Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;1)$ và bán kính $R=2$. Diện tích tam giác $IAB$ là $S=\frac{1}{2}IA\cdot IB\cdot \sin \widehat{AIB}=\frac{1}{2}{R}^2\sin \widehat{AIB}=2\sin \widehat{AIB}\le 2$. Diện tích đạt giá trị lớn nhất bằng $2$ khi $\sin \widehat{AIB}=1⟺\widehat{AIB}=90^{\circ }$ (tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$). Khi đó khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $d$ là $d(I,d)=\frac{R}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Ta có: $\frac{|1+1-m|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}⟺|2-m|=2⟺[<table><tbody><tr><td>2-m=2</td></tr><tr><td>2-m=-2</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m=0</td></tr><tr><td>m=4</td></tr></tbody></table>$. Cả hai giá trị $m=0$ và $m=4$ đều nguyên. Vậy có đúng 2 giá trị nguyên của $m$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì $△BEC$ và $△BFC$ vuông tại $E$ và $F$ nên bốn điểm $B,C,E,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ với tâm là $M$.
Suy ra $ME=MF$.

Vì $M\in BC$ nên tọa độ của $M$ có dạng $M(13-7t;t)$.
Ta có:
$M{E}^2=(11-7t{)}^2+(t-5{)}^2=50t^2-164t+146$
$M{F}^2=(13-7t{)}^2+(t-4{)}^2=50t^2-190t+185$

Từ $M{E}^2=M{F}^2$:
$50t^2-164t+146=50t^2-190t+185\iff 26t=39\iff t=\frac{3}{2}$

Suy ra $M\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$ và bán kính $R^2=M{E}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}$.
Đường tròn $(C)$ đường kính $BC$ có phương trình: ${\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{25}{2}$.

Mặt khác, tứ giác $AFHE$ (với $H$ là trực tâm tam giác $ABC$) nội tiếp đường tròn đường kính $AH$. Tâm của đường tròn này là trung điểm $J$ của $AH$.
Đường thẳng $EF$ đi qua $F(0;4)$ và $E(2;5)$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{FE}=(2;1)$, phương trình $EF:x-2y+8=0$.

Phương trình tiếp tuyến hoặc đối xứng trục cho phép xác định tọa độ đỉnh $A$:
Ta tìm được $A(-1;4)$, do đó $a=-1,b=4$.
Khi đó: $b-a=4-(-1)=5$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì $B,C\in \{y=-1\}$ nên $M$ có tung độ $y_M=-1$. Do $I(3;2)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp nên $IM\perp BC⟹x_M=x_I=3$. Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $x_B+x_C=2x_M=2\times 3=6$.

Ta có $w-(3-2i)=(4-3i)z\Rightarrow |w-(3-2i)|=|4-3i|\cdot |z|=5\cdot 2=10$. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn có bán kính $r=10$. Chọn đáp án C.

Ta có $|w|=|z-(z-w)|\le |z|+|z-w|=3+1=4$ và $|w|\ge ||z|-|z-w||=3-1=2$. Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm $O$ có bán kính $R_1=2$ và $R_2=4$. Diện tích của hình $H$ là $S=\pi (4^2-2^2)=12\pi$. Chọn đáp án B.

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z-1|=\sqrt{34}$ là đường tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=\sqrt{34}$.
Điều kiện $|z+1+mi|=|z+m+2i|$ xác định đường trung trực của đoạn thẳng nối $A(-1;-m)$ và $B(-m;-2)$.
Vì đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt với mọi $m$, nên $|z_1-z_2|$ lớn nhất khi đoạn thẳng nối $M_1(z_1)$ và $M_2(z_2)$ chính là đường kính của đường tròn $(S)$.
Khi đó $I(1;0)$ là trung điểm của $M_1{M}_2$, suy ra $z_1+z_2=2z_I=2(1)=2$.
Do đó $|z_1+z_2|=|2|=2$.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có tâm $I\left(\frac{5}{2};\frac{13}{6}\right)$ và bán kính $R=\sqrt{\frac{65}{18}}$.
Trong tam giác $ABC$, bán kính $R$ vuông góc với đoạn $DE$ tại tiếp tuyến hoặc theo tính chất hình học trực tâm:
Đoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp $I$ và trực tâm $H$ có mối quan hệ với đường tròn Euler và đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCDE$ hoặc $ADHE$.
Tọa độ điểm $A$ nằm trên đường tròn $(C)$ và có tung độ nguyên, giải hệ tọa độ tìm được $A(1;3)$ và tọa độ đỉnh $B$ là $B(1;3)$ hoặc $B(0;2)$, suy ra $T=x_B-y_B=-2$. Chọn C.

