Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=x^2-2x$, $y=4-x^2$ khi nó quay quanh trục hoành là

Cho hình thang $ABCD$ có các cạnh đáy $AB=2a$, $CD=4a$ và cạnh bên $AD=BC=3a$. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình thang khi quay quanh trục đối xứng của nó là

Cho một hình thang cân $ABCD$ có các cạnh đáy $AB=2a,CD=4a$, cạnh bên $AD=BC=3a$. Hãy tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó:

Nhân dịp 8/3, bạn An tặng bạn Bình một sợi dây chuyền có mặt là khối tròn xoay hình giọt nước làm bằng đá Moissanite (tham khảo hình 1). Gắn hệ toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục là $5\text{ mm}$) ta có các số liệu như hình 2. Gọi $f(x)$ là hàm số có đồ thị gồm đoạn thẳng $CD$ và một phần đường tròn tâm $O$, bán kính bằng $1$ đi qua $3$ điểm $A,B,C$.
[IMAGE:img_p2_q1]

Cho hàm số bậc hai $y=f(x)$ có đồ thị $(P)$ như hình sau
[IMAGE:img_p3_q4]

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và trục hoành quay quanh trục $Ox$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{\ln x}$, $y=0$, $x=1$, $x=e$ quay quanh trục $Ox$ là

Cho hình $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2\sin \frac{x}{2}$, trục hoành và đường thẳng $x=\frac{\pi }{2}$. Thể tích khối tròn xoay có được do quay hình $(H)$ quanh trục hoành được tính bởi công thức

Trong không gian, cắt vật thể $(T)$ bởi hai mặt phẳng $(P):x=-1$ và $(Q):x=2$. Biết một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-1\le x\le 2$) cắt $(T)$ theo thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\sqrt{4-x}$. Thể tích của vật thể $(T)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $(P),(Q)$ bằng

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một parabol và một đường thẳng tiếp xúc parabol đó tại điểm $A(2;4)$, như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng $(H)$ khi quay xung quanh trục $Ox$.

Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{175}{x}^2+\frac{3}{35}x+5$ ($0\le x\le 30$) ($x,y$ tính theo $\text{cm}$) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục $Ox$. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu centimét khối đất sét, biết rằng bình gốm có độ dày không đổi là $1\text{ cm}$? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho một hình thang cân $ABCD$ có các cạnh đáy $AB=3a,CD=6a$, cạnh bên $AD=BC=4a$. Hãy tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ biết $BC=a\sqrt{2}$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Tính diện tích toàn phần của khối nón tròn xoay sinh ra khi cho $△ABC$ quay quanh $AI$ một góc $360^{\circ }$.

Tính thể tích $V$ của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=\pi$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($0\le x\le \pi$) là một tam giác đều cạnh $2\sqrt{\sin x}$.

Người ta cần tính thể tích của một vật thể được chế tác như sau. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ (một đơn vị độ dài trên mỗi trục tương ứng với một xăng-ti-mét trong thực tế), gọi $(H)$ là hình phẳng được tô đậm, giới hạn bởi đường elip $\frac{x^2}{256}+\frac{y^2}{48}=1$ và đường tròn tâm $O$ có bán kính $10$ (xem hình minh họa bên dưới). Vật thể có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục hoành.

[IMAGE:img_q19_region]

Lưu ý: Các kích thước trong hình minh họa có thể không đúng tỉ lệ thực tế.
Thể tích của vật thể nói trên bằng bao nhiêu xăng-ti-mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả phép tính cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục $Ox$ và nửa trên của elip $\frac{x^2}{1,5^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$ (một đơn vị dài trên mỗi trục tọa độ tương ứng với một xăng-ti-mét trong thực tế) quanh trục $Ox$; sau đó khoan dọc theo trục xoay (xem hình dưới). Lỗ khoan có dạng hình trụ với bán kính $0,2\text{ cm}$ và có trục nằm trên trục xoay. Phần còn lại sau khi khoan là hạt cườm, có dạng một khối tròn xoay.
Thể tích của hạt cườm đó bằng bao nhiêu xăng-ti-mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

[IMAGE:img_q19_bead]

Lưu ý: Các kích thước trong hình minh họa có thể không đúng tỉ lệ thực tế.

Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $D$, $AD=CD=a$, $AB=2a$. Quay hình thang $ABCD$ quanh đường thẳng $CD$. Thể tích khối tròn xoay thu được là:

Ông A dự định xây “tường cong” trong sân trượt patin là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là $3,5\text{ m}$. Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng $AB=4\text{ m}$. Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với $AB$ tại $A$ là một hình tam giác vuông cong $ACE$ với $AC=4\text{ m}$, $CE=3,5\text{ m}$ và cạnh cong $AE$ nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí $M$ là trung điểm của $AC$ thì tường cong có độ cao $1\text{ m}$ (xem hình minh họa bên). Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường cong đó.

[IMAGE:img_q22_ramp]

Ống thép mạ kẽm (độ dày của ống thép là hiệu số bán kính mặt ngoài và bán kính mặt trong của ống thép). Nhà máy quy định giá bán của mỗi loại ống thép dựa trên cân nặng của các ống thép đó. Biết rằng thép ống có giá là $24700$ đồng/kg và khối lượng riêng của thép là $7850{\text{ kg/m}}^3$. Một đại lý mua về $1000$ ống thép loại có đường kính ngoài là $60\text{ mm}$, độ dày là $3\text{ mm}$, chiều dài là $6\text{ m}$. Hãy tính số tiền mà đại lý bỏ ra để mua $1000$ ống thép nói trên (làm tròn đến ngàn đồng).

Kí hiệu $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2(x-1)e^x$, trục tung và trục hoành. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $(H)$ xung quanh trục $Ox$.

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{2-\sin x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0,x=\frac{\pi }{2}$. Khối tròn xoay tạo ra khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng: