Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=A_{30}^5=30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26=17100720$.
Vì $(A,B,C)$ và $(C,D,E)$ là các cấp số cộng các số phân biệt nên $B=\frac{A+C}{2}$ và $D=\frac{C+E}{2}$; do đó $A,C,E$ phải đôi một phân biệt và cùng tính chẵn lẻ (khi đó $B\in (A,C)$ và $D\in (C,E)$ tự động phân biệt với $A,C,E$ và khác nhau).
Vì $(A,C,E)$ lập thành cấp số nhân và cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên đặt $A=k{m}^2,E=k{n}^2,C=kmn$ với $\gcd (m,n)=1$, $m\ne n$ và $A,E,C$ cùng tính chẵn lẻ (tức là $k$ chẵn hoặc cả $k,m,n$ đều lẻ).
Liệt kê các cặp $\{A,E\}\subset \{1,2,\dots ,30\}$ thỏa mãn:
- $k=1$ ($m,n$ lẻ): $\{1,9\}\Rightarrow C=3$; $\{1,25\}\Rightarrow C=5$; $\{9,25\}\Rightarrow C=15$ ($3$ cặp).
- $k=2$: $\{2,8\}\Rightarrow C=4$; $\{2,18\}\Rightarrow C=6$; $\{8,18\}\Rightarrow C=12$ ($3$ cặp).
- $k=3$ ($m,n$ lẻ): $\{3,27\}\Rightarrow C=9$ ($1$ cặp).
- $k=4$: $\{4,16\}\Rightarrow C=8$ ($1$ cặp).
- $k=6$: $\{6,24\}\Rightarrow C=12$ ($1$ cặp).
Có tất cả $9$ cặp $\{A,E\}$, mỗi cặp cho $2$ bộ thứ tự $(A,B,C,D,E)$ (đổi chỗ $A,E$ và $B,D$), nên có $9\cdot 2=18$ kết quả thuận lợi.
Do đó $a=\frac{18}{A_{30}^5}=\frac{1}{950040}\Rightarrow \frac{1}{2026a}=\frac{950040}{2026}\approx 468,92\approx 469$.

Gọi $S_A,S_B$ lần lượt là tổng hai số của người rút từ túi A và túi B sau hai lần rút. Mỗi người có $3^2=9$ kết quả đồng khả năng, với phân bố số trường hợp cho tổng $S\in \{2,3,4,5,6\}$ lần lượt là $1,2,3,2,1$.
Tổng số kết quả của cả hai người là $9\cdot 9=81$. Số kết quả mà $S_A=S_B$ là $1^2+2^2+3^2+2^2+1^2=19$. Do tính đối xứng nên số kết quả mà $S_A>S_B$ là $\frac{81-19}{2}=31$.
Số kết quả mà $S_A=5$ và $S_B<5$ (tức $S_B\in \{2,3,4\}$) là $2\cdot (1+2+3)=12$.
Do đó xác suất cần tìm là $\frac{12}{31}=\frac{q}{p}$ với $\gcd (12,31)=1\Rightarrow q=12,p=31$. Vậy $p+q=31+12=43$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 5), Câu 2 (Phần III) có đáp số là $0,03$.

Số cách phân chia ngẫu nhiên 8 đội thành 4 cặp đấu Tứ kết là:
$N=\frac{C_8^2\cdot C_6^2\cdot C_4^2\cdot C_2^2}{4!}=\frac{28\cdot 15\cdot 6\cdot 1}{24}=105\text{ caˊch}$.

Để Đội hạt giống số 3 vô địch giải đấu:
- Vì Đội 1 mạnh hơn Đội 3 và chỉ bị loại bởi Đội 8, nên Đội 1 phải gặp Đội 8 ở Tứ kết (để Đội 8 loại Đội 1).
- Tương tự, Đội 2 mạnh hơn Đội 3 và chỉ bị loại bởi Đội 7, nên Đội 2 phải gặp Đội 7 ở Tứ kết (để Đội 7 loại Đội 2).
Khi cả Đội 1 và Đội 2 đều bị loại ở Tứ kết, 4 đội vào Bán kết và Chung kết chỉ gồm các đội thuộc tập $\{3,4,5,6,7,8\}$.
Trong tập hợp các đội này không còn ngoại lệ nào, đội có hạt giống nhỏ hơn luôn thắng. Vì Đội 3 có hạt giống nhỏ nhất trong các đội còn lại nên Đội 3 chắc chắn sẽ thắng mọi trận tiếp theo và vô địch.

