Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Bốn số $3;x;11;y$ lập thành cấp số cộng với công sai $d$. Ta có $3+2d=11\Rightarrow d=4$. Suy ra $x=3+4=7$, $y=11+4=15$. Khi đó $3x+2y=3\cdot 7+2\cdot 15=21+30=51$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Công sai $d=u_2-u_1=-2-1=-3$. Số hạng thứ 5: $u_5=u_1+4d=1+4(-3)=-11$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Lương theo từng quý của anh Hùng lập thành cấp số cộng: quý đầu tiên nhận $3\times 15=45$ triệu đồng, mỗi quý sau tăng thêm 3 triệu đồng, tức công sai $d=3$ (triệu đồng). Gọi $n$ là số quý đã làm việc, tổng lương là $S_n=\frac{n}{2}\left[2\cdot 45+(n-1)\cdot 3\right]=\frac{n(87+3n)}{2}$. Theo đề, tổng lương đạt 1 tỷ 470 triệu đồng $=1470$ triệu đồng, nên $\frac{n(87+3n)}{2}=1470\iff 3n^2+87n-2940=0\iff n^2+29n-980=0$. Giải phương trình: $n=\frac{-29+\sqrt{29^2+4\cdot 980}}{2}=\frac{-29+\sqrt{4761}}{2}=\frac{-29+69}{2}=20$ (nhận nghiệm dương). Vậy sau 20 quý $=\frac{20}{4}=5$ năm đi làm, tổng số tiền lương của anh Hùng là 1470 triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án của đề: 5.

(AI giải đề cho tôi)
Công sai của cấp số cộng là $d=u_3-u_2=-2-1=-3$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án trong hướng dẫn chấm.

(AI giải đề cho tôi)
Số chậu mỗi hàng lập thành cấp số cộng với $u_1=30$, công sai $d=2$. Tổng $n$ hàng đầu: $S_n=\frac{n[2\cdot 30+(n-1)\cdot 2]}{2}=n(29+n)$. Theo đề $S_n=440$ nên $n^2+29n-440=0$. Giải được $n=\frac{-29+\sqrt{841+1760}}{2}=\frac{-29+51}{2}=11$ (nhận nghiệm dương). Vậy xếp được 11 hàng, khớp đáp án nguồn (Câu 16: C).

(AI giải đề cho tôi)
Số khối mỗi tầng lập thành cấp số cộng với $u_1=95$, công sai $d=-8$. Tổng $n$ tầng: $S_n=\frac{n}{2}\left(2\cdot 95+(n-1)(-8)\right)=\frac{n(198-8n)}{2}=567$, suy ra $4n^2-99n+567=0$. Delta $=99^2-4\cdot 4\cdot 567=9801-9072=729=27^2$, nên $n=\frac{99\pm 27}{8}$, cho $n=9$ hoặc $n=15,75$ (loại). Vậy tháp có 9 tầng, đáp án C.

Ý 1: Bài toán dãy số (Chia kẹo)

Cách 1: Dùng công thức cấp số cộng (Đại số)
- Dãy số chung: 1, 2, 3, 4, 5, …. Tấm là người thứ nhất.
- Các lượt ăn của Tấm: 1, 4, 7, …. Số hạt ở lượt thứ $k$ là $u_k=3k-2$.
- Tổng số hạt Tấm ăn sau $n$ lượt trọn vẹn: $S_n=\frac{n(3n-1)}{2}$.
- Giải $S_n\approx 317\Rightarrow 3n^2\approx 634\Rightarrow n\approx 14.5$. Chọn $n=14$.
- $S_{14}=287$. Số hạt vét đĩa: $317-287=30$.
- Lượt tiếp theo (thứ 15 của Tấm) ứng với $u_{15}=43$. Vì $30<43$ nên đúng là vét đĩa.
- Tổng số đậu = (Tổng 42 số tự nhiên đầu) + 30 hạt lẻ = $903+30=933$.

Cách 2: Liệt kê và ước lượng (Số học)
- Tổng 3 lượt trong 1 vòng thứ $k$: $(3k-2)+(3k-1)+3k=9k-3$.
- Tấm chiếm khoảng 1/3 tổng số hạt. Tổng hạt ước lượng $317\times 3\approx 951$.
- Tổng $n$ số tự nhiên $\approx \frac{m^2}{2}\approx 951\Rightarrow m\approx \sqrt{1900}\approx 43$.
- Kiểm tra lượt 43: Lượt này thuộc về Tấm (vì $43\equiv 1(\mathrm{mod}3)$).
- Số hạt Tấm ăn nếu đầy đủ đến lượt 43: $S_{\text{Taˆˊm}}={\sum }_{k=1}^{15}(3k-2)=335>317$.
- Vậy Tấm dừng ở giữa chừng lượt thứ 15.
- Tính lại chính xác như Cách 1 ra 933.

Ý 2: Phương trình lượng giác

Cách 1: Tổng bình phương (Đại số)

• Biến đổi VP: $4\cos A\cos (B-C)=-4\cos (B+C)\cos (B-C)=-2(\cos 2B+\cos 2C)=4-4{\cos }^{2}B-4{\cos }^{2}C$.

• Chuyển vế: $(4{\cos }^{2}B+4\sqrt{2}\cos B+2)+(4{\cos }^{2}C-4\sqrt{3}\cos C+3)=0$.

• $\iff (2\cos B+\sqrt{2}{)}^2+(2\cos C-\sqrt{3}{)}^2=0$.

