Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-(m^2-3)=m^2-2m+1-m^2+3=4-2m$.
- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff 4-2m>0\iff m<2$. Khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$.
$|z_1-z_2|=2\sqrt{{\Delta }^{\prime }}=2\sqrt{4-2m}=2\sqrt{5}\iff 4-2m=5\iff m=-\frac{1}{2}$ (thỏa mãn $m<2$).
- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m>2$. Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1,z_2=(m-1)\pm i\sqrt{2m-4}$.
Khi đó $|z_1-z_2|=|2i\sqrt{2m-4}|=2\sqrt{2m-4}=2\sqrt{5}\iff 2m-4=5\iff m=\frac{9}{2}$ (thỏa mãn $m>2$).
Tập $S=\left\{-\frac{1}{2};\frac{9}{2}\right\}$. Tổng các phần tử của $S$ là $-\frac{1}{2}+\frac{9}{2}=4$. Chọn đáp án A.

Vì $\frac{3}{2}$ không nguyên nên hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $2x^2+mx+2>0,\forall x\in \mathbb{R}\iff \Delta =m^2-16<0\iff -4<m<4$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1;0;1;2;3\}$, có $7$ giá trị.

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn D**

Ta có   m 2  m  12 .
m  3
TH1:   0   . Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt. Khi đó
 m  4

z1  z2  2 z1  z2   z1  z2   2  z1  z2 
2 2

 z12  z22  2 z1 z2  2 z12  2 z22  4 z1 z2  2 z1 z2  6 z1 z2   z1  z2 
2

 2 m  12  6  m  12    2m   m  12  2m 2  3m  36
2

 3  3 33
m 
2m 2  3m  36  0  4
   3  3 33 m  4
   2m 2  2m  24  0   m  
  4  m  6.
  2m  4m  48  0
2
  m  4; m  3

  m  4; m  6

TH2:   0  4  m  3 . Phương trình đã cho có hai nghiệm phức z1  m  i  ,
z2  m  i  . Khi đó

z1  z2  2 z1  z2  2 m  i   2 2 i 

 m 2   m 2  m  12   2  m 2  m  12   2m 2  m  12  0
1  97
m .
4
Vậy có 2 giá trị nguyên m thỏa yêu cầu bài toán.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 4 (Phần III, câu 20) có đáp số là $0.42$.

Gọi $x$ là bán kính hình bán nguyệt ($x>0$), khi đó chiều rộng hình chữ nhật là $2x$. Gọi $h$ là chiều cao của hình chữ nhật ($h>0$).

Chu vi của cửa sổ là:
$P=2x+2h+\pi x=6⟹2h=6-(\pi +2)x⟹h=3-\left(1+\frac{\pi }{2}\right)x.$

Diện tích toàn bộ cửa sổ gồm diện tích hình chữ nhật $S_2=2xh$ và diện tích nửa hình tròn $S_1=\frac{1}{2}\pi x^2$:
$S=2xh+\frac{1}{2}\pi x^2=2x\left[3-\left(1+\frac{\pi }{2}\right)x\right]+\frac{1}{2}\pi x^2=6x-\left(2+\frac{\pi }{2}\right)x^2.$

Để diện tích cửa sổ không nhỏ hơn $1,5{\text{ m}}^2$:
$S\ge 1,5⟺\left(2+\frac{\pi }{2}\right)x^2-6x+1,5\le 0.$

Tam thức bậc hai $g(x)=\left(2+\frac{\pi }{2}\right)x^2-6x+1,5$ có biệt thức ${\Delta }^{\prime }=9-1,5\left(2+\frac{\pi }{2}\right)=6-\frac{3\pi }{4}>0$, nên có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.
Tập nghiệm của bất phương trình là $x\in [x_1;x_2]$.
Theo định lý Viète:
$x_1\cdot x_2=\frac{1,5}{2+\frac{\pi }{2}}=\frac{3}{4+\pi }\approx \frac{3}{7,14159}\approx 0,42007\approx 0,42.$

Đáp số: 0,42.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 15), Câu 3 (Phần III, câu 19) có đáp số là $40$.

Gọi $n$ là tổng số khách du lịch tham gia chuyến đi ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

Với $n>20$, số khách vượt quá 20 là $n-20$, giá vé cho mỗi người là:
$30-(n-20)=50-n\text{ (USD)}.$

Tổng doanh thu của chuyến đi là:
$R(n)=n(50-n)\text{ (USD)}.$

Để công ty không bị lỗ thì doanh thu phải không nhỏ hơn chi phí:
$n(50-n)\ge 400⟺-n^2+50n-400\ge 0⟺n^2-50n+400\le 0.$

Giải bất phương trình bậc hai: tam thức $n^2-50n+400$ có hai nghiệm là $n=10$ và $n=40$.

Do đó:
$10\le n\le 40.$

Vậy công ty nên giới hạn số lượng hành khách tối đa là $40$ khách để không bị lỗ.

Đáp số: 40.

