Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: A) $u_n=2^n$ đơn điệu tăng và $u_n\to +\infty$, không bị chặn trên. B) $u_n=n^2$ tăng vô hạn, không bị chặn trên. C) $u_n=\frac{1}{n}$: với mọi $n$ ta có $0<\frac{1}{n}\le 1$, nên dãy bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 1 → dãy bị chặn. D) $u_n=\sqrt{n}$ tăng vô hạn, không bị chặn trên. Vậy chỉ dãy $u_n=\frac{1}{n}$ là dãy bị chặn, khớp đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 111, câu 12).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}$. Với $n\ge 1$ thì $0<\frac{1}{n+2}\le \frac{1}{3}$, nên $\frac{1}{2}\le u_n<1$. Do đó dãy vừa bị chặn dưới (bởi $\frac{1}{2}$) vừa bị chặn trên (bởi $1$), tức là dãy bị chặn. Đáp án D khớp với đáp án nguồn (mã đề 1131, câu 17: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=n-\sin 3n\ge n-1\to +\infty$ nên không bị chặn. B) $u_n=n+\frac{1}{n}\to +\infty$ nên không bị chặn. C) $0<u_n=\frac{1}{n(n+1)}\le \frac{1}{2}$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy bị chặn (chặn dưới 0, chặn trên 1/2). D) $u_n=n\sin (3n-1)$ không bị chặn vì $\sin (3n-1)$ có thể gần 1 với $n$ lớn tùy ý (dãy $\{3n-1\}$ phân bố dày đặc mod $2\pi$), nên $|u_n|$ đạt giá trị tùy ý lớn. Vậy dãy bị chặn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy:
- A: $u_n=n-\sin 3n\ge n-1\to +\infty$, không bị chặn.
- B: $u_n=n+\frac{1}{n}\to +\infty$, không bị chặn.
- C: $0<u_n=\frac{1}{n(n+1)}\le \frac{1}{2}$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy bị chặn (bị chặn dưới bởi 0 và trên bởi $\frac{1}{2}$).
- D: $u_n=n\sin (3n-1)$ không bị chặn (ví dụ chọn $n$ sao cho $\sin (3n-1)$ gần 1 thì $u_n$ lớn tùy ý; nói chung $n\cdot \sin (3n-1)$ không có chặn trên do $\sin (3n-1)$ nhận giá trị dương gần 1 vô hạn lần).
Vậy dãy bị chặn là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=n-\sin 3n\ge n-1\to +\infty$, không bị chặn. B) $u_n=\frac{n^2+1}{n}=n+\frac{1}{n}\to +\infty$, không bị chặn. C) $0<u_n=\frac{1}{n(n+1)}\le \frac{1}{2}$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy bị chặn (chặn dưới $0$, chặn trên $\frac{1}{2}$). D) $u_n=n\sin (3n-1)$ không bị chặn vì $|u_n|$ có thể đạt giá trị cỡ $n$ (ví dụ chọn $n$ sao cho $\sin (3n-1)$ gần $\pm 1$), do đó vô cực. Vậy dãy bị chặn là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=n-\sin 3n\ge n-1\to +\infty$, không bị chặn. B) $u_n=n+\frac{1}{n}\to +\infty$, không bị chặn. C) $0<u_n=\frac{1}{n(n+1)}\le \frac{1}{2}$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy bị chặn (chặn dưới 0, chặn trên $\frac{1}{2}$). D) $u_n=n\sin (3n-1)$ không bị chặn vì $|\sin (3n-1)|$ có thể gần 1 và nhân với $n\to \infty$ (ví dụ các $n$ làm $3n-1$ gần $\frac{\pi }{2}+k\pi$), nói chung dãy không bị chặn. Vậy dãy bị chặn là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $u_n=\frac{1}{n+2}$ với $n\ge 1$. Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+2}=\frac{-1}{(n+2)(n+3)}<0$ nên dãy giảm. Hơn nữa $0<u_n\le \frac{1}{3}$ nên dãy bị chặn dưới bởi $0$ và bị chặn trên bởi $\frac{1}{3}$, tức dãy bị chặn. Vậy dãy số giảm và bị chặn, đáp án C. Khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 2101: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) $u_2=4u_1+9=4\cdot 2+9=17$ → Đúng. b) $u_{n+1}-u_n=3u_n+9>0$ vì $u_n>0$, dãy tăng nên không phải dãy giảm → Sai. c) Đặt $v_n=u_n+3$ thì $v_{n+1}=4v_n$, $v_1=5$, nên $u_n=5\cdot 4^{n-1}-3$. Khi đó $S_{10}=5\cdot \frac{4^{10}-1}{4-1}-3\cdot 10=5\cdot \frac{1048575}{3}-30=1747625-30=1747595$ → Đúng. d) Công thức đúng là $u_n=5\cdot 4^{n-1}-3$; với $u_n=4\cdot 3^{n-1}-2$ ta có $u_2=10\ne 17$ → Sai. Khớp đáp án nguồn DSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=4u_1+9=4\cdot 2+9=17$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=3u_n+9>0$ nên dãy tăng, không phải dãy giảm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=5\cdot 4^{n-1}-3$, $S_{10}=5\cdot \frac{4^{10}-1}{3}-30=1747595$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $u_n=5\cdot 4^{n-1}-3$; công thức đề cho cho $u_2=10\ne 17$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_1=1$, $u_{n+1}=3u_n+4$. Tính trực tiếp: $u_2=3\cdot 1+4=7$, $u_3=3\cdot 7+4=25$, $u_4=3\cdot 25+4=79$.
a) $u_3=25$ → Đúng.
b) Với $a=-2$, $v_n=u_n-2$: $v_{n+1}=u_{n+1}-2=3u_n+2=3(v_n+2)+2=3v_n+8\ne q{v}_n$, nên $(v_n)$ không là cấp số nhân (để là CSN cần $a=-\frac{4}{1-3}=2$) → Sai.
c) Với $u_n=3^n-2$: $u_1=3-2=1$ thỏa; $3u_n+4=3(3^n-2)+4=3^{n+1}-2=u_{n+1}$ → Đúng.
d) $u_4=79\ne 77$ → Sai.
Kết quả Đúng-Sai-Đúng-Sai trùng với đáp án chính thức (Mã đề 122, Phần II, Câu 1: ĐSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=3\cdot 1+4=7$, $u_3=3\cdot 7+4=25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=-2$: $v_{n+1}=3v_n+8$, không có dạng $q{v}_n$ nên không là cấp số nhân (cần $a=2$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=3^1-2=1$ và $3u_n+4=3^{n+1}-2=u_{n+1}$, thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_4=3\cdot 25+4=79\ne 77$.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $u_n=n^2$ và $u_n=3^n$ không bị chặn trên; $u_n=\sqrt{2n-1}$ tăng và không bị chặn trên. Với $u_n=\frac{2025}{n+1}$: với mọi $n\ge 1$ ta có $0<u_n\le \frac{2025}{2}$, nên dãy bị chặn (chặn dưới bởi 0, chặn trên bởi $\frac{2025}{2}$). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 10 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\frac{3n+1}{2n}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2n}$ giảm vì $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{2n}<0$. B) $u_n=-2n+5$ giảm vì $u_{n+1}-u_n=-2<0$. C) $u_n=5n^2-3$ tăng vì $u_{n+1}-u_n=5(n+1{)}^2-3-(5n^2-3)=10n+5>0$ với mọi $n\ge 1$. D) $u_n=n-n^2$ giảm vì $u_{n+1}-u_n=-2n<0$. Vậy dãy số tăng là $u_n=5n^2-3$, đáp án C, trùng với đáp án của đề (đề 101, Câu 9 = C).

Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2(n+1)+1}-\frac{1}{2n+1}=\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+1}=-\frac{2}{(2n+3)(2n+1)}<0\Rightarrow u_{n+1}-u_n<0$.

Vậy $u_{n+1}<u_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }=>$ dãy số giảm

Với $n\in N^{\ast }$, ta có:

$$u_{n+1}-u_n=\frac{2(n+1)}{(n+1)+1}-\frac{2n}{n+1}=\frac{2(n+1)(n+1)-2n[(n+1)+1]}{[(n+1)+1](n+1)}$$

$$=\frac{2(n^2+n+n+1)-2(n^2+2n)}{(n+2)(n+1)}=\frac{2}{(n+2)(n+1)}.$$

$$u_{n+1}-u_n=\frac{2}{(n+2)(n+1)}>0,\forall n\in N^{\ast }$$

$$\Rightarrow u_{n+1}>u_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Vậy dãy số $(u_n)$ là một dãy số tăng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21. Xét tính tăng, giảm của các dãy số.

a) $u_n=\frac{n-3}{n+2}$. Xét hiệu:
$$u_{n+1}-u_n=\frac{n-2}{n+3}-\frac{n-3}{n+2}=\frac{(n-2)(n+2)-(n-3)(n+3)}{(n+2)(n+3)}=\frac{n^2-4-(n^2-9)}{(n+2)(n+3)}=\frac{5}{(n+2)(n+3)}>0$$
với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy số $(u_n)$ tăng.

