Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

Để đa thức bậc 4 không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ thì mọi nghiệm thực phải là nghiệm bội chẵn. Do đã có nhân tử $(x-1)$, bắt buộc $x=1$ phải là nghiệm kép của đa thức, đồng thời các nhân tử còn lại phải không có nghiệm đơn. Khảo sát các trường hợp, tích $ab$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{1}{4}$. Chọn D.

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=0$ khi và chỉ khi $f(x)\ge f(0)=3,\forall x\in \mathbb{R}⟺a{x}^4+b{x}^3+x^2\ge 0,\forall x⟺a{x}^2+bx+1\ge 0,\forall x⟺\Delta =b^2-4a\le 0⟺a\ge \frac{b^2}{4}$. Khi đó $P=a+2b+1\ge \frac{b^2}{4}+2b+1=\frac{(b+4{)}^2}{4}-3\ge -3$. Dấu bằng xảy ra khi $b=-4$ và $a=4>0$. Vậy $\min P=-3$. Chọn D.

Chọn C.
Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
$x^2-2(2m-1)x+2m+11>0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Điều này tương đương với:
$\{\begin{array}{l}a=1>0\\ {\Delta }^{\prime }=(2m-1{)}^2-(2m+11)<0\end{array}⟺4m^2-4m+1-2m-11<0$
$⟺4m^2-6m-10<0⟺2m^2-3m-5<0⟺-1<m<\frac{5}{2}.$

Chọn A.
Bất phương trình thứ nhất: $x^2-2x-8\le 0⟺-2\le x\le 4$, tập nghiệm $S_1=[-2;4]$.
Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì bất phương trình $(m+3)x>2$ không có nghiệm nào thuộc $[-2;4]$.
- Với $m+3=0⟺m=-3$, ta có $0\cdot x>2$ (vô nghiệm), do đó hệ vô nghiệm (thỏa mãn $m=-3$).
- Với $m+3>0⟺m>-3$, ta có $x>\frac{2}{m+3}$. Để không có nghiệm trên $[-2;4]$ thì $\frac{2}{m+3}\ge 4⟺m+3\le \frac{1}{2}⟺m\le -\frac{5}{2}$. Kết hợp được $-3<m\le -\frac{5}{2}$.
- Với $m+3<0⟺m<-3$, ta có $x<\frac{2}{m+3}$. Để không có nghiệm trên $[-2;4]$ thì $\frac{2}{m+3}\le -2⟺\frac{1}{m+3}\le -1⟺m+3\ge -1⟺m\ge -4$. Kết hợp được $-4\le m<-3$.
Tổng hợp các trường hợp, ta được $m\in \left[-4;-\frac{5}{2}\right]$.

Chọn B.
Quan sát đồ thị $(P)$, phần đồ thị nằm phía trên trục hoành ứng với $y>0$ là các điểm có hoành độ $x<-1$ hoặc $x>3$.
Vậy để $y>0$ thì $x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.

Chọn D.
Áp dụng bất đẳng thức $|a|+|b|\ge |a+b|$, ta có:
$|x+1|+|x-3|=|x+1|+|3-x|\ge |x+1+3-x|=4.$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(x+1)(3-x)\ge 0\iff -1\le x\le 3$.
- Nếu $2m-1<4\iff m<\frac{5}{2}$, phương trình vô nghiệm.
- Nếu $2m-1=4\iff m=\frac{5}{2}$, phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn $-1\le x\le 3$ (nhiều hơn 2 nghiệm thực).
- Nếu $2m-1>4\iff m>\frac{5}{2}$, phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Do đó phương trình có nhiều hơn 2 nghiệm thực khi và chỉ khi $m=\frac{5}{2}=2,5$.
Giá trị $m=2,5\in (2;3)$.

Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $ac<0⟺1(m-2)<0⟺m<2$. Chọn C.

Xét dấu biểu thức: tử có nghiệm $x=0,x=1$, mẫu có nghiệm $x=-1$. Lập bảng xét dấu ta được nghiệm $x\in (-1;0]\cup [1;+\infty )$. Chọn A.

Chọn A.
Ta có:
$z_1\cdot z_2=[m+3i][2-(m+1)i]=2m-m(m+1)i+6i+3(m+1)=(5m+3)+(-m^2-m+6)i$.
Để $z_1\cdot z_2$ là số thực thì phần ảo bằng $0$:
$-m^2-m+6=0⟺m^2+m-6=0⟺[<table><tbody><tr><td>m=2</td></tr><tr><td>m=-3</td></tr></tbody></table>$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 1 chọn đáp án A.