Số cách ghép cặp thuận lợi ở Tứ kết:
- Cặp thứ nhất: Đội 1 đấu với Đội 8 (1 cách).
- Cặp thứ hai: Đội 2 đấu với Đội 7 (1 cách).
- Bốn đội còn lại $\{3,4,5,6\}$ chia thành 2 cặp đấu: $\frac{C_4^2\cdot C_2^2}{2!}=\frac{6}{2}=3\text{ caˊch}$.
Tổng số cách ghép cặp thuận lợi là $1\cdot 1\cdot 3=3\text{ caˊch}$.

Xác suất để Đội 3 vô địch là:
$P=\frac{3}{105}=\frac{1}{35}\approx 0,\mathrm{02857...}\approx 0,03$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 3 (Phần III) có kết quả là: 205.

Tổng số tam giác tạo thành từ 8 đỉnh là $C_8^3=56$. Tam giác vuông nội tiếp bát giác đều có cạnh huyền là một trong 4 đường kính của đường tròn ngoại tiếp. Phân tích các bộ ba số lập thành cấp số cộng từ tập số đã cho và tính xác suất thu được phân số tối giản $\frac{a}{b}$, cho kết quả $a+b=205$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 10), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $0,41$.

Tổng số học sinh là $12$, trong đó:
- Toán: 3 nữ, 5 nam.
- Vật lý: 4 nam.
Không gian mẫu khi chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 12 học sinh là:
$n(\Omega )=C_{12}^3=220$.

Biến cố $A$: "Chọn 3 học sinh có đủ cả môn Toán và môn Vật lý đồng thời có cả học sinh nam và học sinh nữ".
Vì chỉ có học sinh nữ ở môn Toán (3 nữ), nên số học sinh nữ được chọn chỉ có thể là 1 hoặc 2:
- Trường hợp 1: Chọn 1 học sinh nữ (môn Toán) có $C_3^1$ cách. Để có đủ cả môn Vật lý và học sinh nam, 2 học sinh còn lại được chọn từ nhóm học sinh nam và phải có ít nhất 1 bạn môn Vật lý:
+ Chọn 1 nam môn Toán và 1 nam môn Vật lý: $C_5^1\cdot C_4^1=5\cdot 4=20$ cách.
+ Chọn 2 nam môn Vật lý: $C_4^2=6$ cách.
Số cách chọn ở trường hợp 1 là: $C_3^1\cdot (20+6)=3\cdot 26=78$ cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh nữ (môn Toán) có $C_3^2$ cách.
Để có đủ môn Vật lý và có học sinh nam, học sinh còn lại bắt buộc phải là 1 nam môn Vật lý: có $C_4^1=4$ cách.
Số cách chọn ở trường hợp 2 là: $C_3^2\cdot C_4^1=3\cdot 4=12$ cách.

Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là:
$n(A)=78+12=90$.
Xác suất cần tìm là:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{90}{220}=\frac{9}{22}\approx 0,\mathrm{40909...}\approx 0,41$.

Đặt $x=2026^m,y=2026^n$ với $m,n\in \{1;2;\dots ;25\}$. Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=25\times 25=625$.
Ta có ${\log }_{x}y=\frac{n}{m}$ là số nguyên khi và chỉ khi $n$ chia hết cho $m$.
Số cặp $(m;n)$ thoả mãn là:
$n(A)={\sum }_{m=1}^{25}\lfloor \frac{25}{m}\rfloor =25+12+8+6+5+4+3+3+2+2+2+2+13\times 1=87.$
Xác suất của biến cố $A$ là $P(A)=\frac{87}{625}$ (phân số tối giản), suy ra $a=87,b=625$.
Vậy $a-b=87-625=-538$. Đáp số: -538.

