}\right)$). Tương ứng $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\frac{4\pi }{9}$, đều thuộc $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$. Vậy có 2 nghiệm, chọn A.

Ta có: $\cos \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)+{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x\iff \cos \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$

$$\iff \cos \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos 2x\iff \left[\begin{array}{c}4x-\frac{\pi }{6}=2x+k2\pi \\ 4x-\frac{\pi }{6}=-2x+k2\pi \end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{36}+k\frac{\pi }{3}\end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$$

Ta có mỗi họ nghiệm lần lượt có các nghiệm âm lớn nhất là:

$$x_1=\frac{\pi }{12}-\pi =-\frac{11\pi }{12};x_2=\frac{\pi }{36}-\frac{\pi }{3}=-\frac{11\pi }{36}$$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x=-\frac{11}{36}\pi$.

a) Điều kiện: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$. Chọn ĐÚNG.

b) Với $m=1$: $\frac{(\cos x+1)(\cos 2x-1)}{{\sin }^{2}x}=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\cos 2x=1\\ \cos x=-1\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}\sin x=0(l)\\ \cos x=-1(l)\end{array}\right]$. Vậy phương trình vô nghiệm trên $[0;2\pi ]$. Chọn SAI.

c) Với $m=\frac{1}{2}$: $\cos 2x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+l\pi \end{array}\right]$; các điểm biểu diễn nghiệm là $A,B,C,D$; Diện tích $S_{ABCD}=AB.BC=\sqrt{3}.1=\sqrt{3}$. Chọn ĐÚNG.

d) Với $\cos 2x=m$, đặt $2x=t\Rightarrow t\in \left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$, phương trình $\cos t=m$ có 2 nghiệm phân biệt khi $-1<m\le -\frac{1}{2}\iff -4<4m\le -2$ nên $4m\in \{-3;-2\}$. Chọn ĐÚNG.
a) Điều kiện: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$. Chọn ĐÚNG.
b) Với $m=1$, ta có: $$\frac{\cos x.\cos 2x-\cos x+\cos 2x-1}{\sin x}=0\iff \frac{(\cos x+1)(\cos 2x-1)}{{\sin }^{2}x}=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\cos 2x=1\\ \cos x=-1\end{array}\right]$$ $$\iff \left[\begin{array}{c}1-2{\sin }^{2}x=1\\ \cos x=-1\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}\sin x=0(l)\\ \cos x=-1(l)\end{array}\right]$$ Vậy phương trình vô nghiệm trên $[0;2\pi ]$. Chọn SAI.
c) Với $m=\frac{1}{2}$, Ta có $\frac{(\cos x+1)\left(\cos 2x-\frac{1}{2}\right)}{\sin x}=0\iff \left[\begin{array}{c}\cos x=-1(loại)\\ \cos 2x=\frac{1}{2}(2)\end{array}\right]$. Ta có: $\cos 2x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+l\pi \end{array}\right]$



Khi đó, các điểm biểu diễn của nghiệm là $A,B,C,D$. Diện tích $S_{ABCD}=AB.BC=\sqrt{3}.1=\sqrt{3}$. Chọn ĐÚNG.
d) Với $\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi$: không có nghiệm $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$. Với $\cos 2x=m$, đặt $2x=t\Rightarrow t\in \left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$. Trên $\left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$, phương trình $\cos t=m$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$ khi $-1<m\le -\frac{1}{2}\iff -4<4m\le -2$ nên $4m\in \{-3;-2\}$. Vậy d) đúng. Chọn ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $h(t)=10$: $8+4\sin \left(2t-\frac{\pi }{3}\right)=10\Rightarrow \sin \left(2t-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. Với $0\le t\le 24$ thì $-\frac{\pi }{3}\le 2t-\frac{\pi }{3}\le 48\pi -\frac{\pi }{3}$. Nghiệm đầu tiên: $2t-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}\Rightarrow 2t=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$ (giờ). Kiểm tra: $h\left(\frac{\pi }{4}\right)=8+4\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\right)=8+4\cdot \frac{1}{2}=10$ đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x-\sqrt{3}=0$ ta có $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Trên $[0;2\pi ]$, $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ tại $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Vậy tập nghiệm là $\left\{\frac{\pi }{3}+k2\pi ,\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với phương án D và khớp với đáp án nguồn (Mã đề 212, Câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $h(t)=11,5$: $13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=11,5\Rightarrow \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-\frac{1}{2}$. Với $0\le t\le 24$, ta có $\frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}$ hoặc $\frac{\pi }{12}t=\frac{4\pi }{3}$, suy ra $t=8$ hoặc $t=16$. Buổi sáng ứng với $t=a=8$ (giờ), buổi chiều ứng với $t=b=16$ (giờ). Vậy $a-b=8-16=-8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ có nghiệm tổng quát $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$. Trên đoạn $[0;2\pi ]$, các nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$. Vậy có 2 nghiệm, đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 212, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ trên $[0;2\pi ]$. Ta có $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$: $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$, cả hai đều thuộc $[0;2\pi ]$. Với $k=1$: $x=\frac{7\pi }{3}>2\pi$ (loại); với $k=-1$: $x<0$ (loại). Vậy phương trình có 2 nghiệm trên $[0;2\pi ]$, tương ứng đáp án C. Kết quả này trùng khớp với đáp án nguồn (Câu 11, Mã đề 211: C).