Ta có $x^2+4=0⟺x^2=-4=(2i{)}^2⟺x=\pm 2i$.

Chọn đáp án A.

Chọn D.
Phương trình có ${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-17=-16=(4i{)}^2$.
Do đó hai nghiệm phức là $z_{1,2}=1\pm 4i$.
Nghiệm có phần ảo âm là $1-4i$.

Chọn B.
Đặt $t=x+\frac{1}{x}$. Với $x>0$, theo BĐT AM-GM ta có $t\ge 2$.
Theo đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Thái Nguyên (Mã đề 102), có $19$ giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-4$. Vì $z_1{z}_2=4>0$, phương trình không thể có hai nghiệm thực trái dấu, nên $|z_1|=|z_2|$ xảy ra khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phức liên hợp phân biệt, tức là ${\Delta }^{\prime }<0\iff (m-1{)}^2<4\iff -1<m<3$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0;1;2\}$, tổng các phần tử của $S$ bằng $0+1+2=3$.

Biệt thức của phương trình bậc hai: $\Delta =(-m{)}^2-4(m+8)=m^2-4m-32$.

**Trường hợp 1:** $\Delta >0\iff m^2-4m-32>0\iff [\begin{array}{rl}m& <-4\\ m& >8.\end{array}$
Khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt $z_1,z_2$.
Vì $z_1$ là nghiệm nên $z_1^2=m{z}_1-m-8$.
Suy ra:
$z_1^2+m{z}_2=m{z}_1-m-8+m{z}_2=m(z_1+z_2)-m-8.$
Theo định lý Vi-ét: $z_1+z_2=m$, nên $z_1^2+m{z}_2=m^2-m-8$.
Do $m$ là số nguyên nên $m^2-m-8\ne 0$.
Đẳng thức giả thiết trở thành:
$|z_1|\cdot |m^2-m-8|=(m^2-m-8)|z_2|.$
Điều này đòi hỏi:
$\{\begin{array}{l}{m}^2-m-8>0\\ |z_1|=|z_2|\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-m-8>0\\ z_1=-z_2\text{ (vıˋ }{z}_1\ne z_2\text{)}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-m-8>0\\ z_1+z_2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-m-8>0\\ m=0.\end{array}$
Tuy nhiên với $m=0$ thì $\Delta =-32<0$, mâu thuẫn với điều kiện $\Delta >0$. Vậy trường hợp này không có giá trị nguyên nào của $m$.

**Trường hợp 2:** $\Delta <0\iff -4<m<8$.
Khi đó phương trình có hai nghiệm phức liên hợp: $z_2=\overline{z_1}$.
Do đó $|z_1|=|z_2|>0$ (vì $z_1{z}_2=m+8>0$ khi $m\in (-4;8)$) và $z_1+z_2=m,z_1{z}_2=m+8$.
Ta có:
$z_1^2+m{z}_2=z_1^2+(z_1+z_2)z_2=z_1^2+z_1{z}_2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-z_1{z}_2=m^2-(m+8)=m^2-m-8.$
Do đó $|z_1^2+m{z}_2|=|m^2-m-8|$.
Thay vào phương trình giả thiết:
$|z_1|\cdot |m^2-m-8|=(m^2-m-8)|z_2|\iff |m^2-m-8|=m^2-m-8\iff m^2-m-8\ge 0.$
Giải bất phương trình $m^2-m-8\ge 0$:
$m\le \frac{1-\sqrt{33}}{2}\approx -2,37\text{hoặc}m\ge \frac{1+\sqrt{33}}{2}\approx 3,37.$
Kết hợp với điều kiện $m\in (-4;8)$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được:
$m\in \{-3;4;5;6;7\}.$
Vậy có đúng 5 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án A.

Hàm lợi nhuận (nghìn đồng) là $L(x)=F(x)-xG(x)=-0,03x^2+350x-50000$. Để lợi nhuận lớn hơn $100$ triệu đồng ($100000$ nghìn đồng), ta có $-0,03x^2+350x-50000>100000\iff -0,03x^2+350x-150000>0\iff 445,59<x<11221,08$. Kết hợp $x\in {\mathbb{N}}^{\ast },1\le x\le 5000$, giá trị nguyên nhỏ nhất của $x$ là $446$.

