Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, phương trình $f(x)=m$ có $4$ nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $-3<m<1$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0\}$, có $3$ giá trị nguyên. Chọn D.

Quan sát đồ thị, phương trình $f(x)=m$ có đúng $2$ nghiệm thực phân biệt khi $m=-2$ hoặc $m>-1$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-2;5]$ nên $m\in \{-2;0;1;2;3;4;5\}$, có $7$ giá trị nguyên.

Phương trình $2f(x)+3m-3=0⟺f(x)=\frac{3-3m}{2}$. Dựa vào đồ thị, phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi đường thẳng $y=\frac{3-3m}{2}$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt, tức là $-1<\frac{3-3m}{2}<3⟺-2<3-3m<6⟺-3<-3m<3⟺-1<m<\frac{5}{3}$.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 33, Mã đề 101; câu tương ứng ở các mã đề hoán vị trong cùng PDF: Mã đề 102 Câu 9 (C), Mã đề 103 Câu 2 (C), Mã đề 104 Câu 24 (A); đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Chọn D
Phương trình $f(x)=m+3$ có 4 nghiệm phân biệt khi $-3<m+3<1\iff -6<m<-2$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-5;-4;-3\}$. Có 3 giá trị nguyên thỏa mãn.

Chọn A.

Ta vẽ đồ thị hàm số $y=|f(x)-1|$ như hình trên.
Từ đồ thị ta có $|f(x)-1|=3m+2$ có $6$ nghiệm phân biệt $\iff 2<3m+2<6\iff 0<m<\frac{4}{3}$.

Chọn C
$[f(x){]}^2+f(x)-2=0\iff [\begin{array}{rl}f(x)& =1\\ f(x)& =-2\end{array}$
Dựa vào đồ thị hàm số:
- Đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
- Đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt (tiếp xúc tại điểm cực tiểu).
Tổng số nghiệm thực phân biệt của phương trình là $3+2=5$.

Chọn đáp án A
Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$) và $M(x;y)$ là điểm biểu diễn của $z$.
Ta có $|z|=m\iff x^2+y^2=m^2$.
Điều kiện $|z+\bar{z}|+|z-\bar{z}|=|z^2|\iff |2x|+|2yi|=x^2+y^2\iff 2(|x|+|y|)=m^2$.
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
$(|x|+|y|{)}^2\le 2(x^2+y^2)=2m^2\Rightarrow |x|+|y|\le m\sqrt{2}$.
Mặt khác $(|x|+|y|{)}^2=x^2+y^2+2|xy|\ge x^2+y^2=m^2\Rightarrow |x|+|y|\ge m$.
Do đó: $2m\le 2(|x|+|y|)\le 2m\sqrt{2}\iff 2m\le m^2\le 2m\sqrt{2}$.
Vì $m>0$ ta được $2\le m\le 2\sqrt{2}$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $3x-5=\frac{x+1}{x-2}$ (điều kiện $x\ne 2$)
$\iff (x-2)(3x-5)=x+1\iff 3x^2-11x+10=x+1\iff 3x^2-12x+9=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1\Rightarrow y=-2</td></tr><tr><td>x=3\Rightarrow y=4</td></tr></tbody></table>$
Tọa độ hai giao điểm là $A(1;-2)$ và $B(3;4)$.
Khi đó độ dài đoạn thẳng $AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(4+2{)}^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$.
Chọn đáp án D.

Đáp án đúng là D theo bảng đáp án Mã đề 103 của Sở GD&ĐT Sơn La.

Đặt $t=f(x)$, phương trình trở thành $t^2-4t+3=2t^2-3t+3\iff t^2+t=0\iff t=0$ hoặc $t=-1$. Với $f(x)=0$ có $2$ nghiệm; với $f(x)=-1$ có $1$ nghiệm. Tổng cộng có $3$ nghiệm.

Chọn A

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Xét hàm số $f(x)=6^x-2^x-3^x$ trên $\mathbb{R}$. Ta có:
$f^{\prime }(x)=6^x\ln 6-2^x\ln 2-3^x\ln 3=2^x\ln 2(3^x-1)+3^x\ln 3(2^x-1)$.
- Với $x>0\Rightarrow f^{\prime }(x)>0$; với $x<0\Rightarrow f^{\prime }(x)<0$; với $x=0\Rightarrow f^{\prime }(0)=0$.
- Đồng thời $f(0)=-1$, ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.

Để phương trình $f(x)=\frac{a}{5}$ có $2$ nghiệm thực phân biệt thì $-1<\frac{a}{5}<0\iff -5<a<0$. Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $a\in \{-4;-3;-2;-1\}$, có $4$ giá trị.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 21, mã đề 301; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Phương trình $f(x)+2=m\iff f(x)=m-2$. Dựa vào đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương, đường thẳng $y=m-2$ cắt đồ thị tại đúng 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số, tức là $m-2=3\iff m=5$. Vậy tổng tất cả giá trị nguyên của $m$ là 5. Chọn A.

Chọn A
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, ta thấy $f(t)=0\iff t\in \{-2;0;2\}$.
Do đó: $g(x)=0\iff f(f(x)-1)=0\iff [\begin{array}{rl}f(x)-1& =-2\\ f(x)-1& =0\\ f(x)-1& =2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}f(x)& =-1\\ f(x)& =1\\ f(x)& =3\end{array}$
Dựa vào đồ thị hàm số:
- $f(x)=-1$: cắt tại 4 điểm phân biệt.
- $f(x)=1$: cắt tại 2 điểm phân biệt.
- $f(x)=3$: cắt tại 1 điểm phân biệt (tiếp xúc tại cực đại $y=3$ hoặc cắt tại 2 điểm).
Tổng số nghiệm thực phân biệt của phương trình là 7. Vậy số phần tử của $S$ là 7.

Chọn B
t
Đặt t = 2 x $\Rightarrow$ x = . Khi đó, phương trình f ( 2 x ) = m có đúng hai nghiệm phân biệt khi
2
[ m = -3 m $\in$ '
phương trình f ( t ) = m có đúng hai nghiệm phân biệt $\iff$  mà
[m  1 m  2023
nên m $\in$ {2;3; 4;5;...; 2020; 2021; 2022} $\cup$ {-3}
Vậy có tất cả 2022 giá trị nguyên của m thoả đề.

Phương trình $x^3-12x+1=m$. Xét $g(x)=x^3-12x+1$ có $g^{\prime }(x)=3x^2-12=0\iff x=\pm 2$, với $g(-2)=17$ và $g(2)=-15$. Để phương trình có $3$ nghiệm phân biệt thì $-15<m<17$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-14,-13,\dots ,16\}$, có $31$ giá trị nguyên.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng $y=m$. Dựa vào đồ thị, phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $0<m<1$. Chọn B.