Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12x$. Tại $x_0=2$: $y^{\prime }(2)=12-24=-12$, nên hệ số góc của tiếp tuyến là $-12$ → a) Đúng. $y_0=y(2)=8-24+12=-4$, phương trình tiếp tuyến: $y=-12(x-2)-4=-12x+20$, không phải $y=-12x+8$ → b) Sai. Vì hệ số góc $-12$ trùng với hệ số góc của $(d):y=-12x-15$ nên tiếp tuyến song song với $(d)$ → c) Đúng. Phương trình tiếp tuyến $y=-12x+20$ cắt $(d^{\prime }):y=2x-4$ khi $-12x+20=2x-4\iff x=\frac{12}{7}$, $y=\frac{4}{7}$, tức giao điểm là $\left(\frac{12}{7};\frac{4}{7}\right)$, không phải $M(-3;8)$ (thêm nữa $M(-3;8)$ không thuộc tiếp tuyến vì $-12(-3)+20=56\ne 8$) → d) Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12x$, $y^{\prime }(2)=12-24=-12$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(2)=-4$, tiếp tuyến: $y=-12(x-2)-4=-12x+20\ne -12x+8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc $-12$ bằng hệ số góc của $(d):y=-12x-15$ nên hai đường song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $-12x+20=2x-4$ được $x=\frac{12}{7}$, giao điểm $\left(\frac{12}{7};\frac{4}{7}\right)\ne M(-3;8)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2-4x-4$ có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6x-4$.

Tại $x_0=5$:
- Hoành độ tiếp điểm: $x_0=5$.
- Tung độ tiếp điểm: $y_0=5^3-3\cdot 5^2-4\cdot 5-4=125-75-20-4=26$. Vậy tiếp điểm là $A(5;26)$.
- Hệ số góc của tiếp tuyến: $k=y^{\prime }(5)=3\cdot 25-6\cdot 5-4=75-30-4=41$.

Phương trình tiếp tuyến: $y=y_0+k(x-x_0)=26+41(x-5)=41x-179$.

Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=41x-179$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $y^{\prime }=-4x+1$. Giải $y^{\prime }=0\iff -4x+1=0\iff x=\frac{1}{4}$.

b) Kiểm tra: $M(2;-6)$ thuộc (C) vì $-2\cdot 2^2+2=-8+2=-6$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ là $k=y^{\prime }(2)=-4\cdot 2+1=-7$. Phương trình tiếp tuyến: $y=-7(x-2)-6=-7x+8$. Vậy tiếp tuyến là $y=-7x+8$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $y^{\prime }=-4x+1$. Giải $y^{\prime }=0⟺-4x+1=0⟺x=\frac{1}{4}$. Vậy nghiệm là $x=\frac{1}{4}$.

b) Kiểm tra $M(2;-6)$ thuộc $(C)$: $y(2)=-2\cdot 4+2=-6$ ✓. Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$: $y^{\prime }(2)=-4\cdot 2+1=-7$. Phương trình tiếp tuyến: $y=y^{\prime }(2)(x-2)+y(2)=-7(x-2)-6=-7x+8$. Vậy tiếp tuyến là $y=-7x+8$.

+ Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(x_0;y_0)$ thoả đề.

+ Ta có: $x_0=1$ nên $\{\begin{array}{l}{y}_0=y(1)=6\\ y^{\prime }(1)=9\end{array}$

+ Khi đó, phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số tại điểm $M(1;6)$ là: $y-6=9.(x-1)\iff y=9x-3$.

(Điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $v(t)=S^{\prime }(t)=-3t^2+6t+9$ (m/s). Tại $t=2$: $v(2)=-3(2{)}^2+6(2)+9=-12+12+9=9$ (m/s). Vậy vận tốc của chuyển động tại thời điểm $t=2$ là $9$ m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3+1$. a) Theo định nghĩa, đạo hàm tại $x_0=2$ là $f^{\prime }(2)={\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$, đúng. b) $f^{\prime }(x)=3x^2$, không phải $3x^2+1$, sai. c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0=2$ là $k=f^{\prime }(2)=12$, không phải $y_0=f(2)=9$, sai. d) $f(2)=9$, $f^{\prime }(2)=12$, tiếp tuyến: $y=12(x-2)+9=12x-15$, đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm: $f^{\prime }(2)={\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$, nên khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2$, không phải $3x^2+1$ (số 1 là hằng số, đạo hàm bằng 0), nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0=2$ là $k=f^{\prime }(2)=3\cdot 2^2=12$, còn $f(2)=9$ là tung độ tiếp điểm, nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp điểm $(2;9)$, hệ số góc $f^{\prime }(2)=12$, phương trình tiếp tuyến: $y=12(x-2)+9=12x-15$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của độ cao: $h^{\prime }(t)=32,5-9,8t$. Tại $t=3$: $h^{\prime }(3)=32,5-9,8imes3=32,5-29,4=3,1$ (m/s). Vậy chọn C.

Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $$v(t)=s^{\prime }(t)=-t+20.$$ Với $t=8$ ta được $v(8)=-8+20=12$. Đáp số: Vận tốc tức thời bằng 12 m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-4t+5$. Tại $t=2$: $v(2)=3\cdot 4-8+5=9$ (m/s). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc ca nô là $v(t)=s^{\prime }(t)=18-3t$ (m/s). Ca nô dừng lại hẳn khi $v(t)=0$, tức $18-3t=0\Rightarrow t=6$ giây. Vậy chọn đáp án B.

Do hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm $x_0=2$ suy ra $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f^{\prime }(2)$.

Ta có $I=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2f(x)-xf(2)}{x-2}\iff I=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2f(x)-2f(2)+2f(2)-xf(2)}{x-2}$

$\iff I=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2\left(f(x)-f(2)\right)}{x-2}-\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(2)(x-2)}{x-2}\iff I=2f^{\prime }(2)-f(2)$.

Tại $x_0=-1⟹y_0=\frac{-2-3}{-2+1}=5$.
Ta có: $y^{\prime }=\frac{2(2x+1)-2(2x-3)}{(2x+1{)}^2}=\frac{8}{(2x+1{)}^2}$.
Hệ số góc tiếp tuyến tại $x_0=-1$: $k=y^{\prime }(-1)=\frac{8}{(-1{)}^2}=8$.
Phương trình tiếp tuyến tại $(-1;5)$ là:
$y=8(x+1)+5=8x+13$.
- Giao điểm với trục hoành $Ox$ ($y=0$): $8x+13=0⟹x_A=-\frac{13}{8}⟹OA=\frac{13}{8}$.
- Giao điểm với trục tung $Oy$ ($x=0$): $y_B=13⟹OB=13$.
Diện tích tam giác $OAB$ vuông tại $O$ là:
$S=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot \frac{13}{8}\cdot 13=\frac{169}{16}$.

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0$: $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. Công thức ở phương án D sai vì ở tử số phải là $f(x)-f(x_0)$ chứ không phải $f(x+x_0)-f(x_0)$.

Ta có $y^{\prime }=x^2+6x$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm $M_0(x_0;y_0)$ là:
$k=y^{\prime }(x_0)=-9\iff x_0^2+6x_0+9=0\iff (x_0+3{)}^2=0\iff x_0=-3$

Với $x_0=-3$, ta có:
$y_0=\frac{(-3{)}^3}{3}+3(-3{)}^2-2=-9+27-2=16$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0(-3;16)$ với hệ số góc $k=-9$ là:
$y-16=-9(x+3)$

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x⟹y^{\prime }(3)=3\cdot 3^2-6\cdot 3=9$.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A(3;1)$ là:
$y=y^{\prime }(3)(x-3)+1⟺y=9(x-3)+1⟺y=9x-26$. Chọn D.

Ta có $y^{\prime }=\frac{2(-1)-1(1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-3}{(x-1{)}^2}$.
Hệ số góc tiếp tuyến tại $x_0=2$: $k=y^{\prime }(2)=\frac{-3}{1^2}=-3$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M(2;5)$: $y-5=-3(x-2)\iff y=-3x+11$.

Ta có $M\left(0;\frac{1}{\ln 3}\right)$ và $y^{\prime }=\frac{(\sqrt{3}{)}^x\ln \sqrt{3}}{\ln 3}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}{)}^x⟹y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$. Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{\ln 3}$, cắt $Ox$ tại $N\left(-\frac{2}{\ln 3};0\right)$.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=3x^2+2$.
Hệ số góc của tiếp tuyến $d$ tại điểm $A(1;0)$ là $k=y^{\prime }(1)=3(1{)}^2+2=5$.
Đường thẳng vuông góc với $d$ có hệ số góc $k^{\prime }=-\frac{1}{k}=-\frac{1}{5}$.
Phương trình đường thẳng ở phương án C: $x+5y+3=0\iff y=-\frac{1}{5}x-\frac{3}{5}$, có hệ số góc bằng $-\frac{1}{5}$ nên vuông góc với $d$.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=\ln x+1$.
Tại điểm có hoành độ $x_0=e$, ta có $y(e)=e\ln e=e$ và hệ số góc $y^{\prime }(e)=\ln e+1=2$.
Phương trình tiếp tuyến là:
$y=y^{\prime }(e)(x-e)+y(e)\iff y=2(x-e)+e\iff y=2x-e$.