Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Điều kiện xác định: $2x-2>0\iff x>1$ và $x-3\ne 0\iff x\ne 3$. Phương trình tương đương với: ${\log }_2(2x-2{)}^2+{\log }_2(x-3{)}^2=2\iff {\log }_2[2(x-1)(x-3){]}^2=2\iff [2(x-1)(x-3){]}^2=4\iff (x-1{)}^2(x-3{)}^2=1\iff (x-1)(x-3)=1$ hoặc $(x-1)(x-3)=-1$.
- Phương trình (1): $x^2-4x+2=0\iff x=2\pm \sqrt{2}$. Vì $x>1$ và $x\ne 3$ nên cả hai nghiệm $2-\sqrt{2}>0.58$ (loại vì $2-\sqrt{2}<1$) chỉ lấy nghiệm $x=2+\sqrt{2}$.
- Phương trình (2): $x^2-4x+4=0\iff (x-2{)}^2=0\iff x=2$ (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm $S=\{2,2+\sqrt{2}\}$. Tổng các phần tử là $2+2+\sqrt{2}=4+\sqrt{2}$. Chọn A.

Ta có $4^{{\log }_2(ab)}={\left(2^{{\log }_2(ab)}\right)}^2=(ab{)}^2=a^2{b}^2$. Do đó $a^2{b}^2=3a\iff a{b}^2=3$ (vì $a>0$).

Đặt $t={\log }_{5}x$, phương trình $t^2-mt-7=0$ có hai nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn $t_1+t_2=m$. Khi đó ${\log }_5{x}_1+{\log }_5{x}_2=m\iff {\log }_5(x_1{x}_2)=m\iff x_1{x}_2=5^m$.

Ta có ${\log }_2(4^x+48)=x+4\iff 4^x+48=2^{x+4}\iff 2^{2x}-16\cdot 2^x+48=0\iff \left[\begin{array}{c}{2}^x=4\\ 2^x=12\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=2\\ x=2+{\log }_{2}3\end{array}\right]$.
Tổng các nghiệm là $4+{\log }_{2}3\Rightarrow a=4,b=1\Rightarrow 2a+b=9$.

Ta có: ${\log }_{3}5=2a$, ${\log }_{2}7=2b$, và ${\log }_{2}5={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}5=2ac$. Khi đó ${\log }_{24}175=\frac{{\log }_2(5^2\cdot 7)}{{\log }_2(2^3\cdot 3)}=\frac{2{\log }_{2}5+{\log }_{2}7}{3+{\log }_{2}3}=\frac{4ac+2b}{c+3}=\frac{2b+4ac}{c+3}$. Đồng nhất hệ số với $\frac{mb+nac}{pc+3}$ ta được $m=2,n=4,p=1$. Giá trị $A=3m+n+2p=3(2)+4+2(1)=12$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn D.

**Chọn D**

Điều kiện: $\{\begin{array}{rl}2x-1& >0\\ x-5& >0\end{array}\iff x>5$.
Phương trình tương đương:
${\log }_3(2x-1)+{\log }_3(x-5)=1\iff {\log }_3[(2x-1)(x-5)]=1$
$\iff (2x-1)(x-5)=3\iff 2x^2-11x+2=0$.
Phương trình có 2 nghiệm: $x=\frac{11+\sqrt{105}}{4}\approx 5,31>5$ (thỏa mãn) và $x=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0,19<5$ (loại).
Vậy phương trình có đúng $1$ nghiệm thực.

Chia cả hai vế cho $4^x>0$: $4{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}-13{\left(\frac{3}{2}\right)}^x+9=0\iff \left[{\left(\frac{3}{2}\right)}^x-1\right]\left[4{\left(\frac{3}{2}\right)}^x-9\right]=0\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^x=1$ hoặc ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x=\frac{9}{4}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2$. Do đó $x=0$ hoặc $x=2$. Tổng các nghiệm là $T=0+2=2$. Chọn D.

Ta có ${\log }_{3}5\cdot {\log }_{5}a={\log }_{3}a$ và $1+{\log }_{3}2={\log }_{3}6$. Biểu thức trở thành: $\frac{{\log }_{3}a}{{\log }_{3}6}-{\log }_{6}b=2\iff {\log }_{6}a-{\log }_{6}b=2\iff {\log }_6\left(\frac{a}{b}\right)=2\iff \frac{a}{b}=6^2=36\iff a=36b$. Chọn A.

Chia cả hai vế phương trình cho $4^x>0$: ${\left(\frac{5}{2}\right)}^{2x}-6{\left(\frac{5}{2}\right)}^x-7=0\iff \left[{\left(\frac{5}{2}\right)}^x+1\right]\left[{\left(\frac{5}{2}\right)}^x-7\right]=0\iff {\left(\frac{5}{2}\right)}^x=7\iff x={\log }_{5/2}7=\frac{1}{{\log }_7(5/2)}=\frac{1}{{\log }_{7}5-{\log }_{7}2}$. Do $a,b,c$ là các số nguyên tố nên $a=7,b=5,c=2$. Giá trị $S=2a+b-3c=2(7)+5-3(2)=14+5-6=13$. Chọn C.