Gọi $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$. Ta có $|(x+2)+(y-1)i|=4\iff (x+2{)}^2+(y-1{)}^2=16$.
Đây là phương trình đường tròn có tâm $I(-2;1)$ và bán kính $R=4$.

Gọi điểm $M$ biểu diễn số phức $z$, $I(-1;3)$ là điểm biểu diễn $-1+3i$.
Điều kiện trở thành $3\le IM\le 5$.
Tập hợp các điểm $M$ là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm $I$ có bán kính $R_1=3$ và $R_2=5$.
Diện tích hình phẳng: $S=\pi R_2^2-\pi R_1^2=\pi (5^2-3^2)=16\pi$.

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn $|z-1|=\sqrt{34}$ là đường tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=\sqrt{34}$.
Điều kiện thứ hai biểu diễn một họ đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định hoặc cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt $z_1,z_2$.
Khoảng cách $|z_1-z_2|$ lớn nhất khi $z_1{z}_2$ là đường kính của đường tròn, khi đó trung điểm của $z_1{z}_2$ chính là tâm $I(1;0)$.
Do đó $\frac{z_1+z_2}{2}=1\Rightarrow z_1+z_2=2\Rightarrow |z_1+z_2|=2$.

Ta biến đổi đẳng thức đã cho:
$|(2+i)z+8-i|=5⟺\left|(2+i)\left(z+\frac{8-i}{2+i}\right)\right|=5⟺|2+i|\cdot \left|z+\frac{8-i}{2+i}\right|=5$
Ta có $|2+i|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$.
Thực hiện phép chia số phức:
$\frac{8-i}{2+i}=\frac{(8-i)(2-i)}{2^2+1^2}=\frac{16-8i-2i-1}{5}=\frac{15-10i}{5}=3-2i$
Phương trình trở thành:
$\sqrt{5}|z+3-2i|=5⟺|z-(-3+2i)|=\sqrt{5}$
Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức $z$, tập hợp các điểm $M$ là đường tròn có tâm $I(-3;2)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$. Chọn B.

Ta có $w=2(z-3+4i)+7-9i\iff w-7+9i=2(z-3+4i)$.
Lấy môđun: $|w-7+9i|=2|z-3+4i|\le 4$.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là hình tròn tâm $I(7;-9)$ bán kính $R=4$.
Diện tích hình tròn là $S=\pi R^2=16\pi$.

Chia hai vế cho $|i|=1$: $|z-2-i|=2$, nên tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đường tròn có tâm $(2;1)$. Chọn A.

Từ $z+2=iw\Rightarrow w=\frac{z+2}{i}=-i(z+2)$. Thay vào $|w-i|=2$ ta được $|-i(z+3)|=2\iff |z+3|=2$. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(-3;0)$, bán kính $R=2$. Do đó $|z|$ đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất tại hai giao điểm của đường tròn với tia đối của tia $Ox$, tức là $z_1=-1$ và $z_2=-5$. Suy ra $|z_1+z_2|=|-6|=6$. Chọn đáp án C.

Điều kiện: $z\ne 4$. Đặt $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$.
Phương trình $|z-3i|=5⟺x^2+(y-3{)}^2=25⟺x^2+y^2-6y=16$ (1).
Ta có:
$\frac{z}{z-4}=\frac{x+yi}{x-4+yi}=\frac{(x+yi)(x-4-yi)}{(x-4{)}^2+y^2}=\frac{x(x-4)+y^2-4yi}{(x-4{)}^2+y^2}=\frac{x^2-4x+y^2}{(x-4{)}^2+y^2}-\frac{4y}{(x-4{)}^2+y^2}i$.
Số phức $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0:
$x^2-4x+y^2=0$ và $(x-4{)}^2+y^2\ne 0$ (2).
Từ (1) và (2), trừ hai phương trình theo vế:
$4x-6y=16⟺2x-3y=8⟺x=\frac{3y+8}{2}$.
Thế vào (2):
${\left(\frac{3y+8}{2}\right)}^2-4\left(\frac{3y+8}{2}\right)+y^2=0⟺\frac{9y^2+48y+64}{4}-6y-16+y^2=0$
$⟺13y^2+24y=0⟺[<table><tbody><tr><td>y=0⟹x=4\text{ (loại do }z\ne 4\text{)}</td></tr><tr><td>y=-\frac{24}{13}⟹x=\frac{16}{13}</td></tr></tbody></table>$
Vậy chỉ có duy nhất 1 số phức thỏa mãn là $z=\frac{16}{13}-\frac{24}{13}i$. Chọn C.

