Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Lấy logarit cơ số 5 hai vế bất phương trình: $(y+\frac{11}{{\log }_{5}x}){\log }_5(5x)\ge 10+{\log }_{5}x$. Đặt $t={\log }_{5}x$, vì $x\in (1;25)$ nên $t\in (0;2)$. Bất phương trình trở thành $(y+\frac{11}{t})(1+t)\ge 10+t\iff y\ge \frac{10+t}{1+t}-\frac{11}{t}=1+\frac{9}{1+t}-\frac{11}{t}$. Khảo sát hàm số trên $(0;2)$ để tìm giá trị lớn nhất, ta suy ra điều kiện cho số nguyên $y\in [-2022;2022]$ thỏa mãn là $y\ge 1$, tổng cộng có $2022-1+1=2022$ giá trị nguyên của $y$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn A.

Bất phương trình nghiệm đúng khi $x$ nằm giữa hai nghiệm $4-y$ và ${\log }_{3}y$. Kiểm tra các số nguyên dương $y$:
- $y=1$: $0<x<3\Rightarrow x\in \{1;2\}$ (2 nghiệm, thỏa mãn).
- $y=2$: ${\log }_{3}2<x<2\Rightarrow x=1$ (1 nghiệm, thỏa mãn).
- $y=3$: không có nghiệm nguyên.
- $y\in \{4,5,6,7,8\}$: khoảng nghiệm $(4-y;{\log }_{3}y)$ có lần lượt 1, 2, 3, 4, 5 nghiệm nguyên (thỏa mãn).
- $y\ge 9$: có từ 6 nghiệm nguyên trở lên (loại).
Vậy có 7 giá trị nguyên dương của $y$ là $1,2,4,5,6,7,8$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn D.

Vì $x,y$ là các số nguyên dương nên $x\ge 1,y\ge 1$. Ta có $x^2+y^2+2\ge 2x+y>0\Rightarrow {\log }_2\frac{x^2+y^2+2}{2x+y}\ge 0$, đồng thời $x^2+2x+3y^2-y=x(x+2)+y(3y-1)\ge 3+2=5>0$. Do đó vế trái luôn dương với mọi $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên không có cặp số nguyên dương $(x;y)$ nào thỏa mãn bất phương trình.

**Chọn C**

(Theo đáp án chính thức của Hội đồng ra đề Trường THPT Trần Quốc Tuấn - Mã đề 001).
Có 6 số nguyên $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bất phương trình tương đương: $(4^x-2x-1)(x^2-4^y)\ge 0$.
Với $x\ge 1$ thì $4^x-2x-1>0$, do đó bất phương trình tương đương $x^2-4^y\ge 0\iff x\ge 2^y$.
Số nguyên $x\in (0;2022)$ thỏa mãn là $2^y\le x<2022$.
Số lượng số nguyên thỏa mãn là $2021-2^y+1\ge 1011\iff 2^y\le 1011\iff 1\le y\le {\log }_{2}1011\approx 9,98$.
Vì $y$ nguyên dương nên $y\in \{1,2,\dots ,9\}$. Có tất cả 9 số nguyên dương $y$ thỏa mãn.

Bất phương trình tương đương: $5^{a^2-2a-3}\cdot 5^b-3^{a^2}\cdot 3^b-598\le 0$.
Xét hàm số $f(b)=5^{a^2-2a-3+b}-3^{b+a^2}-598$ theo biến $b$. Tìm các giá trị nguyên của $a$ sao cho có ít nhất 8 số nguyên $b\in (-10;10)$ thỏa mãn $f(b)\le 0$.
Kết quả giải ra $a\in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, gồm 7 giá trị nguyên của $a$. Chọn đáp án A.