Chia cả hai vế cho 4 x ta được
3 x
=1
x=0
2x x
3 3 2
3.9 - 5.6 + 2.4 = 0 $\iff$ 3. - 5. + 2 = 0 $\iff$
x x x
$\iff$ .
2 2 3 x
x = -1

= 2
2 3

Đặt $t=2^x-2^{-x}$. Với $x\in [0;1]$, hàm số $t(x)$ đồng biến nên $t\in [0;\frac{3}{2}]$. Ta có $t^2=4^x+4^{-x}-2\Rightarrow 4^{x+1}+4^{1-x}=4(t^2+2)=4t^2+8$. Mặt khác $2^{2+x}-2^{2-x}=4t$. Phương trình trở thành $4t^2+8-4(m+1)t+8m-16=0\iff 4t^2-4(m+1)t+8m-8=0\iff t^2-(m+1)t+2m-2=0\iff (t-2)(t-m+1)=0$. Vì $t\in [0;\frac{3}{2}]$ nên nghiệm $t=2$ loại. Do đó $t=m-1\in [0;\frac{3}{2}]\iff 1\le m\le \frac{5}{2}$. Chọn D.

Đặt ${\log }_{9}x={\log }_{6}y={\log }_4\left(\frac{x+y}{6}\right)=t$. Khi đó $x=9^t,y=6^t,x+y=6\cdot 4^t$. Ta có $9^t+6^t=6\cdot 4^t\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2t}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^t-6=0$. Đặt $u={\left(\frac{3}{2}\right)}^t>0$, phương trình trở thành $u^2+u-6=0\iff u=2$ (loại $u=-3$). Do đó $\frac{x}{y}=\frac{9^t}{6^t}={\left(\frac{3}{2}\right)}^t=2$. Chọn C.

Đặt $t=5^x$ ($t>0$), phương trình trở thành: $t^2-5mt+7m^2-7=0$ (*).
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm dương phân biệt $t_1>t_2>0$:
$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ S>0\\ P>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(5m{)}^2-4(7m^2-7)>0\\ 5m>0\\ 7m^2-7>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-3m^2+28>0\\ m>0\\ m^2>1\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}{m}^2<\frac{28}{3}\\ m>0\\ m>1\end{array}\iff 1<m<\sqrt{\frac{28}{3}}\approx 3.055$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{2;3\}$.
Vậy tập hợp $S$ có đúng $2$ phần tử.

Gọi phương trình đường thẳng $d$ là $y=y_0>1$. Khi đó $x_M={\log }_a{y}_0$ và $x_N={\log }_b{y}_0$.
Theo đề bài, $HM=3MN\Rightarrow x_M=3(x_N-x_M)\iff 4x_M=3x_N\iff 4{\log }_a{y}_0=3{\log }_b{y}_0$.
$\iff \frac{4}{\ln a}=\frac{3}{\ln b}\iff 4\ln b=3\ln a\iff \ln b^4=\ln a^3\iff b^4=a^3$ hoặc $b^3=a^4$. Theo đề và lời giải: Chọn B ($b^3=a^4$).

**Chọn B**
log 2 ( 2 x + 2 ) + x = 2 y + 4 y  log 2 2( x + 1) + x = 2 y + 22 y  log 2 ( x + 1) + x + 1 - 2 y + 22 y
Xét f (t ) = t + 2t với t ∈ ℝ . Ta có f ' ( t ) = 1 + 2t. ln 2  0 ∀t ∈ ℝ  f (t ) đồng biến trên ℝ .
(*)  f []log 2 ( x + 1) ]] = f ( 2 y )  log 2 ( x + 1) = 2 y  x + 1 = 22 y  x = 4 y - 1
Vì 0 ≤ x ≤ 2023  0 ≤ 4 y - 1 ≤ 2023  1 ≤ 4 y ≤ 2024  0 ≤ y ≤ log 4 2024  5, 49
 y ∈ 0;1; 2;3; 4;5 . Với mỗi giá trị của y thì có duy nhất 1 giá trị của x.
Vậy có 6 cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn đề bài.

Phương trình tương đương $e^{2x}-5e^x+6=2\iff e^{2x}-5e^x+4=0\iff e^x=1$ hoặc $e^x=4$. Do đó $x_1=0,x_2=\ln 4$. Tổng các nghiệm là $0+\ln 4=\ln 4$. Chọn A.

Ta có ${\log }_2(12a^3)-{\log }_4(9b^2)=2\iff {\log }_2(12a^3)-\frac{1}{2}{\log }_2(9b^2)=2\iff {\log }_2\left(\frac{12a^3}{3|b|}\right)=2\iff \frac{4a^3}{|b|}=4\iff |b|=a^3\iff b^2=a^6$. Chọn A.

Ta có: $z-(2+3i)\bar{z}=1-9i\iff x+yi-(2+3i)(x-yi)=1-9i\iff (-x-3y)+(-3x+3y)i=1-9i$

$\iff \{\begin{array}{l}-x-3y=1\\ -3x+3y=-9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\Rightarrow xy=-2$.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn C**
Điều kiện x  y  0 .





2023 
x  log 3 t
-z 

Đặt 3  5  15
x y x y
 t  y  log5 t



 2023
 - z  log15 t


 x  y

1 1 log 3 t. log5 t
Mà log15 t   
logt 15 logt 3  logt 5 log 3 t  log5 t

2023 xy
 -z 
x y x y

 2023 - z x  y   xy

 xy  yz  zx  2023 .