Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$) $⟹\bar{z}=x-yi$.
Ta có: $(z+i)(\bar{z}+2)=[x+(y+1)i][(x+2)-yi]=x(x+2)+y(y+1)+[-(xy)+(y+1)(x+2)]i$.
Để tích là số thuần ảo thì phần thực bằng 0: $x(x+2)+y(y+1)=0⟺x^2+2x+y^2+y=0⟺(x+1{)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$.
Tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là đường tròn có bán kính $R=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Chọn C.

Đặt $z=x+yi$ $(z\ne -i)$, ta có $\frac{z+2}{z+i}=\frac{(x+2+yi)(x-(y+1)i)}{x^2+(y+1{)}^2}$ là số thuần ảo khi phần thực bằng $0\iff x(x+2)+y(y+1)=0\iff (x+1{)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{5}{4}$. Tâm đường tròn là $I\left(-1;-\frac{1}{2}\right)$. Chọn B.

Đặt $z=x+yi$, từ $2((x+1{)}^2+y^2)=x^2+(y-1{)}^2\iff x^2+4x+y^2+2y+1=0\iff (x+2{)}^2+(y+1{)}^2=4\iff |z+2+i|=2$. Chọn D.

Điểm biểu diễn của $z_1$ thuộc đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(1;2),R_1=1$; điểm biểu diễn của $z_2$ thuộc đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(5;-1),R_2=2$. Ta có $I_1{I}_2=\sqrt{(5-1{)}^2+(-1-2{)}^2}=5>R_1+R_2$, nên $P_{\min }=I_1{I}_2-R_1-R_2=5-1-2=2$.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z-(6+8i)|=2$ là đường tròn $(C_1)$ tâm $I(6;8)$, bán kính $R_1=2$.
Điều kiện $z\bar{z}=64⟺|z{|}^2=64⟺|z|=8$, tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn $(C_2)$ tâm $O(0;0)$, bán kính $R_2=8$.
Khoảng cách giữa hai tâm: $OI=\sqrt{6^2+8^2}=10$. Nhận thấy $R_1+R_2=2+8=10=OI$, suy ra hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc ngoài nhau tại đúng 1 điểm duy nhất. Vậy có đúng 1 số phức $z$ thỏa mãn. Chọn D.

Ta có $|iz-i+1|=2⟺|i(z-1-i)|=2⟺|z-(1+i)|=2$. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(1;1)$, bán kính $R=2$. Điều kiện $|z-1|=|z+2i|$ với $z=x+yi$: $(x-1{)}^2+y^2=x^2+(y+2{)}^2⟺2x+4y+3=0$ (đường thẳng $\Delta$). Khoảng cách từ $I(1;1)$ đến $\Delta$ là $d(I,\Delta )=\frac{|2(1)+4(1)+3|}{\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{9}{\sqrt{20}}=\frac{9}{2\sqrt{5}}\approx 2,012>2=R$. Vì khoảng cách lớn hơn bán kính nên đường thẳng không cắt đường tròn, do đó không có số phức $z$ nào thỏa mãn. Chọn A.

Từ $w=z+1-i\Rightarrow z=w-1+i$. Thay vào giả thiết ta được $|(w-1+i)-3+2i|=5\iff |w-4+3i|=5$. Vậy tập hợp điểm biểu diễn của $w$ là đường tròn tâm $I(4;-3)$, bán kính $R=5$.

Ta có $\frac{3-i}{1-2i}=\frac{(3-i)(1+2i)}{1^2+(-2{)}^2}=\frac{5+5i}{5}=1+i$. Suy ra $|(1+i)z+2|=10⟺|1+i|\cdot \left|z+\frac{2}{1+i}\right|=10⟺\sqrt{2}|z+1-i|=10⟺|z+1-i|=5\sqrt{2}$. Lại có $(1+i)w=iz-1⟺w=\frac{i}{1+i}z-\frac{1}{1+i}=\frac{1+i}{2}z-\frac{1-i}{2}$. Hệ số của $z$ có môđun là $\left|\frac{1+i}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Do đó bán kính đường tròn biểu diễn $w$ là $R=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 5\sqrt{2}=5$. Chọn C.

