Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tại 8 giờ sáng, t = 8 - 6 = 2. Khi đó S(2) = 40|cot(π/12 · 2)| = 40|cot(π/6)| = 40·√3 ≈ 69,282 mét, làm tròn đến phần mười ta được 69,3 mét. Kết quả trùng với đáp án nguồn (69,3).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}\approx 0,\mathrm{777...}$ Làm tròn đến phần mười ta được $0,8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 17: 0,8).

$A=\cos (x+60^0)\cos (x-60^0)$
$=\frac{1}{2}(\cos 2x+\cos 120^0)$
$=\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{4}$ (Thang điểm 0.25 / 0.25).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Áp dụng công thức cộng: $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{1}{2}-\frac{4}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-3-4\sqrt{3}}{10}$. So sánh với $\frac{-a-b\sqrt{a}}{10}$ ta được $a=3$, $b=4$, do đó $a+b=7$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 1 Phần 3: 7).

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2 < α < π nên cos α < 0: cos α = −√(1 − 16/25) = −3/5. Áp dụng công thức cộng: cos(α + π/3) = cos α·cos(π/3) − sin α·sin(π/3) = (−3/5)(1/2) − (4/5)(√3/2) = (−3 − 4√3)/10. So sánh với (−a − b√a)/10 ta được a = 3, b = 4, do đó a + b = 7, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, suy ra $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$. Khi đó $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$. Vậy $P=3\sin \alpha -5\cot \alpha =3\left(-\frac{4}{5}\right)-5\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{12}{5}+\frac{15}{4}=\frac{-48+75}{20}=\frac{27}{20}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$, suy ra $\sin \alpha =\frac{5}{13}$. Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{5/13}{-12/13}=-\frac{5}{12}$. Vậy $P=2\cdot \frac{5}{13}+3\cdot \left(-\frac{5}{12}\right)=\frac{10}{13}-\frac{5}{4}=\frac{40-65}{52}=-\frac{25}{52}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \alpha <0$. Ta có $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Khi đó $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{24}{25}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ III, do đó $\cos \alpha <0$.

a) $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$.

b) Áp dụng công thức cộng góc:
$$\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}$$
$$=-\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{2}{5}+\frac{3\sqrt{3}}{10}=\frac{3\sqrt{3}-4}{10}.$$

Vậy $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$ và $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}-4}{10}\approx 0,1196$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ hai, do đó $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: f(-x)=2cos²(-x)-1=2cos²x-1=f(x), nên f chẵn. b) Sai: công thức đúng là cos2x = 2cos²x - 1 (tức f(x)=cos2x), còn 1 - 2cos²x = -cos2x. c) Đúng: cos(π/3) = 1/2. d) Đúng: f(x)=cos2x=1/2, với x∈(-π;π) thì 2x∈(-2π;2π), các nghiệm 2x = ±π/3, ±5π/3 cho 4 nghiệm x = ±π/6, ±5π/6. Kết quả T; F; T; T khớp hàng 1 của bảng đáp án Phần II ở trang 5; bảng này không ghi nhãn mã đề nên không xác định được mã đề tương ứng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(-x)=2cos²(-x)-1=2cos²x-1=f(x) nên hàm số chẵn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức nhân đôi đúng là cos2x = 2cos²x - 1; biểu thức 1 - 2cos²x = -cos2x.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos(π/3) = 1/2 theo bảng giá trị lượng giác.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos2x = 1/2 với 2x∈(-2π;2π) cho 2x = ±π/3, ±5π/3, tức x = ±π/6, ±5π/6: đúng 4 nghiệm.

a) Đ. b) Đ. c) S. d) S.

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2 < α < π nên α ở góc phần tư thứ II, do đó cos α < 0 (khẳng định a sai). Theo hệ thức cơ bản: cos α = -√(1 - sin²α) = -√(1 - 16/25) = -3/5 (khẳng định b đúng). tan α = sin α / cos α = (4/5)/(-3/5) = -4/3 ≠ -3/4 (khẳng định c sai). Với d: (6·4/5 - (-3/5))/(3·4/5 + (-3/5)) = (27/5)/(9/5) = 3 (khẳng định d đúng). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì π/2 < α < π nên α thuộc góc phần tư thứ II, khi đó cos α < 0, do đó cos α > 0 là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos α = -√(1 - sin²α) = -√(1 - 16/25) = -3/5 (dấu âm vì α ở góc phần tư thứ II).
c) (AI giải đề cho tôi)
tan α = sin α / cos α = (4/5)/(-3/5) = -4/3, không bằng -3/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay sin α = 4/5, cos α = -3/5: (6·4/5 + 3/5)/(3·4/5 - 3/5) = (27/5)/(9/5) = 3.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\sin \alpha >0$. Ta có $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$. Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$. Vậy: a) Đúng ($\sin \alpha >0$ vì $\alpha$ thuộc góc phần tư II). b) Sai (vì $\sin \alpha =\frac{3}{5}>0$, không phải $-\frac{3}{5}$). c) Đúng ($\tan \alpha =-\frac{3}{4}$). d) Sai, vì $\frac{4\sin \alpha +\cos \alpha }{8\sin \alpha -5\cos \alpha }=\frac{4\cdot \frac{3}{5}-\frac{4}{5}}{8\cdot \frac{3}{5}+4}=\frac{\frac{8}{5}}{\frac{44}{5}}=\frac{2}{11}\ne 3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II, do đó $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}>0$, không phải $-\frac{3}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{4\sin \alpha +\cos \alpha }{8\sin \alpha -5\cos \alpha }=\frac{\frac{12}{5}-\frac{4}{5}}{\frac{24}{5}+4}=\frac{\frac{8}{5}}{\frac{44}{5}}=\frac{2}{11}\ne 3$.