Chọn C.
Ta có $w=(1-2i)z-2+3i=(1-2i)(z+1)-(1-2i)-2+3i=(1-2i)(z+1)-3+5i$.
$⟺w-(-3+5i)=(1-2i)(z+1)$.
Lấy môđun hai vế: $|w-(-3+5i)|=|1-2i|\cdot |z+1|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=5$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn có bán kính bằng $5$.

Ta có $(z+1-3i)\overline{(z+1-3i)}=25⟺|z+1-3i{|}^2=25⟺|z-(-1+3i)|=5$. Đường tròn có tâm $I(-1;3)$ và bán kính $c=5$, nên $a+b+c=-1+3+5=7$.

Gọi $S_1=\pi \cdot 20^2,S_2=\pi \cdot 15^2$ và $S_{\text{giao}}$ là diện tích phần giao của hai hình tròn. Tổng chi phí là $100000(S_1+S_2-2S_{\text{giao}})+300000S_{\text{giao}}=100000(S_1+S_2+S_{\text{giao}})\approx 202$ triệu đồng.

Quỹ tích điểm $M$ biểu diễn $z_1$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(2;1)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Ta có $|z_1-i{z}_2|=|z_1-i{z}_2|=|z_1-w|$ với $w=i{z}_2⟹z_2=\frac{w}{i}=-iw$.
Đẳng thức thứ hai tương đương quỹ tích của $w$ là đường thẳng $\Delta$.
Khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $\Delta$ tính được $d(I,\Delta )=\frac{7\sqrt{2}}{2}$.
Do đó $\min |z_1-i{z}_2|=d(I,\Delta )-R=\frac{7\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Chọn B.

Chọn C.


Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$) có điểm biểu diễn là $M(x;y)$.
Ta có:
+) $|z+\bar{z}|\ge 12⟺|2x|\ge 12⟺|x|\ge 6⟺[\begin{array}{rl}x& \ge 6\\ x& \le -6\end{array}$.
+) $|z-4-3i|\le 2\sqrt{2}⟺(x-4{)}^2+(y-3{)}^2\le (2\sqrt{2}{)}^2=8$.
Đây là hình tròn tâm $I(4;3)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Vì hình tròn có hoành độ chạy từ $4-2\sqrt{2}\approx 1,17$ đến $4+2\sqrt{2}\approx 6,83$, nên điều kiện $x\le -6$ không có điểm chung với hình tròn.
Do đó hình phẳng $(\mathcal{H})$ là phần hình tròn nằm bên phải đường thẳng $x=6$.
Khoảng cách từ tâm $I(4;3)$ đến đường thẳng $x=6$ là $d=6-4=2$.
Độ dài dây cung cắt bởi đường thẳng $x=6$ là:
$AB=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{8-4}=4$.
Góc ở tâm chắn cung $AB$ là:
$\cos \frac{\widehat{AIB}}{2}=\frac{d}{R}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \frac{\widehat{AIB}}{2}=45^{\circ }\Rightarrow \widehat{AIB}=90^{\circ }$.
Diện tích hình quạt tròn $IAB$ là:
$S_q=\frac{1}{4}\pi R^2=\frac{1}{4}\pi (8)=2\pi$.
Diện tích tam giác vuông cân $IAB$ là:
$S_{△IAB}=\frac{1}{2}{R}^2=\frac{1}{2}\cdot 8=4$.
Diện tích hình viên phân $(\mathcal{H})$ là:
$S=S_q-S_{△IAB}=2\pi -4$.