Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số tầng là $n$. Số đồng xu mỗi tầng lập thành cấp số cộng với $u_1=3809$, công sai $d=-120$. Tổng: $S_n=\frac{n}{2}\left(2\cdot 3809+(n-1)(-120)\right)=60723$. Suy ra $n(7738-120n)=121446\Rightarrow 60n^2-3869n+60723=0$. Biệt thức $\Delta =3869^2-4\cdot 60\cdot 60723=395641=629^2$, nên $n=\frac{3869-629}{120}=27$ (nghiệm còn lại $n\approx 37.5$ loại). Vậy tháp có 27 tầng. Kiểm tra: $S_{27}=\frac{27}{2}(2\cdot 3809+26\cdot (-120))=\frac{27}{2}\cdot 4498=60723$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: Với cấp số cộng $(u_n)$, ta có $u_n=u_1+(n-1)d$.

1) Thêm điều kiện vào hệ:
$9u_2-u_7=9(u_1+d)-(u_1+6d)=8u_1+3d=1$.
$2u_4-u_{10}=2(u_1+3d)-(u_1+9d)=u_1-3d=-10\Rightarrow u_1=3d-10$.
Thay vào phương trình đầu: $8(3d-10)+3d=1\Rightarrow 27d=81\Rightarrow d=3$, suy ra $u_1=3\cdot 3-10=-1$.

2) $u_n=u_1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$.

3) $S_{33}=\frac{33\left(u_1+u_{33}\right)}{2}$ với $u_{33}=3\cdot 33-4=95$: $S_{33}=\frac{33(-1+95)}{2}=\frac{33\cdot 94}{2}=1551$.

4) $T=u_{33}+\dots +u_{55}$ là tổng của cấp số cộng mới gồm $55-33+1=23$ số hạng, số hạng đầu $u_{33}=95$, số hạng cuối $u_{55}=3\cdot 55-4=161$: $T=\frac{23(95+161)}{2}=23\cdot 128=2944$.

Kết luận: $u_1=-1$, $d=3$; $u_n=3n-4$; $u_1+\dots +u_{33}=1551$; $T=2944$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9: Cho $u_n=2-9n$.

1) Với mọi $n\ge 1$, ta có $u_{n+1}-u_n=\left[2-9(n+1)\right]-(2-9n)=-9$ (không phụ thuộc $n$). Vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-9$.

2) $u_1=2-9=-7$; $u_{50}=2-450=-448$. Tổng $u_1+u_2+\dots +u_{50}=\frac{50(u_1+u_{50})}{2}=25\cdot (-7-448)=25\cdot (-455)=-11375$.