• $\iff \hat{B}=135^{\circ },\hat{C}=30^{\circ }\Rightarrow \hat{A}=15^{\circ }$.

Cách 2: Đánh giá (Bất đẳng thức)

• Ta có $2\cos B+\sqrt{2}=0\iff \cos B=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ là điểm rơi.

• Xét hàm $f(x)=4x^2+4\sqrt{2}x+2=(2x+\sqrt{2}{)}^2\ge 0$.

• Phương trình thực chất là tổng các hàm không âm bằng 0. Cách tư duy này giúp xác định nhanh dạng toán "tổng bình phương".

(AI giải đề cho tôi)
Ba số 2; x; 6 lập thành cấp số cộng nên $2x=2+6=8$, suy ra $x=4$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (Mã đề 112, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ba số 2; x; 6 lập thành cấp số cộng nên $2x=2+6=8$, suy ra $x=4$. Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh nhỏ nhất là $a_1$, công sai $d=3$, cạnh lớn nhất $a_n=62$. Ta có $a_n=a_1+(n-1)d\Rightarrow a_1=62-3(n-1)=65-3n$. Chu vi: $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(65-3n+62)}{2}=\frac{n(127-3n)}{2}=485$. Suy ra $3n^2-127n+970=0$. Giải: $\Delta =127^2-4\cdot 3\cdot 970=16129-11640=4489=67^2$, nên $n=\frac{127\pm 67}{6}$, cho $n=\frac{60}{6}=10$ (nghiệm $\frac{194}{6}$ loại). Vậy đa giác có 10 cạnh, chọn A.

a) Tìm GTLN của $P=x-2y$.
Từ giả thiết: $5^{x^2-y+1}=\frac{2x+y}{(x+1{)}^2}\iff 5^{(x+1{)}^2}\cdot (x+1{)}^2=5^{2x+y}\cdot (2x+y)$.
Xét hàm số $f(t)=5^t\cdot t$ có đạo hàm luôn lớn hơn 0 với $t>0$, ta suy ra $(x+1{)}^2=2x+y\Rightarrow y=x^2+1$.
Thay vào biểu thức $P$:
$$P=x-2(x^2+1)=-2x^2+x-2$$
GTLN của tam thức bậc hai này đạt được tại $x=\frac{1}{4}$. Vậy $P_{max}=-2{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{1}{4}-2=-\frac{15}{8}$.

b) Dãy số.
Ta có $u_{n+2}-u_{n+1}=u_{n+1}-u_n+1\Rightarrow v_{n+1}=v_n+1$.
Vậy $(v_n)$ là cấp số cộng có $v_1=u_2-u_1=2$ và công sai $d=1$.
Tổng $n$ số hạng đầu của $(v_n)$: $S_n=\frac{n}{2}\left[2\cdot 2+(n-1)\cdot 1\right]=\frac{n(n+3)}{2}$.
Số hạng tổng quát $u_n$: $u_n=u_1+S_{n-1}=-1+\frac{(n-1)(n+2)}{2}=\frac{n^2+n-4}{2}$.

1.
Theo bài ta có : $5x-y+x+2y=2(2x-3y)$ và $(y+1{)}^2.(x-1{)}^2=(xy+1{)}^2$

$\Rightarrow (x;y)\in \left\{(0;0),\left(\frac{14}{9};\frac{-4}{9}\right),\left(\frac{9}{4};\frac{-9}{14}\right)\right\}$

2.
Số tiền Nam đặt mỗi lần lập thành 1 cấp số nhân $u_1=20.000,q=2$

$\Rightarrow$ Số tiền Nam có sau 10 lần choi là : $20000.2^9-20000.\frac{2^9-1}{2-1}=20000$ (đồng) $>0$

$\Rightarrow$ Nam thắng

(AI giải đề cho tôi)
Số khán giả theo từng hàng lập thành cấp số cộng với $u_1=20$, công sai $d=5$, số hàng $n=25$. Tổng số khán giả: $S_{25}=\frac{25}{2}\left(2\cdot 20+24\cdot 5\right)=\frac{25}{2}\cdot 160=2000$. Vậy hội trường đang có 2000 khán giả, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số lượt LIKE và SHARE mỗi giờ lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=75$, công sai $d=10$. Tổng sau 5 giờ: $S_5=\frac{5}{2}[2\cdot 75+4\cdot 10]=\frac{5}{2}\cdot 190=475$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=1$, $d=-\frac{1}{3}$. Số hạng thứ 4: $u_4=u_1+3d=1+3\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)=1-1=0$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Bốn số 2; 8; $x$; 20 lập thành cấp số cộng nên $8-2=x-8=20-x$, tức công sai $d=6$. Suy ra $x=8+6=14$ (kiểm tra: $20=14+6$ đúng). Vậy $x=14$, khớp đáp án A.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_{2024}=u_1+2023d=2+2023.4=8094$.

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế các dãy lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=15$, công sai $d=4$, số hạng $n=30$. Tổng số ghế: $$S_{30}=\frac{30}{2}\left[2\cdot 15+(30-1)\cdot 4\right]=15\left[30+116\right]=15\cdot 146=2190.$$ Vậy sân vận động có tất cả $2190$ ghế.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=5$, $d=-2$. Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_9=u_1+8d=5+8\cdot (-2)=5-16=-11$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số có $u_1=2$ và $u_{n+1}=u_n+3$ nên $(u_n)$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=2$ và công sai $d=3$. Do đó $u_{20}=u_1+19d=2+19\cdot 3=2+57=59$. Vậy $u_{20}=59$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 1202, câu 10: C).