Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f^{\prime }(x)$ và $g(x)=f^{\prime \prime }(x)+bx-c$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và thỏa mãn $\sqrt{x^3+1}[4x{f}^{\prime }(1-x)-f(x)]=x^5$. Tích phân $I={\int }_0^{1}f(x)dx$ có kết quả dạng $\frac{a-b\sqrt{2}}{c}$ ($a,b,c\in {\mathbb{Z}}^{+},\frac{a}{c},\frac{b}{c}$ là phân số tối giản). Giá trị $T=a-2b+3c$ bằng:

Cho hai đồ thị hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số $f^{\prime }(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, $g^{\prime }(x)=q{x}^2+nx+p$ với $a,q\ne 0$ có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng 10 và $f(2)=g(2)$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$.


Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)+2f^{\prime }(x)=(x-1)[4x^2-2x-4-f^{\prime }(x)],\forall x\in \mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thỏa mãn $x^2{f}^2(x)+(2x-1)f(x)=x{f}^{\prime }(x)-1$, với mọi $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ đồng thời thỏa $f(1)=-2$. Tính ${\int }_1^{2}f(x)dx$.

Cho hàm số $y=f(x)=x^2+{\int }_0^2(x+u)f(u)du$ có đồ thị $(C)$. Khi đó hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục tung, tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x=5$ có diện tích $S$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f(x)+f(1-x)=3x^2-6,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$ bằng $\frac{a}{b}\sqrt{5}$ (với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó, giá trị của tổng $a+b$ bằng

Hình 1 là một tác phẩm dự thi của nhà thiết kế sân khấu trong một cuộc thi thiết kế sân khấu ngoài trời tổ chức tại một quảng trường. Khi mở rộng sân khấu trung tâm, ta được Hình 2. Quá trình thiết kế sân khấu trung tâm được mô tả như sau:
[IMAGE_1]

Bước 1. Vẽ hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $2$, và lấy trung điểm của bốn cạnh lần lượt là $E,F,G,H$.
Bước 2. Vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm $B,C,H$ và hàm bậc hai đi qua ba điểm $F,D,A$.
Bước 3. Tương tự như Bước 2, vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm $A,B,G$ và ba điểm $C,D,E$.
Biết rằng: Diện tích phần tô đen trong Hình 2 được cho bởi công thức: $\frac{p\sqrt{2}+q}{3}$. Hãy tính giá trị của $p-2q$. (Với $p,q$ là các số nguyên.)

Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=2$ và $(2x+1)f^{\prime }(x)-3x^2=8x(x^2+1)+2(3-f(x))$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $(0;+\infty )$, có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn $f^{\prime }(x)-\frac{1}{x^2}{f}^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{5}{18}\left(1-\frac{1}{x^2}\right),\forall x>0$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{f(x)-(x-1{)}^2}{x}$ và $y=0$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)+xf(x)=\frac{2x}{e^{x^2}},\forall x\in \mathbb{R}$ và $f(0)=-2$. Tính $f(-2)$.

Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol  P  : y  x và một điểm A a; a  2
 với a  0 nằm trên  P  .
Gọi  là tiếp tuyến của  P  tại A , d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với  . Biết diện tích của
hình phẳng giới hạn bởi  P  và d (phần gạch sọc) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a thuộc khoảng nào sau
đây?

 3  1 2  1 2

Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên  thỏa mãn
1
a a
 
5 f  x   7 f 1  x   3 x 2  2 x , x   . Biết rằng  x. f   x  dx   , với
b b
là phân số tối giản. Giá trị
0

của 8a  3b là

Một chiếc đèn lồng có trục đối xứng thẳng đứng, chiều cao $30\text{ cm}$. Thiết kế của đèn đảm bảo tại mọi độ cao, mặt cắt ngang vuông góc với trục luôn là một hình vuông (tham khảo hình vẽ). Hai đáy là hai hình vuông bằng nhau có cạnh $L_0=10\text{ cm}$. Tại vị trí rộng nhất, mặt cắt ngang là hình vuông có cạnh $L_{\max }=20\text{ cm}$. Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường chéo của hai đáy và hai đường parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng của đèn. Xét một đường cong parabol $y=f(x)$ trong số bốn đường cong tạo nên khung đèn lồng. Đường cong này được mô tả trong hệ trục tọa độ $Oxy$ với trục $Ox$ trùng với trục đối xứng (biểu diễn chiều cao) của đèn, đơn vị trên các trục là $1\text{ cm}$. Giả sử lớp vỏ đèn có độ dày không đáng kể, thể tích của chiếc đèn lồng đó là bao nhiêu lít?
[IMAGE_1]