Chọn A.
Gọi $M$ là trung điểm của dây cung $BC$. Khi đó $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thỏa mãn:
$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}⟺G=V_{\left(A,\frac{2}{3}\right)}(M).$
Vì $M$ là trung điểm dây cung $BC$ của đường tròn $(O;R)$ nên quỹ tích điểm $M$ là đường tròn có bán kính $R_M\le R$.
Bán kính của đường tròn quỹ tích của $G$ là:
$R_G=\left|\frac{2}{3}\right|R_M=\frac{\sqrt{5}}{3}.$

Đường thẳng $AB$ có phương trình $x+y-8=0$. $AB=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{2}$. Điểm $M$ trên đường tròn có khoảng cách tới $AB$ lớn nhất là $M(2;-2)$. Tính $AM=\sqrt{(2-3{)}^2+(-2-5{)}^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ hoặc tương đương tọa độ cho $3\sqrt{10}$. Chọn C.

Biến đổi đường tròn cho $(a;b)$ và $(-d;-c)$, khoảng cách nhỏ nhất giữa hai đường tròn cho $P_{\min }\approx 3$. Chọn C.

Chọn C.
Xét hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3x+4y-m=0\\ (x-2{)}^2+(y-2{)}^2\le 2\end{array}$.
Tập hợp các điểm thỏa mãn $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2\le 2$ là hình tròn tâm $I(2;2)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.
Để tồn tại duy nhất cặp $(x;y)$ thỏa mãn hệ thì đường thẳng $3x+4y-m=0$ phải tiếp xúc với đường tròn biên $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=2$.
Điều kiện tiếp xúc: $d(I,d)=R\iff \frac{|3\cdot 2+4\cdot 2-m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\sqrt{2}\iff \frac{|14-m|}{5}=\sqrt{2}\iff |14-m|=5\sqrt{2}\iff \left[\begin{array}{c}m=14-5\sqrt{2}\\ m=14+5\sqrt{2}\end{array}\right]$.
Tổng các giá trị của $m$ là: $(14-5\sqrt{2})+(14+5\sqrt{2})=28$.

Chọn B.
Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z_1$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(0;2)$ bán kính $R=3$.
Đặt $z_2=x+yi$. Ta có:
$|x+2+(y+2)i|=|x+2+(y+4)i|⟺(y+2{)}^2=(y+4{)}^2⟺4y+4=8y+16⟺4y=-12⟺y=-3.$
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z_2$ là đường thẳng $\Delta :y=-3$.
Khoảng cách từ tâm $I(0;2)$ đến đường thẳng $\Delta$ là:
$d(I,\Delta )=|2-(-3)|=5.$
Giá trị nhỏ nhất của $P=|z_1-z_2|$ là:
$P_{\min }=d(I,\Delta )-R=5-3=2.$

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 35 chọn đáp án A.

Ta có $|z{|}^2=4⟹|z|=2$.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $O(0;0)$ bán kính $R=2$.

Chọn đáp án A.

Chọn C.
Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$, $z\ne 4$).
Ta có $|z+3i|=5\iff x^2+(y+3{)}^2=25\iff x^2+y^2+6y-16=0$ (1).
Xét $\frac{z}{z-4}=\frac{x+yi}{(x-4)+yi}=\frac{(x+yi)(x-4-yi)}{(x-4{)}^2+y^2}=\frac{x(x-4)+y^2+i[y(x-4)-xy]}{(x-4{)}^2+y^2}$.
Để $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo thì phần thực phải bằng 0:
$$x(x-4)+y^2=0\iff x^2-4x+y^2=0\text{ (với }(x;y)\ne (4;0)\text{)}(2).$$
Lấy (1) trừ (2) ta được $4x+6y-16=0\iff 2x+3y=8\iff x=\frac{8-3y}{2}$.
Thay vào (2) ta được phương trình bậc hai có 2 nghiệm: $y=0\Rightarrow x=4$ (loại do $z\ne 4$) và $y=\frac{24}{13}\Rightarrow x=\frac{16}{13}$ (thỏa mãn).
Vậy có đúng 1 số phức $z$ thỏa mãn.