(AI giải đề cho tôi)
Giải $h(t)=11,5$: $13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=11,5\Rightarrow \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-\frac{1}{2}$. Với $0\le t\le 24$: $\frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}$ hoặc $\frac{4\pi }{3}$, tức $t=8$ hoặc $t=16$. Buổi sáng $a=8$, buổi chiều $b=16$, nên $a-b=8-16=-8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-8).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x-\sqrt{3}=0$ ta có $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Trên $[0;2\pi ]$, các giá trị $x$ thỏa mãn là $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Vậy tập nghiệm là $\left\{\frac{\pi }{3}+k2\pi ,\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với phương án D (khớp với đáp án nguồn, mã đề 211, câu 6: D).

Ta có $\sin 2x=-1\iff 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=0$ có họ nghiệm $x=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$, vì $\sin x=0$ khi và chỉ khi $x$ là bội nguyên của $\pi$. Kiểm tra: với $x=k\pi$ thì $\sin (k\pi )=0$ đúng với mọi $k$. Các phương án khác sai: A và D cho $\sin x=\pm 1$; B cho $\sin x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy đáp án là C.

a. $\sin x-\sqrt{3}\cos x=2$
$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\iff \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=1$
$\iff \cos \frac{\pi }{3}\sin x-\sin \frac{\pi }{3}\cos x=1$
$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=1$
$\iff x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

b. $$\{\begin{array}{ll}2x^2-3x+2=y^2& (1)\\ 2y^2-3y+2=x^2& (2)\end{array}$$
$(1)-(2)$
$\iff 3(x^2-y^2)-3(x-y)=0$
$\iff 3(x-y)(x+y-1)=0$
$\Rightarrow \{\begin{array}{l}y=x\\ y=1-x\end{array}$
Th1: y = x thế vào (1) ta được: $x^2-3x+2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}$. Khi đó hệ có nghiệm (1;1), (2;2)
Th2: y = 1-x thế vào (1) ta được: phương trình $x^2-x+1=0$ vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm : (1;1), (2;2)

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 1.1) Giải phương trình $3+6\cos x-{\tan }^{2}x-2\tan x\sin x=0$.**

Điều kiện: $\cos x\ne 0$.

Viết ${\tan }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$, $2\tan x\sin x=\frac{2{\sin }^{2}x}{\cos x}$. Nhân hai vế với ${\cos }^{2}x>0$:
$$3{\cos }^{2}x+6{\cos }^{3}x-{\sin }^{2}x-2{\sin }^{2}x\cos x=0.$$

Thay ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, đặt $c=\cos x$:
$$3c^2+6c^3-(1-c^2)-2c(1-c^2)=0⟺8c^3+4c^2-2c-1=0.$$

Phân tích: $8c^3+4c^2-2c-1=4c^2(2c+1)-(2c+1)=(2c+1)(4c^2-1)=(2c-1)(2c+1{)}^2=0$.

- $\cos x=\frac{1}{2}⟺x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$.
- $\cos x=-\frac{1}{2}⟺x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$ (thử lại thỏa mãn, ví dụ $\cos x=-\frac{1}{2}$: $3-3-{\tan }^{2}x-2\tan x\sin x=-3+3=0$).

Kết luận: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

**Câu 1.2) Chứng minh chiều rộng khối hàng nhỏ hơn $3\pi$ m.**

Cung cầu OA: $y=4,8\sin \frac{x}{9}$ với $0\le x\le 9\pi$ (giao điểm kế tiếp với trục Ox là $A(9\pi ;0)$).

Khối hàng cao $2,4\sqrt{3}$ m, để đi qua gầm cầu, tại hai mép của khối hàng (hoành độ $x$) phải có khoảng cách từ mặt nước đến cung cầu ít nhất bằng chiều cao khối hàng:
$$4,8\sin \frac{x}{9}\ge 2,4\sqrt{3}⟺\sin \frac{x}{9}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Với $0\le \frac{x}{9}\le \pi$, điều này tương đương $\frac{\pi }{3}\le \frac{x}{9}\le \frac{2\pi }{3}$, tức $3\pi \le x\le 6\pi$.

Khối hàng là hình hộp chữ nhật, khi đi qua gầm cầu (giữa nhịp cầu) tập hợp các hoành độ chiếm chỗ của nó là đoạn $[a,b]\subset [3\pi ,6\pi ]$ với độ dài $b-a$ bằng chiều rộng $w$ của khối hàng. Vì $[3\pi ,6\pi ]$ có độ dài $3\pi$ nên $w\le 3\pi$. Hơn nữa, để sà lan thực sự di chuyển qua được (khối hàng trôi qua vùng gầm cầu), đoạn chiếm chỗ phải nằm hoàn toàn trong khoảng hở $(3\pi ,6\pi )$ tại mọi thời điểm, do đó
$$w<3\pi (\text{m}).$$

Vậy chiều rộng của khối hàng hóa phải nhỏ hơn $3\pi$ m. Đpcm.