Viết lại bất phương trình thành: ${\log }_2(x^2+2x+m+1)+2(x^2+2x+m+1)\ge {\log }_2[2(x^2+2x+2)]+4(x^2+2x+2)$. Xét hàm đặc trưng $u(t)={\log }_{2}t+2t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, bất phương trình tương đương: $\{\begin{array}{l}{x}^2+2x+m+1>0\\ x^2+2x+m+1\ge 2(x^2+2x+2)\end{array}\iff m\ge x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2$. Để bất phương trình có nghiệm thực $x$ thì $m\ge {\min }_{\mathbb{R}}[(x+1{)}^2+2]=2$. Với $m\in [0;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{2;3;4;5;6;7;8;9;10\}$, gồm $9$ phần tử.

Bất phương trình tương đương $2^{4x}-4\cdot 2^{3x}+4\cdot 2^x\cdot 2^m-2^{2m}<0\iff (2^m-2^{2x})(2^m+2^{2x}-4\cdot 2^x)>0$.
Với $\forall x\in (-\infty ;4]$, ta có $0<2^{2x}\le 2^8$ và $-192\le 4\cdot 2^x-2^{2x}\le 4=2^2$.
Do $2^m>0$ nên hệ $\{\begin{array}{l}{2}^m>2^{2x}\\ 2^m>4\cdot 2^x-2^{2x}\end{array}$ nghiệm đúng với $\forall x\in (-\infty ;4]\iff 2^m>2^8\iff m>8$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [0;100]$ nên $m\in \{9;10;\dots ;100\}$, có $100-8=92$ giá trị của $m$.

Bất phương trình tương đương:
$\frac{2^{x^2+y^2+1}}{2^{2x}}\le x^2+y^2-2x+2\iff 2^{x^2+y^2-2x+1}\le (x^2+y^2-2x+1)+1$.
Đặt $t=x^2+y^2-2x+1=(x-1{)}^2+y^2\ge 0$.
BPT trở thành $2^t\le t+1\iff 2^t-t-1\le 0$.
Xét hàm số $f(t)=2^t-t-1$ với $t\ge 0$, ta có $f^{\prime }(t)=2^t\ln 2-1=0\iff t={\log }_2\left(\frac{1}{\ln 2}\right)\approx 0,53$.
Vì $f(0)=0$ và $f(1)=0$, nên $f(t)\le 0\iff 0\le t\le 1$.
Do đó $(x-1{)}^2+y^2\le 1$. Tập hợp các điểm $M(x;y)$ là hình tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=1$.
Biểu thức $P=\frac{8x+4}{2x-y+1}\iff (2P-8)x-Py+P-4=0$ (đường thẳng $\Delta$).
Để $\Delta$ và hình tròn có điểm chung thì $d(I,\Delta )\le R=1$:
$\frac{|(2P-8)\cdot 1-P\cdot 0+P-4|}{\sqrt{(2P-8{)}^2+(-P{)}^2}}\le 1\iff \frac{|3P-12|}{\sqrt{5P^2-32P+64}}\le 1$
$\iff (3P-12{)}^2\le 5P^2-32P+64\iff 9P^2-72P+144\le 5P^2-32P+64$
$\iff 4P^2-40P+80\le 0\iff P^2-10P+20\le 0\iff 5-\sqrt{5}\le P\le 5+\sqrt{5}$.
Giá trị lớn nhất của $P$ là $5+\sqrt{5}\approx 7,236$, gần nhất với $7$.

Nhận xét rằng $3^x-2^x$ luôn cùng dấu với $x$ (bằng 0 khi $x=0$, dương khi $x>0$, âm khi $x<0$). Do đó bất phương trình tương đương $x(x-m)\le 0$. Nếu $m\ge 0$, tập nghiệm là $[0;m]$, chứa các số nguyên $0,1,\dots ,[m]$. Để chứa không quá 8 giá trị nguyên thì $[m]\le 7\Rightarrow 0\le m<8\Rightarrow m\in \{0;1;\dots ;7\}$ (8 giá trị). Nếu $m<0$, tập nghiệm là $[m;0]$, chứa các số nguyên $[m],\dots ,0$. Để chứa không quá 8 giá trị nguyên thì $m>-8\Rightarrow m\in \{-7;-6;\dots ;-1\}$ (7 giá trị). Tổng cộng có $8+7=15$ giá trị nguyên của $m$. Chọn D.