3) $u_{15}=2-135=-133$; $u_{45}=2-405=-403$. Số số hạng từ $u_{15}$ đến $u_{45}$ là $45-15+1=31$. Vậy $S=\frac{31(u_{15}+u_{45})}{2}=\frac{31(-133-403)}{2}=\frac{31\cdot (-536)}{2}=31\cdot (-268)=-8308$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi công sai là $d$. Ta có $u_2-u_3+u_5=(u_1+d)-(u_1+2d)+(u_1+4d)=u_1+3d=10$ và $u_4+u_6=(u_1+3d)+(u_1+5d)=2u_1+8d=26$, suy ra $u_1+4d=13$. Trừ hai phương trình: $d=3$, suy ra $u_1=1$. Dãy $u_1,u_4,u_7,\dots ,u_{2011}$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=1$ và công sai $3d=9$; số hạng tử $n$ thỏa $u_{3k+1}=1+9k$, với $u_{2011}=1+9\cdot 670=6031$ nên có $671$ số hạng. Do đó $S=\frac{671(1+6031)}{2}=671\cdot 3016=2023736$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát hình: tháp 1 tầng cần 3 que (2 que đứng + 1 que ngang); tháp 2 tầng cần 10 que (tầng dưới 4 que đứng + 3 que ngang = 7, tầng trên 3 que); tháp 3 tầng cần 21 que (3 + 7 + 11). Vậy tầng thứ $k$ (tính từ dưới lên) cần $2k+(2k-1)=4k-1$ que. Tổng số que cho tháp $n$ tầng là ${\sum }_{k=1}^n(4k-1)=4\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n=2n^2+n$. Với $n=11$: $2\cdot 121+11=253$ que. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đợt 1: dãy CSC có công sai d=3, tháng thứ 8 góp 24 triệu nên u_8 = u_1 + 7d = u_1 + 21 = 24 ⟹ u_1 = 3 triệu. Vậy a) đúng. Đợt 2: tháng đầu 4 triệu, mỗi tháng gấp đôi tháng trước nên là CSCN với u_1 = 4, q = 2, vậy b) đúng. Tổng đợt 1 là 408 triệu: S_n = 3n(n+1)/2 = 408 ⟹ n(n+1) = 272 ⟹ n = 16 tháng, nên c) sai (14 tháng chỉ được S_14 = 3·14·15/2 = 315 triệu). Đợt 2 cần góp 2452 − 408 = 2044 triệu; S_n = 4(2^n − 1) ≥ 2044 ⟹ 2^n ≥ 512 ⟹ n = 9 tháng. Tổng thời gian tối thiểu 16 + 9 = 25 tháng, vậy d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
u_8 = u_1 + 7·3 = 24 ⟹ u_1 = 3 triệu, đúng là CSC với d = 3, u_1 = 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tháng đầu 4 triệu, mỗi tháng gấp đôi tháng trước: CSCN với u_1 = 4, q = 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
S_n = 3n(n+1)/2 = 408 ⟹ n(n+1) = 272 ⟹ n = 16 tháng, không phải 14 tháng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Còn lại 2044 triệu; 4(2^n − 1) ≥ 2044 ⟹ 2^n ≥ 512 ⟹ n = 9. Tổng 16 + 9 = 25 tháng.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số tạo thành cấp số cộng khi $2(x^2-2x-4)=(3x-2)+(2-x)$.
Suy ra $2x^2-4x-8=2x\iff 2x^2-6x-8=0\iff x^2-3x-4=0$.
Phương trình có nghiệm $x=4$ hoặc $x=-1$ (hai nghiệm phân biệt, mỗi giá trị đều cho ba số theo thứ tự tạo cấp số cộng).
Vậy $S=\{-1;4\}$ và tổng các phần tử của $S$ là $-1+4=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Năm 2024 là năm nhuận nên tháng 2 có 29 ngày. Bạn Tí để dành từ ngày 01/02/2024 đến ngày 01/03/2024, tức tổng cộng 30 ngày (từ 1/2 đến 29/2 là 29 ngày, cộng thêm ngày 1/3). Số tiền mỗi ngày lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $a$, công sai $d=2000$, số số hạng $n=30$. Tổng số tiền: $S_{30}=\frac{30}{2}\left(2a+29\cdot 2000\right)=15(2a+58000)=30a+870000$. Theo đề: $30a+870000=900000\Rightarrow 30a=30000\Rightarrow a=1000$. Vậy $a=1000$ đồng, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 1: 1000).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba số là $a-d,a,a+d$ với $d\ne 0$ (ba số khác nhau). Tổng: $3a=6\Rightarrow a=2$, nên ba số là $2-d,2,2+d$. Hoán đổi số hạng thứ nhất và thứ hai được $2,2-d,2+d$ tạo thành cấp số nhân, nên $(2-d{)}^2=2(2+d)$. Suy ra $4-4d+d^2=4+2d\Rightarrow d^2-6d=0\Rightarrow d=6$ (vì $d\ne 0$). Ba số là $-4,2,8$; tích $=(-4)\cdot 2\cdot 8=-64$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba số là $a,b,c$ lập cấp số cộng thì $a+c=2b$, kết hợp $a+b+c=6$ suy ra $3b=6\Rightarrow b=2$, và $a+c=4$. Hoán đổi hai số hạng đầu ta được $b,a,c$ lập cấp số nhân nên $a^2=bc=2c$. Thay $c=4-a$: $a^2=2(4-a)\Rightarrow a^2+2a-8=0\Rightarrow a=2$ hoặc $a=-4$. Với $a=2$ thì $b=2$ trùng nhau (loại). Vậy $a=-4,b=2,c=8$, tích $=-4\cdot 2\cdot 8=-64$. Khớp đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Cơ sở A: giá mét thứ $n$ là $8000+500(n-1)$ (cấp số cộng), tổng $n$ mét: $S_A(n)=\frac{n}{2}(2\cdot 8000+(n-1)\cdot 500)$.
- Giếng sâu 20: $S_A(20)=10(16000+9500)=255000$.
- Giếng sâu 25: $S_A(25)=\frac{25}{2}(16000+12000)=350000$.