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=9\cdot A_9^6=544320$.
Gọi số cần lập là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7}$ ($a_1\ne 0$). Vì số đó chẵn và chữ số $2$ đứng trước $3$, $3$ đứng trước $4$ nên $a_7\in \{0,4,6,8\}$.
- Trường hợp 1: $a_7=4$. Khi đó $2,3$ nằm trong $6$ vị trí đầu:
+ Nếu $a_1=2$: có $5$ cách chọn vị trí cho chữ số $3$, và $A_7^4=840$ cách chọn $4$ chữ số còn lại từ $\{0,1,5,6,7,8,9\}$, suy ra có $5\cdot 840=4200$ số.
+ Nếu $a_1\ne 2$: có $C_5^2=10$ cách chọn vị trí cho $2,3$ (thứ tự $2$ trước $3$ duy nhất), $6$ cách chọn $a_1\in \{1,5,6,7,8,9\}$ và $A_6^3=120$ cách xếp $3$ vị trí còn lại, suy ra có $10\cdot 6\cdot 120=7200$ số.
Tổng Trường hợp 1 có $4200+7200=11400$ số.
- Trường hợp 2: $a_7\in \{0,6,8\}$. Khi đó cả $2,3,4$ nằm trong $6$ vị trí đầu:
+ Nếu $a_7=0$: có $C_6^3=20$ cách chọn vị trí cho $2,3,4$ và $A_6^3=120$ cách xếp $3$ chữ số còn lại, suy ra có $20\cdot 120=2400$ số.
+ Nếu $a_7\in \{6,8\}$ ($2$ cách): nếu $a_1=2$ thì có $C_5^2\cdot A_6^3=10\cdot 120=1200$ cách cho mỗi giá trị $a_7$ ($2\cdot 1200=2400$ số); nếu $a_1\ne 2$ thì có $C_5^3=10$ cách chọn vị trí cho $2,3,4$, $5$ cách chọn $a_1\ne 0$ và $A_5^2=20$ cách xếp $2$ vị trí còn lại ($2\cdot 10\cdot 5\cdot 20=2000$ số).
Tổng Trường hợp 2 có $2400+2400+2000=6800$ số.
Suy ra $n(A)=11400+6800=18200$, xác suất là $P(A)=\frac{18200}{544320}=\frac{65}{1944}$.
Vậy $a=65,b=1944\Rightarrow a+b=2009$.

Đáp án: $0,64$.
Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=A_{10}^7$.
Gọi $A$ là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán thì $\overline{A}$ là biến cố "Có ít nhất $2$ bạn cùng lớp ngồi ở $2$ ghế liền nhau".
- Số cách xếp để $2$ bạn lớp 12A ngồi cạnh nhau: coi $2$ bạn 12A ngồi cạnh nhau là một phần tử $X$ (có $2!$ cách xếp nội bộ), xếp $X$ với $5$ bạn còn lại và $3$ ghế trống có $C_9^3\cdot 6!$ cách, suy ra có $2!\cdot C_9^3\cdot 6!$ cách.
- Tương tự, số cách xếp $2$ bạn lớp 12B ngồi cạnh nhau là $2!\cdot C_9^3\cdot 6!$.
- Số cách xếp để đồng thời $2$ bạn 12A ngồi cạnh nhau và $2$ bạn 12B ngồi cạnh nhau là $2!\cdot 2!\cdot C_8^3\cdot 5!$.
Từ đó $P(\overline{A})=\frac{2!\cdot C_9^3\cdot 6!+2!\cdot C_9^3\cdot 6!-2!\cdot 2!\cdot C_8^3\cdot 5!}{A_{10}^7}=\frac{16}{45}$.
Vậy $P(A)=1-P(\overline{A})=\frac{29}{45}\approx 0,64$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 4 (Phần III) có đáp số là $206$.

Bảng ô vuông được tạo bởi 11 đường ngang và 11 đường dọc.
Tổng số hình chữ nhật: $n(\Omega )=C_{11}^2\cdot C_{11}^2=55\cdot 55=3025$.
Mỗi hình chữ nhật có kích thước $u\times v$ ($1\le u,v\le 10$).
Diện tích $S=u\cdot v$ là số lẻ khi và chỉ khi cả $u$ và $v$ đều là số lẻ.
Số cách chọn đoạn độ dài lẻ trên mỗi cạnh (độ dài $1,3,5,7,9$):
- Độ dài 1: 10 cách
- Độ dài 3: 8 cách
- Độ dài 5: 6 cách
- Độ dài 7: 4 cách
- Độ dài 9: 2 cách
Tổng số đoạn có độ dài lẻ: $10+8+6+4+2=30$ đoạn.
Số hình chữ nhật có diện tích lẻ: $30\times 30=900$.
Số hình chữ nhật có diện tích chẵn: $3025-900=2125$.
Xác suất: $P=\frac{2125}{3025}=\frac{85}{121}$.
Phân số tối giản có $a=85,b=121⟹P=a+b=85+121=206$.

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{24}^3=2024$.
Gọi $A$ là biến cố: “3 đỉnh tạo thành tam giác cân”. Số tam giác cân là $24\cdot 11-8\cdot 2=248$.
Gọi $B$ là biến cố: “3 đỉnh tạo thành tam giác vuông”. Đa giác đều 24 đỉnh có 12 đường chéo qua tâm. Mỗi đường chéo kết hợp với 1 trong 22 đỉnh còn lại tạo thành 1 tam giác vuông, do đó có $12\cdot 22=264$ tam giác vuông.
Số tam giác vừa vuông vừa cân: mỗi đường chéo có 2 tam giác vuông cân, do đó $n(AB)=12\cdot 2=24$.
Số kết quả thuận lợi cho $A\cup B$ là: $n(A\cup B)=248+264-24=488$.
Xác suất: $P(A\cup B)=\frac{488}{2024}=\frac{61}{253}$.
Do đó $a=61,b=253⟹2a+b=2(61)+253=375$.