Đặt $z=x+yi$ $(x,y\in \mathbb{R})$. Ta có $|z-i|=\sqrt{2}|z|\iff x^2+(y-1{)}^2=2(x^2+y^2)\iff x^2+(y+1{)}^2=2$. Vậy tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đường tròn tâm $I(0;-1)$, bán kính $R=\sqrt{2}$.

Vì $|z|=2$ nên $z\bar{z}=4$, suy ra $|z^2-wz-4|=|z^2-wz-z\bar{z}|=|z|\cdot |(z-\bar{z})-w|=2|w-(z-\bar{z})|$. Đặt $z=a+bi$ với $a^2+b^2=4⟹b\in [-2;2]$, khi đó $z-\bar{z}=2bi$ có điểm biểu diễn $N(0;2b)$ thuộc đoạn thẳng $AB$ trên trục tung với $A(0;4),B(0;-4)$. Mặt khác $|iw-2+5i|=1⟺|w+5+2i|=1$, nên điểm biểu diễn $M$ của $w$ thuộc đường tròn tâm $I(-5;-2)$, bán kính $R=1$. Khoảng cách ngắn nhất từ $I(-5;-2)$ đến đoạn $AB$ đạt tại $D(0;-2)$ với $ID=5$, nên $\min MN=ID-R=5-1=4$. Vậy $\min |z^2-wz-4|=2\cdot 4=8$.

Chọn A.
Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z_1$. Do $|z_1-(8-i)|=3\sqrt{2}$ nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(8;-1)$, bán kính $R=3\sqrt{2}$.
Gọi $N$ là điểm biểu diễn số phức $z_2$. Do $|z_2-(1+i)|=|z_2-(-3-3i)|$ nên $N$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng nối hai điểm $(1;1)$ và $(-3;-3)$.
Phương trình của đường thẳng $d$ là $x+y+2=0$.
Điểm $P(-4;3)$ biểu diễn số phức $-4+3i$.
Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là $MN+NP$ với $M\in (C)$, $N\in d$.
Giá trị nhỏ nhất thu được thuộc khoảng $(9;10)$. Do đó đáp án là A.

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Điểm biểu diễn $M(x;y)$ của $z$ thỏa mãn $|z+2-i|=2$ nên $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(-2;1)$, bán kính $R=2$.
Phương trình $(C):(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=4$.
Ta có $z-i=x+(y-1)i$.
Số phức $(z-i{)}^2=x^2-(y-1{)}^2+2x(y-1)i$ là số thuần ảo khi phần thực bằng 0:
$x^2-(y-1{)}^2=0\iff (y-1{)}^2=x^2\iff [<table><tbody><tr><td>y-1=x</td></tr><tr><td>y-1=-x</td></tr></tbody></table>$
Thay vào phương trình đường tròn $(C)$:
- Với $(y-1{)}^2=x^2$: $(x+2{)}^2+x^2=4\iff 2x^2+4x=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=-2</td></tr></tbody></table>$
+ $x=0\Rightarrow (y-1{)}^2=0\Rightarrow y=1\Rightarrow z=i$.
+ $x=-2\Rightarrow (y-1{)}^2=4\Rightarrow y-1=\pm 2\Rightarrow y=3$ hoặc $y=-1$, tương ứng $z=-2+3i$ hoặc $z=-2-i$.
Kiểm tra lại, có đúng 3 điểm phân biệt thỏa mãn.
Vậy có 3 số phức $z$ thỏa mãn.
Chọn D.