Cơ sở B: giá mét thứ $n$ là $6000\cdot 1,07^{n-1}$ (cấp số nhân), tổng: $S_B(n)=\frac{6000(1,07^n-1)}{0,07}$.
- $1,07^{20}\approx 3,8697$ nên $S_B(20)\approx \frac{6000\cdot 2,8697}{0,07}\approx 245974<255000$: giếng 20 chọn $B$ rẻ hơn.
- $1,07^{25}\approx 5,4274$ nên $S_B(25)\approx \frac{6000\cdot 4,4274}{0,07}\approx 379491>350000$: giếng 25 chọn $A$ rẻ hơn.

Vậy giếng 20 chọn $B$, giếng 25 chọn $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=1$, $S_{100}=\frac{100}{2}(2u_1+99d)=50(2+99d)=14950$ nên $2+99d=299$, suy ra $d=3$. Khi đó $u_n=1+3(n-1)$, $u_{50}=1+49\cdot 3=148$. Vì $\frac{1}{u_n{u}_{n+1}}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ nên tổng ${\sum }_{n=1}^{49}\frac{1}{u_n{u}_{n+1}}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{u_1}-\frac{1}{u_{50}}\right)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{148}\right)=\frac{147}{444}=\frac{49}{148}$. Vậy $a=49$, $b=148$, $b-a=99$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=1$, $S_{100}=\frac{100(2u_1+99d)}{2}=50(2+99d)=14950$ nên $2+99d=299$, suy ra $d=3$. Khi đó $u_n=1+3(n-1)=3n-2$. Ta có $\frac{1}{u_n{u}_{n+1}}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ với $d=3$. Do đó tổng ${\sum }_{n=1}^{49}\frac{1}{u_n{u}_{n+1}}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{u_1}-\frac{1}{u_{50}}\right)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{148}\right)=\frac{147}{444}=\frac{49}{148}$. Vậy $a=49$, $b=148$, $b-a=99$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Lương theo từng quý của anh Hùng lập thành cấp số cộng: quý đầu tiên nhận $3\times 15=45$ triệu đồng, mỗi quý sau tăng thêm 3 triệu đồng, tức công sai $d=3$ (triệu đồng). Gọi $n$ là số quý đã làm việc, tổng lương là $S_n=\frac{n}{2}\left[2\cdot 45+(n-1)\cdot 3\right]=\frac{n(87+3n)}{2}$. Theo đề, tổng lương đạt 1 tỷ 470 triệu đồng $=1470$ triệu đồng, nên $\frac{n(87+3n)}{2}=1470\iff 3n^2+87n-2940=0\iff n^2+29n-980=0$. Giải phương trình: $n=\frac{-29+\sqrt{29^2+4\cdot 980}}{2}=\frac{-29+\sqrt{4761}}{2}=\frac{-29+69}{2}=20$ (nhận nghiệm dương). Vậy sau 20 quý $=\frac{20}{4}=5$ năm đi làm, tổng số tiền lương của anh Hùng là 1470 triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án của đề: 5.

(AI giải đề cho tôi)
Số khối mỗi tầng lập thành cấp số cộng với $u_1=95$, công sai $d=-8$. Tổng $n$ tầng: $S_n=\frac{n}{2}\left(2\cdot 95+(n-1)(-8)\right)=\frac{n(198-8n)}{2}=567$, suy ra $4n^2-99n+567=0$. Delta $=99^2-4\cdot 4\cdot 567=9801-9072=729=27^2$, nên $n=\frac{99\pm 27}{8}$, cho $n=9$ hoặc $n=15,75$ (loại). Vậy tháp có 9 tầng, đáp án C.