Người ta dự định trồng hoa để trang trí vào phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây. Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+6$ và $y=g(x)=-b{x}^2+mx+n$ trong đó $a,b,c,m,n\in \mathbb{R}$. Biết đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng $-2;1;3$. Chi phí trồng hoa là $150000\text{ đoˆˋng}/1{\text{ m}}^2$ và đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Tổng chi phí để trồng hoa theo dự định là bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho:
- Đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\frac{3}{4}|x|$.
- Đường tròn $(C_1)$ có tâm $I_1$, bán kính $1$ tiếp xúc với $(C)$ tại $A$ và tiếp xúc với tia $Ox$.
- Đường tròn $(C_2)$ có tâm $I_2$, bán kính $1$ tiếp xúc với $(C)$ tại $B$ và tiếp xúc với tia $O{x}^{\prime }$.
- Parabol $(P)$ có đỉnh là $O$, qua $I_1$ và $I_2$.
(tham khảo hình vẽ dưới đây)

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi $(C),(P)$ và các đường thẳng $I_{1}A,I_{2}B$.

Để chuẩn bị cho lễ hội, một đơn vị thi công dựng một cổng chào dạng vòm Parabol có chiều cao $4\text{ m}$ và chiều rộng chân cổng là $4\text{ m}$. Ở chính giữa cổng, người ta thiết kế một lối đi hình chữ nhật cao $2\text{ m}$ và rộng $2\text{ m}$. Phần diện tích mặt trước của cổng Parabol (sau khi đã trừ lối đi hình chữ nhật) được chia thành $8$ lớp ngang, mỗi lớp cao $0,5\text{ m}$ để ốp tấm nhôm Alu trang trí có màu khác nhau (như bản vẽ thiết kế hình bên dưới).

Đơn giá thi công lắp tấm nhôm Alu cho cổng được tính như sau:
- Lớp dưới cùng có giá là $400$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$.
- Càng lên cao, giá thi công mỗi lớp tiếp theo tăng thêm $50$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$ so với lớp ngay dưới nó.
Tính tổng chi phí (đơn vị: nghìn đồng) ốp Alu cho phần diện tích còn lại của cổng sau khi đã loại bỏ lối đi (không làm tròn kết quả các phép toán trung gian, chỉ làm tròn kết quả phép toán cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Bác Tuấn trang trí bức tường hình vuông $ABCD$ có $AB=4\text{ m}$ như hình vẽ bằng cách sơn màu. Trong đó, bốn đường cong $AQB,APD,BEC,CFD$ đều là đường parabol có các đỉnh lần lượt là $Q,P,E,F$. Biết rằng trục đối xứng của mỗi Parabol trùng với một trục đối xứng của hình vuông $ABCD$. Cho biết $OE=OF=OP=OQ=1\text{ m}$. Phần diện tích giới hạn bởi bốn đường Parabol nêu trên (phần gạch chéo) được sơn màu đỏ với chi phí $500$ nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Phần diện tích còn lại của bức tường được sơn màu trắng với chi phí $300$ nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Tính tổng số tiền (đơn vị: nghìn đồng) bác Tuấn cần để hoàn thành việc sơn bức tường đó. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{4}{x}^3+x$. Đường thẳng $d$ đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $P(2;f(2))$ cắt đường thẳng $\Delta :y=-x+3$ tại điểm $Q$. Gọi $R$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với trục hoành. Gọi $A$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và đoạn thẳng $PQ$; $B$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=f(x)$, đường thẳng $\Delta$ và đoạn thẳng $OR$. Giá trị của $B-A$ là

Câu 6. Cho hàm số $f(x)=2^{x^2}$ và hàm số $g(x)=\sqrt{{\log }_{2}x}$. Giả sử $S={\int }_1^{20}f(x)dx+{\int }_2^{2^{400}}g(x)dx$ được viết dưới dạng $S=a\cdot 2^b-c$, với $b$ là số nguyên và $a,c$ là các số nguyên tố. Tính $a+b+c$.