Ta có $2x^2-x+1>0,\forall x$. Bất phương trình tương đương: ${\log }_2(3x^2+3x+m+1)+(3x^2+3x+m+1)<{\log }_2(2x^2-x+1)+2(2x^2-x+1)$. Xét tính đơn điệu của hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t$, ta suy ra $3x^2+3x+m+1<4x^2-2x+2\iff x^2-5x+1-m>0,\forall x$. Điều kiện $\Delta =25-4(1-m)<0\iff 4m<-21\iff m<-\frac{21}{4}=-5.25$. Đồng thời điều kiện $3x^2+3x+m+1>0,\forall x\iff {\Delta }_1=9-12(m+1)<0\iff 12m>-3\iff m>-\frac{1}{4}$. Hai điều kiện $m<-5.25$ và $m>-0.25$ mâu thuẫn nhau, do đó không có số nguyên $m$ nào thỏa mãn. Chọn B.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 4 số dương $x,2^y,2^y,2^y$: $x+3\cdot 2^y=x+2^y+2^y+2^y\ge 4\sqrt[4]{x\cdot (2^y{)}^3}=4\sqrt[4]{2^{{\log }_{2}x+3y}}=4\cdot 2^{\frac{{\log }_{2}x+3y}{4}}$. Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $x=2^y$. Do $(x;y)$ nguyên dương và $x\le 2023$, ta có $2^y\le 2023\Rightarrow 1\le y\le 10$. Có 10 cặp số nguyên dương thỏa mãn. Chọn D.

Bất phương trình tương đương với $\{\begin{array}{l}{x}^2+6x+m>0\\ 5(x^2+1)>x^2+6x+m\end{array}⟺-x^2-6x<m<4x^2-6x+5$. Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in (2;3)$, ta cần ${\max }_{[2;3]}(-x^2-6x)\le m\le {\min }_{[2;3]}(4x^2-6x+5)⟺-16\le m\le 9$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-16;-15;\dots ;9\}$, có $9-(-16)+1=26$ giá trị nguyên của $m$.

Ta có $2^{x+1}-\sqrt{2}=0\iff x=-\frac{1}{2}$. Vì $y$ nguyên dương nên $y\ge 1>2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Bất phương trình tương đương: $-\frac{1}{2}<x<{\log }_{2}y$. Các số nguyên $x$ thỏa mãn là $x\in \{0;1;2;\dots \}$. Để có không quá 10 số nguyên $x$, tập nghiệm nguyên chỉ được chứa tối đa 10 phần tử $x\in \{0,1,2,\dots ,9\}$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi ${\log }_{2}y\le 10\iff y\le 2^{10}=1024$. Vì $y$ nguyên dương nên $y\in \{1;2;\dots ;1024\}$. Có 1024 giá trị thỏa mãn. Chọn D.

Bất phương trình tương đương: $5^{y+2}+5(y+2)\le (x+2)+5{\log }_5(x+2)$. Đặt $t={\log }_5(x+2)\Rightarrow x+2=5^t$, ta được $5^{y+2}+5(y+2)\le 5^t+5t\iff y+2\le t={\log }_5(x+2)$. Do $x<2023\Rightarrow y+2<{\log }_{5}2025\approx 4.73\Rightarrow y\le 2$. Vì $y$ nguyên dương nên $y\in \{1;2\}$. Với $y=1\Rightarrow {\log }_5(x+2)\ge 3\iff x\ge 123$, suy ra $x\in \{123;124;\dots ;2022\}$ có 1900 giá trị. Với $y=2\Rightarrow {\log }_5(x+2)\ge 4\iff x\ge 623$, suy ra $x\in \{623;624;\dots ;2022\}$ có 1400 giá trị. Tổng cộng có $1900+1400=3300$ cặp số nguyên dương thỏa mãn. Chọn C.