${\Delta }^{\prime }=(-3{)}^2-4(1+2m)=5-8m$.

+) Nếu ${\Delta }^{\prime }\ge 0⟺m\le \frac{5}{8}$, phương trình có $2$ nghiệm thực. Khi đó $|z|=2⟺z=\pm 2$.

Thế $z=2$ vào phương trình ta được: $16+12+1+2m=0⟺m=-\frac{29}{2}$ (nhận).

Thế $z=-2$ vào phương trình ta được: $16-12+1+2m=0⟺m=-\frac{5}{2}$ (nhận).

+) Nếu ${\Delta }^{\prime }<0⟺m>\frac{5}{8}$, phương trình có $2$ nghiệm phức $z_1,z_2\notin \mathbb{R}$ thỏa mãn $z_2={\bar{z}}_1,|z_1|=|z_2|=2$. Khi đó $z_1{z}_2=|z_1{|}^2⟹\frac{1+2m}{4}=2^2⟺m=\frac{15}{2}$ (nhận).

Ta có $T=-\frac{29}{2}-\frac{5}{2}+\frac{15}{2}=-\frac{19}{2}$.

Biệt thức ${\Delta }^{\prime }=(2m-3{)}^2-4m^2=4m^2-12m+9-4m^2=9-12m$.
- TH1: ${\Delta }^{\prime }\ge 0\iff m\le \frac{3}{4}$. Phương trình có hai nghiệm thực. $|z_0|=6\iff z_0=\pm 6$. Thay vào phương trình tìm được 2 giá trị $m$ thỏa mãn.
- TH2: ${\Delta }^{\prime }<0\iff m>\frac{3}{4}$. Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp. Ta có $|z_0{|}^2=z_1{z}_2=4m^2$. Do $|z_0|=6\Rightarrow 4m^2=36\Rightarrow m^2=9\Rightarrow m=3$ (nhận vì $3>3/4$).
Tổng cộng có 3 giá trị của $m$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn D.

Phương trình bậc hai có nghiệm phức với phần ảo khác 0 khi ${\Delta }^{\prime }=m^2-9<0\iff -3<m<3$. Khi đó hai nghiệm phức liên hợp là $z_1,z_2=m\pm i\sqrt{9-m^2}$, do đó $\overline{z_1}=z_2,\overline{z_2}=z_1$. Biểu thức: $z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}=z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-2z_1{z}_2=(2m{)}^2-2(9)=4m^2-18<16\iff 4m^2<34\iff m^2<\frac{17}{2}=8.5$. Kết hợp điều kiện $-3<m<3\Rightarrow m^2<9$, ta được $m^2\le 8$. Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-2,-1,0,1,2\}$. Tổng cộng có 5 giá trị nguyên. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn D.

**Chọn A**

Ta có $\Delta =(a-3{)}^2-4(a^2+a)=-3a^2-10a+9$.
- Trường hợp 1: $\Delta \ge 0$, phương trình có 2 nghiệm thực $z_{1,2}=\frac{a-3\pm \sqrt{\Delta }}{2}$.
Khi đó $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|\iff |a-3|=\sqrt{\Delta }\iff (a-3{)}^2=\Delta \iff 4a^2+4a=0\iff [<table><tbody><tr><td>a=0</td></tr><tr><td>a=-1</td></tr></tbody></table>$ (đều thỏa mãn $\Delta \ge 0$).
- Trường hợp 2: $\Delta <0$, phương trình có 2 nghiệm phức liên hợp $z_{1,2}=\frac{a-3\pm i\sqrt{-\Delta }}{2}$.
Khi đó $|z_1+z_2|=|z_1-z_2|\iff |a-3|=\sqrt{-\Delta }\iff (a-3{)}^2=-\Delta \iff a^2-6a+9=3a^2+10a-9\iff 2a^2+16a-18=0\iff [<table><tbody><tr><td>a=1</td></tr><tr><td>a=-9</td></tr></tbody></table>$ (đều thỏa mãn $\Delta <0$).
Vậy có tất cả $4$ giá trị nguyên của $a$ thỏa mãn.

Phương trình viết lại thành $25(z-3{)}^2=-m^4\iff z=3\pm \frac{m^2}{5}i$ ($m\ne 0$). Khi đó $|z_1-z_2|=\frac{2m^2}{5}=\frac{32}{5}\iff m^2=16\iff m=\pm 4$. Tích các phần tử của $S$ bằng $4\cdot (-4)=-16$.