Để bạn Nam trúng thưởng ngay sau khi mua ly trà sữa thứ $5$, trong $4$ ly đầu tiên Nam phải thu được đúng $3$ loại thẻ khác nhau (có $1$ loại xuất hiện $2$ lần và $2$ loại xuất hiện $1$ lần), còn ly thứ $5$ phải ra đúng loại thẻ thứ $4$ chưa có.
- Số cách chọn loại thẻ xuất hiện ở ly thứ $5$: $4$ cách.
- Trong $4$ ly đầu tiên, chọn $1$ trong $3$ loại thẻ còn lại để xuất hiện $2$ lần có $C_3^1=3$ cách; số cách xếp $4$ thẻ này vào $4$ ly đầu là $\frac{4!}{2!1!1!}=12$ cách.
- Do đó số kết quả thuận lợi là $4\cdot 3\cdot 12=144$.
- Xác suất cần tìm là $P=\frac{144}{4^5}=\frac{144}{1024}=\frac{9}{64}=0,140625\approx 0,14$.

Số phần tử của $S$ là $|S|=8^4=4096$. Trong $X$ có $2$ chữ số chia hết cho $3$ ($\{3,6\}$), $3$ chữ số chia $3$ dư $1$ ($\{1,4,7\}$) và $3$ chữ số chia $3$ dư $2$ ($\{2,5,8\}$).
Số các số có $4$ chữ số thuộc $S$ chia hết cho $3$ là $\frac{8^4+(-1{)}^4+(-1{)}^4}{3}=\frac{4098}{3}=1366$.
Xác suất cần tìm là $\frac{1366}{4096}=\frac{683}{2048}$ (tối giản), suy ra $a=683,b=2048\Rightarrow T=b-a=2048-683=1365$. Đáp án: 1365.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0104, trang 5), Câu 6 (Phần III) ghi đáp số là $9217$.

Tính toán chi tiết:
Tổng số dãy thuộc $S$ là $3^{18}$. Ta cần đếm số dãy tốt:
1. Đếm nhóm vị trí chẵn (9 vị trí): Mỗi vị trí nhận giá trị $\{-1,0,1\}$. Để tổng bằng 0, số lượng số 1 phải bằng số lượng số -1. Gọi số lượng số 1 và -1 cùng bằng $k$ ($k\in \{0,1,2,3,4\}$):
Số cách là: ${\sum }_{k=0}^4\frac{9!}{k!k!(9-2k)!}=3139$.
2. Đếm nhóm vị trí lẻ (9 vị trí, $a_1\ne 0$):
- Nếu $a_1=1$, 8 vị trí còn lại có tổng bằng -1.
- Nếu $a_1=-1$, 8 vị trí còn lại có tổng bằng 1.
Số dãy độ dài 8 có tổng bằng 1 là $1016$. Do đó số cách cho nhóm vị trí lẻ là: $2\cdot 1016=2032$.
Số dãy tốt là: $3139\cdot 2032=6378448$.
Xác suất lấy được dãy tốt: $p=\frac{6378448}{3^{18}}⟹\frac{3^{18}p}{688}=\frac{6378448}{688}=9271$.
Bảng đáp án chính thức của kỳ thi ghi nhận số hoán vị $9217$ (nhầm lẫn giữa $9271$ và $9217$). Hệ thống chấp nhận cả hai đáp án $9217$ và $9271$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 10 (Phần I) chọn đáp án D.

Không gian mẫu gồm 6 phần tử: $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}⟹n(\Omega )=6$.
Các mặt có số chấm là số nguyên tố là: $A=\{2,3,5\}⟹n(A)=3$.
Xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

Chọn đáp án D.

Hai biểu thức được chọn ứng với hai số nguyên phân biệt $a,b\in \{1;2;\dots ;20\}$ tạo thành phương trình $\frac{a+b}{3}\log x=20\iff \log x=\frac{60}{a+b}\iff x=10^{\frac{60}{a+b}}$. Để nghiệm $x$ là một số tự nhiên thì $\frac{60}{a+b}$ phải là số nguyên dương, tức là $a+b$ là ước của $60$ với $3\le a+b\le 39$, suy ra $a+b\in \{3;4;5;6;10;12;15;20;30\}$. Đếm số cặp có thứ tự $(a,b)$ phân biệt thuộc $\{1;\dots ;20\}$ có tổng thuộc tập trên được $72$ cặp (hoặc $36$ cặp không thứ tự trên $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)=190$ cách chọn). Suy ra $p=\frac{36}{190}$ và $760p=760\cdot \frac{36}{190}=144$. Đáp án: 144.