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m-2{)}^2-(m^2-5)=9-4m\ne 0\iff m\ne \frac{9}{4}$.
- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m>\frac{9}{4}$. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1,z_2$ với $|z_1{|}^2=|z_2{|}^2=m^2-5$. Điều kiện $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2\le 8\iff 2(m^2-5)\le 8\iff m^2\le 9\iff -3\le m\le 3$. Kết hợp $m>\frac{9}{4}$ và $m\in \mathbb{Z}$ được $m=3$.
- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m<\frac{9}{4}$. Khi đó $z_1,z_2$ là hai nghiệm thực phân biệt nên $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-2z_1{z}_2=4(m-2{)}^2-2(m^2-5)=2m^2-16m+26\le 8\iff m^2-8m+9\le 0\iff 4-\sqrt{7}\le m\le 4+\sqrt{7}$. Kết hợp $m<\frac{9}{4}$ và $m\in \mathbb{Z}$ được $m=2$.
Vậy có $2$ giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{2;3\}$. Chọn D.

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(m^2+5)=2m-4$. Xét hai trường hợp: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m<2$, khi đó $|z_1|=|z_2|=\sqrt{m^2+5}=4\iff m^2=11\Rightarrow m=-\sqrt{11}$ (nhận); ${\Delta }^{\prime }\ge 0\iff m\ge 2$, vì $z_1{z}_2=m^2+5>0$ nên $z_1,z_2$ cùng dấu, $|z_1|+|z_2|=|z_1+z_2|=2|m+1|=8\Rightarrow m=3$ (nhận). Vậy có $2$ giá trị của $m$. (Nguồn: đề trang 5, bảng đáp án Mã đề [101] trang 7).

Phương trình $z^2+\sqrt{3}z+a^2-2a=0$ có $\Delta =3-4(a^2-2a)=-4a^2+8a+3$.

- Trường hợp 1: $\Delta \ge 0\iff \frac{2-\sqrt{7}}{2}\le a\le \frac{2+\sqrt{7}}{2}$. Khi đó $z_0\in \mathbb{R}$ nên $|z_0|=\sqrt{3}\iff z_0=\pm \sqrt{3}$.
+ Với $z_0=-\sqrt{3}$: thay vào phương trình được $3-3+a^2-2a=0\iff a=0$ hoặc $a=2$. Vì $a>0$ và thỏa điều kiện $\Delta \ge 0$ nên nhận $a=2$.
+ Với $z_0=\sqrt{3}$: thay vào phương trình được $a^2-2a+6=0$ (vô nghiệm).

- Trường hợp 2: $\Delta <0\iff a<\frac{2-\sqrt{7}}{2}$ hoặc $a>\frac{2+\sqrt{7}}{2}$. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_0,{\bar{z}}_0$ nên $|z_0{|}^2=z_0{\bar{z}}_0=a^2-2a$. Theo giả thiết $a^2-2a=3\iff a=-1$ hoặc $a=3$. Kết hợp $a>0$ và $\Delta <0$ ta nhận $a=3$.

Vậy có $2$ giá trị dương của $a$ thỏa mãn là $a=2$ và $a=3$.

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(m+7)=m^2+m-6$.
- Trường hợp 1: ${\Delta }^{\prime }>0\iff m>2$ hoặc $m<-3$.
Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$.
Vì $z_1\ne z_2$, ta có $|z_1+5|=|z_2+5|\iff z_1+5=-(z_2+5)\iff z_1+z_2=-10$.
Theo định lý Vi-et: $z_1+z_2=-2(m+1)=-10\iff m+1=5\iff m=4$ (thỏa mãn $m>2$).
- Trường hợp 2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff -3<m<2$.
Phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp $z_{1,2}=-(m+1)\pm i\sqrt{-{\Delta }^{\prime }}$.
Khi đó $z_1+5$ và $z_2+5$ là hai số phức liên hợp nên luôn có $|z_1+5|=|z_2+5|$ với mọi $m\in (-3;2)$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \{-2;-1;0;1\}$ (4 giá trị).
Tổng cộng có $1+4=5$ giá trị nguyên thỏa mãn: $m\in \{-2;-1;0;1;4\}$. Chọn A.

Chọn đáp án B
Ta có ${\Delta }^{\prime }=m^2-(2m^2-2m)=-m^2+2m=m(2-m)$.
- TH1: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$. Khi đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp $z_1,z_2=\overline{z_1}$.
Ta có $|z_1-2|=|\overline{z_1}-2|=|\overline{z_1-2}|$, luôn đúng với mọi $z_1$.
Do đó mọi giá trị $m$ trong trường hợp này đều thỏa mãn.
Với $m\in (-10;10)$, $m\in \mathbb{Z}$: $m\in \{-9;-8;\dots ;-1\}\cup \{3;4;\dots ;9\}$, gồm $9+7=16$ giá trị.
- TH2: ${\Delta }^{\prime }>0\iff 0<m<2$. Khi đó nghiệm thực $z_1,z_2$, $|z_1-2|=|z_2-2|\iff z_1+z_2=4\iff 2m=4\iff m=2$ (không thuộc khoảng $(0;2)$).
Vậy có tất cả 16 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101): Chọn B ($3$).

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)