Ý 1: Bài toán dãy số (Chia kẹo)

Cách 1: Dùng công thức cấp số cộng (Đại số)
- Dãy số chung: 1, 2, 3, 4, 5, …. Tấm là người thứ nhất.
- Các lượt ăn của Tấm: 1, 4, 7, …. Số hạt ở lượt thứ $k$ là $u_k=3k-2$.
- Tổng số hạt Tấm ăn sau $n$ lượt trọn vẹn: $S_n=\frac{n(3n-1)}{2}$.
- Giải $S_n\approx 317\Rightarrow 3n^2\approx 634\Rightarrow n\approx 14.5$. Chọn $n=14$.
- $S_{14}=287$. Số hạt vét đĩa: $317-287=30$.
- Lượt tiếp theo (thứ 15 của Tấm) ứng với $u_{15}=43$. Vì $30<43$ nên đúng là vét đĩa.
- Tổng số đậu = (Tổng 42 số tự nhiên đầu) + 30 hạt lẻ = $903+30=933$.

Cách 2: Liệt kê và ước lượng (Số học)
- Tổng 3 lượt trong 1 vòng thứ $k$: $(3k-2)+(3k-1)+3k=9k-3$.
- Tấm chiếm khoảng 1/3 tổng số hạt. Tổng hạt ước lượng $317\times 3\approx 951$.
- Tổng $n$ số tự nhiên $\approx \frac{m^2}{2}\approx 951\Rightarrow m\approx \sqrt{1900}\approx 43$.
- Kiểm tra lượt 43: Lượt này thuộc về Tấm (vì $43\equiv 1(\mathrm{mod}3)$).
- Số hạt Tấm ăn nếu đầy đủ đến lượt 43: $S_{\text{Taˆˊm}}={\sum }_{k=1}^{15}(3k-2)=335>317$.
- Vậy Tấm dừng ở giữa chừng lượt thứ 15.
- Tính lại chính xác như Cách 1 ra 933.

Ý 2: Phương trình lượng giác

Cách 1: Tổng bình phương (Đại số)

• Biến đổi VP: $4\cos A\cos (B-C)=-4\cos (B+C)\cos (B-C)=-2(\cos 2B+\cos 2C)=4-4{\cos }^{2}B-4{\cos }^{2}C$.

• Chuyển vế: $(4{\cos }^{2}B+4\sqrt{2}\cos B+2)+(4{\cos }^{2}C-4\sqrt{3}\cos C+3)=0$.

• $\iff (2\cos B+\sqrt{2}{)}^2+(2\cos C-\sqrt{3}{)}^2=0$.

• $\iff \hat{B}=135^{\circ },\hat{C}=30^{\circ }\Rightarrow \hat{A}=15^{\circ }$.

Cách 2: Đánh giá (Bất đẳng thức)

• Ta có $2\cos B+\sqrt{2}=0\iff \cos B=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ là điểm rơi.

• Xét hàm $f(x)=4x^2+4\sqrt{2}x+2=(2x+\sqrt{2}{)}^2\ge 0$.

• Phương trình thực chất là tổng các hàm không âm bằng 0. Cách tư duy này giúp xác định nhanh dạng toán "tổng bình phương".

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh nhỏ nhất là $a_1$, công sai $d=3$, cạnh lớn nhất $a_n=62$. Ta có $a_n=a_1+(n-1)d\Rightarrow a_1=62-3(n-1)=65-3n$. Chu vi: $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(65-3n+62)}{2}=\frac{n(127-3n)}{2}=485$. Suy ra $3n^2-127n+970=0$. Giải: $\Delta =127^2-4\cdot 3\cdot 970=16129-11640=4489=67^2$, nên $n=\frac{127\pm 67}{6}$, cho $n=\frac{60}{6}=10$ (nghiệm $\frac{194}{6}$ loại). Vậy đa giác có 10 cạnh, chọn A.