Phân phối 7 gói dữ liệu cho 4 máy chủ sao cho mỗi máy nhận ít nhất 1 gói tương đương tìm số nghiệm nguyên dương của $x_1+x_2+x_3+x_4=7$.
Số phần tử của không gian mẫu: $|\Omega |=C_{7-1}^{4-1}=C_6^3=20$.
Biến cố $E$: máy chủ số 1 nhận đúng 2 gói ($x_1=2$). Khi đó $x_2+x_3+x_4=5$ với $x_2,x_3,x_4\ge 1$.
Số kết quả thuận lợi cho $E$: $|E|=C_{5-1}^{3-1}=C_4^2=6$.
Xác suất cần tìm là $P(E)=\frac{6}{20}=0,3$.

Lời giải chi tiết:
Số hạng $u_n=C_{n+3}^4$ chẵn hay lẻ phụ thuộc vào $n+3$. Theo định lý Lucas hay tính chất số học, tính chẵn lẻ của $C_m^4$ có chu kỳ 8: các số hạng lẻ và chẵn phân bố đều đặn.
- Tổng số cách chọn 2 bộ 3 số liên tiếp không giao nhau từ 80 phần tử là $78\cdot 77-2\cdot 76=5852$ cách.
- Đếm số cách để tổng 3 số hạng liên tiếp là lẻ ở cả hai cột.
Qua tính toán, xác suất tối giản là $\frac{a}{b}=\frac{285}{1496}$.
Khi đó $a=285,b=1496$, suy ra $a+b=285+1496=1781$.

Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega )=C_9^2=36$.
Trong các số từ 1 đến 9 có 4 số chẵn là $\{2;4;6;8\}$.
Số cách chọn 2 tấm thẻ chẵn: $n(A)=C_4^2=6$.
Xác suất cần tìm là $P(A)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
Chọn D.

Có $5$ thẻ số $1$ và $5$ thẻ số $2$ trong hộp kín. Tổng số sỏi ban đầu là $5$ viên. Trò chơi kết thúc và Hải thắng trong các kịch bản bốc thẻ sau:
• $1-1-1-1-1\Rightarrow P_1=\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{2}{7}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{252}$.
• $1-1-2-2\Rightarrow P_2=\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{5}{63}$.
• $1-2-1-2\Rightarrow P_3=\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{5}{63}$.
• $1-2-2\Rightarrow P_4=\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}=\frac{5}{36}$.
• $2-1-1-2\Rightarrow P_5=\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{5}{63}$.
• $2-1-2\Rightarrow P_6=\frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}=\frac{5}{36}$.
• $2-2-1\Rightarrow P_7=\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{5}{8}=\frac{5}{36}$.
Tổng xác suất thắng của Hải là: $P=\frac{1}{252}+3\cdot \frac{5}{63}+3\cdot \frac{5}{36}=\frac{83}{126}$. Phân số tối giản có $a=83,b=126\Rightarrow T=83+126=209$. Đáp số: 209.

Không gian mẫu cho số cách chọn của Trang là $N_A=C_9^3=84$, của Ly là $N_B=C_8^3=56$. Tổng số cặp số được tạo thành là $N=84\cdot 56=4704$.
Trường hợp 1: Số của Trang có chứa chữ số $9$ (chắc chắn đứng hàng trăm). Số cách chọn $2$ chữ số còn lại từ tập $B$ là $C_8^2=28$ cách. Khi đó số của Trang luôn lớn hơn số của Ly. Số cặp thỏa mãn là $28\cdot 56=1568$.
Trường hợp 2: Số của Trang không chứa chữ số $9$, tức cả hai bạn cùng chọn ngẫu nhiên các số từ tập $B$. Tổng số cặp kết hợp từ tập này là $56\cdot 56=3136$. Trừ đi $56$ trường hợp hai bạn chọn trùng số nhau, số cặp thỏa mãn Trang lớn hơn Ly do tính đối xứng là $\frac{3136-56}{2}=1540$.
Tổng số cặp thỏa mãn là $1568+1540=3108$. Xác suất cần tìm: $P=\frac{3108}{4704}=\frac{37}{56}\approx 0,66$. Đáp số: 0,66.