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (Nếu học sinh làm không giống đáp án các thầy cô giáo chấm và cho điểm tương ứng.)

Câu 1a (0.5 điểm): Do $0<x<90^0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sin x>0\\ \cos x>0\\ \tan x>0\\ \cot x>0\end{array}$. (0.25)

Từ đó với $\cos x=\frac{3}{5}\Rightarrow \sin x=\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\frac{4}{5}$. (0.25)

$\Rightarrow \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{4}{3}$. Vậy....

Câu 1b (1 điểm): Ta có $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \left[\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})\iff \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}\right](k\in \mathbb{Z})$ (0.25)

Với $0\le x\le 2\pi$ ta có $\{\begin{array}{l}0\le -\frac{\pi }{12}+k2\pi \le 2\pi \\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{24}\le k\le \frac{25}{24}\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff k=1$ nghiệm là $x=\frac{23\pi }{12}$. (0.25)

$\{\begin{array}{l}0\le -\frac{7\pi }{12}+k2\pi \le 2\pi \\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\frac{7}{24}\le k\le \frac{31}{24}\\ k\in \mathbb{Z}\end{array}\iff k=1\Rightarrow x=\frac{17\pi }{12}$. (0.25)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn $0\le x\le 2\pi$. (0.25)

Lưu ý: đề bài ghi $\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ nhưng lời giải gốc dùng $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ — không nhất quán theo bản gốc.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng cặp góc bù: ${\cos }^2{k}^0+{\cos }^2(90^0-k^0)={\cos }^2{k}^0+{\sin }^2{k}^0=1$. Các góc từ $1^0$ đến $89^0$ tạo thành 44 cặp như vậy, cộng thêm ${\cos }^{2}90^0=0$. Vậy $A=44\cdot 1+0=44,5$... kiểm tra lại: 44 cặp cho 44, cộng ${\cos }^{2}90^0=0$, nhưng còn thiếu? Thực ra các cặp là $(1,89),(2,88),\dots ,(44,46)$ — 44 cặp, góc $45^0$ đứng riêng: ${\cos }^{2}45^0=1/2$. Vậy $A=44+0,5+0=44,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 44,5.

Lời giải chính thức: Ta có $\tan \alpha =2$ nên $\cos \alpha \ne 0$. (0,25) Chia cả tử và mẫu của $P$ cho ${\cos }^2\alpha$ ta được $$P=\frac{3{\tan }^2\alpha -2\tan \alpha +1+{\tan }^2\alpha }{3-4{\tan }^2\alpha }=-1$$ (0,25)

Lời giải chính thức: Ta có $\tan \alpha =2$ nên $\cos \alpha \ne 0$. (0,25) Chia cả tử và mẫu của $P$ cho ${\cos }^2\alpha$ ta được $$P=\frac{3{\tan }^2\alpha -2\tan \alpha +1+{\tan }^2\alpha }{3-4{\tan }^2\alpha }=-1$$ (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Chia cả tử và mẫu cho $\cos \alpha$ (vì $\cos \alpha \ne 0$ do $\tan \alpha =4$): $A=\frac{3\tan \alpha +4}{2\tan \alpha -7}=\frac{3\cdot 4+4}{2\cdot 4-7}=\frac{16}{1}=16$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 16.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^0<\alpha <180^0$, ta có các công thức góc bù: $\sin (180^0-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng), $\cos (180^0-\alpha )=-\cos \alpha$ (đúng), nên $\tan (180^0-\alpha )=-\tan \alpha$ với $\alpha \ne 90^0$ (đúng). Do đó mệnh đề $\cos (180^0-\alpha )=\cos \alpha$ là sai. Khớp với đáp án nguồn D.