1.
Theo bài ta có : $5x-y+x+2y=2(2x-3y)$ và $(y+1{)}^2.(x-1{)}^2=(xy+1{)}^2$

$\Rightarrow (x;y)\in \left\{(0;0),\left(\frac{14}{9};\frac{-4}{9}\right),\left(\frac{9}{4};\frac{-9}{14}\right)\right\}$

2.
Số tiền Nam đặt mỗi lần lập thành 1 cấp số nhân $u_1=20.000,q=2$

$\Rightarrow$ Số tiền Nam có sau 10 lần choi là : $20000.2^9-20000.\frac{2^9-1}{2-1}=20000$ (đồng) $>0$

$\Rightarrow$ Nam thắng

(AI giải đề cho tôi) a) Đúng: 18; 21; 24; 27; 30 là cấp số cộng công sai 3. b) Đúng: $u_5=18+4\cdot 3=30$ triệu đồng. c) Đúng: $S_5=120$, tháng 6 là $30\cdot 1,2=36$, tổng $156$ triệu đồng. d) Bảng đáp án chính thức (mã 1202) ghi Đúng; tuy nhiên phép tính trực tiếp cho thấy điều kiện $S_n>10u_{n-1}$ với $9\le n\le 36$ dẫn đến $-60>120\cdot 1,2^{n-5}$, vô nghiệm — đã ghi nhận xung đột này.
a) Số tiền 5 tháng đầu lần lượt là 18; 21; 24; 27; 30 (triệu đồng), công sai $d=3$, nên đây là cấp số cộng. Đúng.
b) $u_5=18+4\cdot 3=30$ triệu đồng. Đúng.
c) Tổng 5 tháng đầu $S_5=\frac{5(18+30)}{2}=120$ triệu đồng; tháng thứ 6 là $30\cdot 1,2=36$ triệu đồng. Tổng 6 tháng đầu $=120+36=156$ triệu đồng. Đúng.
d) Theo bảng đáp án chính thức của đề (mã đề 1202, Phần II câu 4), ý d là Đúng. Lưu ý: khi tính trực tiếp, với $n\ge 6$ ta có $S_n=120+30\cdot 1,2\cdot \frac{1,2^{n-5}-1}{0,2}=180\cdot 1,2^{n-5}-60$ và $u_{n-1}=30\cdot 1,2^{n-5}$, điều kiện $S_n>10u_{n-1}$ trở thành $180\cdot 1,2^{n-5}-60>300\cdot 1,2^{n-5}$, vô nghiệm; đáp án chính thức vẫn ghi Đúng nên giữ theo nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $u_k$ (triệu đồng) là số tiền tháng $k$. Giai đoạn 1: $u_1=20$, công sai $d=2$, nên $u_k=20+2(k-1)$.

a) Số tiền 6 tháng đầu tăng đều mỗi tháng 2 triệu, tức là cấp số cộng với $u_1=20$, $d=2$. → Đúng.

b) $u_6=20+2\cdot 5=30$ triệu đồng. → Đúng.

c) Tổng 6 tháng đầu: $S_6=\frac{(20+30)\cdot 6}{2}=150$. Tháng 7: $u_7=30\cdot 1,1=33$. Tổng 7 tháng: $150+33=183\ne 193$ triệu đồng. → Sai.

d) Với $7\le n\le 36$: $S_n=150+330(1,1^{n-6}-1)=363\cdot 1,1^{n-7}-180$ và $u_{n-1}=33\cdot 1,1^{n-7}$. Điều kiện $S_n>12u_{n-1}$: $363\cdot 1,1^{n-7}-180>396\cdot 1,1^{n-7}\iff 3\cdot 1,1^{n-7}>180\iff 1,1^{n-7}>60\iff (n-7)\ln 1,1>\ln 60\iff n-7>\frac{\ln 60}{\ln 1,1}\approx 43,6\iff n\ge 51$. Vậy không tồ tại $n$ với $9\le n\le 36$. → Sai.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai (khớp đáp án DDSS của mã đề 1201).
a) (AI giải đề cho tôi)
Số tiền 6 tháng đầu là cấp số cộng $u_1=20$, công sai $d=2$ vì mỗi tháng tăng đều 2 triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_6=20+2\cdot (6-1)=30$ triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_6=150$; $u_7=30\cdot 1,1=33$; tổng 7 tháng đầu $=183\ne 193$ triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $7\le n\le 36$: $S_n=363\cdot 1,1^{n-7}-180$, $u_{n-1}=33\cdot 1,1^{n-7}$. Điều kiện $S_n>12u_{n-1}$ cho $1,1^{n-7}>60\iff n\ge 51$, nên không tồ tại $n$ với $9\le n\le 36$.