Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Câu 3. Cho hai hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx-2$ và $y=g(x)=d{x}^2+ex+2$ ($a,b,c,d,e\in \mathbb{R}$). Biết rằng đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-2;-1;1$.



Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?

Biết $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn ${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x=F(4)-G(0)+2m$, với $m>0$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F(x),y=G(x);x=0$ và $x=4$. Khi $S=8$ thì $m$ bằng?

Câu 6: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) và cách nhau một khoảng bằng $4\text{ m}$. Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là $150000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và $100000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Hỏi cần bao nhiêu tiền (triệu đồng) để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $y=f(x)$ có một nguyên hàm là $F(x)=x^2-3$. Các khẳng định sau đây là đúng hay sai?

Câu 4. Đường cong Lorenz được các nhà kinh tế học biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế, trong khi đó mô hình $y=x$ sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau, trong đó $x$ là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và $y$ là phần trăm tổng thu nhập. Diện tích giữa hai mô hình này biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số:
$y=(0,00061x^2+0,0218x+1,723{)}^2,0\le x\le 100$
(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, $8^{\text{th}}$ edition, Cengage Learning, 2009)
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho đồ thị của các hàm số $f(x)=-x^4+x$, $g(x)=x^4-x^3$ và $h(x)=a(x-x^2)$ ($a\in \mathbb{R}$) tạo thành hai miền hình phẳng có diện tích $S_1,S_2$ như hình vẽ ($S_1$ là phần màu trắng, $S_2$ là phần được tô màu). Biết $S_1=2S_2$, hỏi giá trị của biểu thức $1-30a$ bằng bao nhiêu?

Câu 5. Một viên gạch hình vuông có cạnh bằng $40\text{ cm}$. Người ta dùng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu như hình vẽ).



Hỏi diện tích phần cánh hoa được tô màu của viên gạch bằng bao nhiêu centimét vuông (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 2. Cho hàm số $f(x)=2|x^2-1|$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:

Câu 6. Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x+x\cos x-{\sin }^{2}x}{1+\cos x}dx=\frac{{\pi }^2}{a}-\frac{\pi }{b}+c$, trong đó $a,b,c$ là các số nguyên dương. Tính $S=a+b+c$.

Câu 2. Cho parabol $(P):f(x)=x^2-2x+1$, đường thẳng $(d):g(x)=x+1$.

Biết rằng ${\int }_1^4\frac{1}{x^4+x}\mathrm{d}x=a\ln 2+b\ln 5+c\ln 13$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Giá trị của biểu thức $P=a^2-4bc$ bằng

Biết rằng tồn tại duy nhất bộ số $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản sao cho ${\int }_{\ln 3}^{\ln 8}\frac{e^x+2}{\sqrt{1+e^x}}\text{d}x=a+2\ln \frac{b}{c}$. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ thuộc khoảng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(2)=-2$; ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=1$. Tính $I={\int }_0^4{f}^{\prime }(\sqrt{x})\mathrm{d}x$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và trục hoành bằng $8$ và ${\int }_0^{8}f(x)\mathrm{d}x=4$. Giá trị của $I={\int }_3^8(2023-x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Đặt $I={\int }_0^1\frac{(2x+1)e^x+2a{x}^2+a}{e^x+ax}\mathrm{d}x$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ thuộc khoảng $(0;2023)$ để $I>6$?

Biết $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^{3}f(x)\text{d}x=F(3)-G(0)+a$, $(a>0)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F(x),y=G(x),x=0,x=3$. Khi $S=15$ thì $a$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(5)+G(5)=12$ và $F(1)+G(1)=3$. Khi đó ${\int }_0^2[f(2x+1)+2x]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $x{f}^{\prime }(x)-f(x)=2x^3-3x^2,\forall x\in \mathbb{R}$, biết $f(1)=2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ bằng

Câu 3. Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ và $g(x)=m{x}^3+n{x}^2+px+q(a,b,c,d,m,n,p,q\in \mathbb{R})$. Biết rằng đồ thị của hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $-4,-1,4$ và $f(2)=2,g(2)=-3$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).



Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=-4,x=-1$. Gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=-1,x=4$. Tính tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $3F(8)+G(8)=9$ và $3F(0)+G(0)=3$. Khi đó ${\int }_0^{2}f(4x)\text{d}x$ bằng