b) $u_n=\frac{3^n}{2^n\cdot n!}>0$ với mọi $n$. Xét tỉ số:
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}(n+1)!}\cdot \frac{2^{n}n!}{3^n}=\frac{3}{2(n+1)}\le \frac{3}{4}<1$$
với mọi $n\ge 1$. Suy ra $u_{n+1}<u_n$, vậy dãy số $(u_n)$ giảm.

c) $u_n=(-1{)}^n(2^n+1)$. Ta có $u_1=-3$, $u_2=5$, $u_3=-9$, $u_4=17$, ... Các số hạng lần lượt âm, dương xen kẽ nên dãy số không đơn điệu (không tăng và không giảm).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{an+2}{n+1}$. Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{a(n+1)+2}{n+2}-\frac{an+2}{n+1}=\frac{(an+a+2)(n+1)-(an+2)(n+2)}{(n+1)(n+2)}$. Khai triển: $(an+a+2)(n+1)=a{n}^2+2an+2n+a+2$ và $(an+2)(n+2)=a{n}^2+2an+2n+4$, nên tử số bằng $a-2$. Vậy $u_{n+1}-u_n=\frac{a-2}{(n+1)(n+2)}$. Vì $(n+1)(n+2)>0$ với mọi $n\ge 1$, dãy số tăng khi và chỉ khi $u_{n+1}-u_n>0$, tức là $a-2>0\iff a>2$. Kết luận: $a>2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 23. Chứng minh:

a) Với mọi $n\ge 1$, ta có $n^2+1\ge 1>0$ nên $u_n=\sqrt{n^2+1}\ge \sqrt{1}=1$. Vậy dãy $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $m=1$ (thực ra $u_n\ge 1$ với mọi $n$, dấu bằng khi $n=1$).

b) Với mọi $n\ge 1$, ta có $n^2\ge 1$ và $n\ge 1$ nên $n^2+n\ge 2>0$, do đó $u_n=-(n^2+n)\le -2$. Vậy dãy $(u_n)$ bị chặn trên bởi $M=-2$ (dấu bằng khi $n=1$).

c) Với mọi $n\ge 1$: $u_n=\frac{2n+1}{n+2}=\frac{2(n+2)-3}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}$.

Vì $n\ge 1$ nên $n+2\ge 3$, suy ra $0<\frac{3}{n+2}\le 1$, do đó $1\le 2-\frac{3}{n+2}<2$, tức $1\le u_n<2$ với mọi $n\ge 1$.

Vậy dãy $(u_n)$ vừa bị chặn dưới (bởi 1) vừa bị chặn trên (bởi 2), tức là dãy bị chặn.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\frac{3-5n}{2-5n}=\frac{232}{233}$: nhân chéo ta được $233(3-5n)=232(2-5n)$, tức $699-1165n=464-1160n$, suy ra $235=5n$ nên $n=47$. Vậy $\frac{232}{233}=u_{47}$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Quan sát quy luật: tháp $n$ tầng có $n$ hàng ngang, hàng thứ $k$ (từ trên xuống) có $2k$ điểm nên có $2k-1$ que ngang và $2k$ que dọc (kể cả que chân). Tổng que ngang: $1+3+\cdots +(2n-1)=n^2$. Tổng que dọc: $2+4+\cdots +2n=n(n+1)$. Vậy tổng số que là $n^2+n(n+1)=2n^2+n$. Kiểm tra: $n=1$ được 3 que, $n=2$ được 10 que, $n=3$ được 21 que — khớp hình vẽ. Với $n=10$: $2\cdot 10^2+10=210$ que.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy 0.1; 0.01; 0.001; ... có $u_n=10^{-n}=\frac{1}{10^n}$. Biểu diễn thập phân: $u_1=0.1$ (không có số 0 sau dấu phẩy trước chữ số 1), $u_2=0.01$ (1 số 0), $u_3=0.001$ (2 số 0), nên $u_n$ có dạng $\mathrm{0.00...01}$ với $n-1$ số 0. Vậy đáp án B. Kiểm tra: A với $n$ số 0 cho $10^{-(n+1)}$ sai; C $=10^{-(n-1)}$ cho $u_1=1$ sai; D $=10^{-(n+1)}$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy bị chặn là dãy có tồn tại hai số $m,M$ sao cho $m\le u_n\le M$ với mọi $n$. Xét từng dãy:

- A) $u_n=2n\to +\infty$, không bị chặn.
- B) $u_n=\frac{2n+1}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}$, với $n\ge 1$ ta có $1\le u_n<2$, nên dãy bị chặn (chặn dưới $1$, chặn trên $2$).
- C) $u_n=\frac{2n+1}{3}\to +\infty$, không bị chặn.
- D) $u_n=3-2n\to -\infty$, không bị chặn.

Vậy đáp án B.