**Chọn B**

Điều kiện: x; y ∈ ℝ, y > 0 .
Từ

giả

thiết.

x3 - 4 x 2 + x - 4
( x - 4 ) ( x 2 + 1)
x-4
<
0
⇔
<0⇔ x
<0
x
x
3 -y
3 -y
3 -y

⇔ ( x - 4) ( 3x - y ) < 0 (1)
+ TH 1: Nếu log 3 y > 4 ⇔ y > 81 thì bất phương trình (1 ) ⇔ 4 < x < log 3 y .
Để bất pt có nghiệm nguyên x và số nghiệm nguyên x không vượt quá 6

y ≤ 177147
log 3 y ≤ 11
⇔
⇔ 243 < y ≤ 177147 ⇒có 176904 số nguyên y .
⇔
y > 243
log 3 y > 5
+ TH 2: Nếu log 3 y < 4 ⇔ y < 81 thì bất phương trình (1 ) ⇔ log 3 y < x < 4 .
Để bất pt có nghiệm nguyên x và số nghiệm nguyên x không vượt quá 6
log 3 y ≥ -3
1
⇔
⇔
≤ y < 27 ⇒có 26 số nguyên y .
27
log 3 y < 3

Vậy ta có 176904 + 26 = 176930 số nguyên y cần tìm.

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}{x}^2+y>0\\ x+y>0\end{array}$.
Đặt $t={\log }_2(x+y)\iff x+y=2^t\iff y=2^t-x$.
Bất phương trình trở thành:
${\log }_3(x^2-x+2^t)\ge t\iff x^2-x+2^t\ge 3^t\iff x^2-x\ge 3^t-2^t$.

Xét hàm số $g(t)=3^t-2^t$ với $t\in \mathbb{R}$. Ta có $g^{\prime }(t)=3^t\ln 3-2^t\ln 2>0$ với mọi $t>0$.
Với mỗi số nguyên $x$, để có không quá $127$ số nguyên $y$ thỏa mãn điều kiện $x+y>0\iff y>-x$:
Điều kiện này tương đương với $t$ không vượt quá một giá trị chặn trên sao cho số lượng nghiệm $y$ thỏa mãn không vượt quá $127$.
Giải chi tiết cho thấy điều kiện đạt được khi $x^2-x\le 3^7-2^7=2187-128=2059$.
Giải bất phương trình $x^2-x-2059\le 0$ ta được $-44.89\le x\le 45.89$.
Do $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{-44;-43;\dots ;45\}$.
Số phần tử là: $45-(-44)+1=90$ số nguyên $x$.

Điều kiện $x\ge 1$. Ta có bất phương trình tương đương: $2{\log }_{3}x+m\sqrt{3{\log }_{3}x}+m+1\le 0$.
Đặt $t=\sqrt{{\log }_{3}x}\ge 0$, phương trình trở thành $2t^2 + m\sqrt

Hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ và đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó bất phương trình tương đương: $4^x-mx+37m\ge -(x-m-37)2^x\iff (m-2^x)(-x+37-2^x)\ge 0$.
Nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m=37\in (30;50)$. Chọn C.

Điều kiện: $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast },x,y\le 2023$ và $\frac{2x-1}{x-4}>0,\frac{2y}{y+2}>0\iff x>4,y>0$ (do $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

Bất phương trình tương đương với:

$(x-4)(y-2){\log }_2\left(\frac{x+3}{x-4}+1\right)+(x+3)(y+2){\log }_3\left(\frac{y-2}{y+2}+1\right)\le 0$ $(\ast )$.

- Với $y=1$: $(\ast )$ trở thành $-(x-4){\log }_2\left(\frac{x+3}{x-4}+1\right)+3(x+3){\log }_3\frac{2}{3}\le 0$, luôn đúng với mọi $x\in \{5;6;\dots ;2023\}$ ($2019$ cặp).
- Với $y=2$: $(\ast )$ trở thành $0\le 0$, luôn đúng với mọi $x\in \{5;6;\dots ;2023\}$ ($2019$ cặp).
- Với $y>2,x>4$: vế trái của $(\ast )$ dương nên $(\ast )$ vô nghiệm.

Vậy có tất cả $2019+2019=4038$ cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.