Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông cân tại $B^{\prime }$ (hai cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }=a$), nên góc $\widehat{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ (cùng nằm trong mặt bên $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ và song song), góc giữa $BD$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $BD$ và $BC$. Trong hình vuông $ABCD$, tam giác $BCD$ vuông cân tại $C$ nên $\widehat{DBC}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $BD$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$ (vì $A^{\prime }D{C}^{\prime }{B}^{\prime }$... xét: $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$ do $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel DC$ và $DC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$... cụ thể $A^{\prime }DC{B}^{\prime }$ là hình bình hành nên $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$). Do đó góc giữa $AC$ và $A^{\prime }D$ bằng góc giữa $AC$ và $B^{\prime }C$. Xét tam giác $A{B}^{\prime }C$: $AC=a\sqrt{2}$, $B^{\prime }C=a\sqrt{2}$, $A{B}^{\prime }=a\sqrt{2}$ nên tam giác $A{B}^{\prime }C$ đều, suy ra góc $\widehat{AC{B}^{\prime }}=60^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A^{\prime }D$ bằng $60^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel DC$ nên góc giữa $AB$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng góc giữa $DC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$. Xét tam giác $D{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (hoặc dùng đường chéo $D^{\prime }{C}^{\prime }$): vì $DC\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ nên góc giữa $DC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng góc giữa $D^{\prime }{C}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$, tức là góc $B^{\prime }{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ trong tam giác $B^{\prime }{D}^{\prime }{C}^{\prime }$. Tam giác $B^{\prime }{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp C^{\prime }{D}^{\prime }$ (hai cạnh kề của mặt bên), và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ là đường chéo hình vuông $B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ nên tam giác $B^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ vuông cân tại $C^{\prime }$, do đó góc $B^{\prime }{D}^{\prime }{C}^{\prime }=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $AB$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn: chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Xét mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ là hình vuông, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường chéo nên tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông cân tại $B^{\prime }$ với $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$, suy ra góc $\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}=45^0$. Vậy góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^0$, chọn đáp án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (10B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AD\parallel BC$ nên góc giữa $AD$ và $SB$ bằng góc giữa $BC$ và $SB$. Xét tam giác $SBC$: $SB=SC=BC=a$ (tất cả các cạnh đều bằng $a$), do đó tam giác $SBC$ đều, góc $SBC=60^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $SB$ bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1),B^{\prime }(1;0;1),C^{\prime }(1;1;1),D^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(0;1;1)$. Xét từng phương án: $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(0;0;1)$, tích vô hướng $=1\ne 0$; $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, tích vô hướng $=1\ne 0$; $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0;1;1)$ cùng phương với $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ (song song, không vuông góc); $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;1;-1)$, tích vô hướng $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }D}=0+1-1=0$. Vậy $A^{\prime }D\perp B{C}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra $MN\parallel AC$. Do đó góc giữa $OC$ và $MN$ bằng góc giữa $OC$ và $AC$. Tam giác $OAC$ vuông tại $O$ (vì $OC\perp OA$) và $OA=OC=a$ nên tam giác vuông cân, góc $OCA=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $OC$ và $MN$ bằng $45^{\circ }$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp có tất cả các mặt là hình vuông nên là hình lập phương. Gán tọa độ với cạnh bằng 1: $A(0,0,1)$, $B(1,0,1)$, $C(1,1,1)$, $D(0,1,1)$, $E(0,0,0)$, $F(1,0,0)$, $G(1,1,0)$, $H(0,1,0)$. Khi đó vector $\overrightarrow{CH}=H-C=(-1,0,-1)$ và vector $\overrightarrow{BF}=F-B=(0,0,-1)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos (CH,BF)=\frac{|\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{BF}|}{|\overrightarrow{CH}|\cdot |\overrightarrow{BF}|}=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Vậy góc giữa $CH$ và $BF$ bằng $45^{\circ }$, khớp với đáp án nguồn 45.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song hoặc trùng với $a$ và $b$, nên số đo của nó thuộc $[0^{\circ };90^{\circ }]$. Do đó A sai (nói đến $180^{\circ }$), B sai (hai đường thẳng song song có góc giữa bằng $0^{\circ }$), C sai (góc giữa hai vectơ chỉ phương có thể là góc tù, khi đó góc giữa hai đường thẳng là góc bù của nó, tức lấy giá trị trong $[0^{\circ };90^{\circ }]$). Chỉ mệnh đề D đúng, khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$). Xét đáy $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $AC\perp BD$. Do đó $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Vậy góc giữa đường thẳng $AC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\parallel CD$. Theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, góc giữa $SC$ và $AB$ bằng góc giữa $SC$ và $CD$ (đường thẳng song song thay thế). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: A'B' song song AB, mà AC không vuông góc với AB (AC là đường chéo hình vuông ABCD, tạo với AB góc 45°), nên $AC\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ là mệnh đề SAI. Các mệnh đề còn lại đúng: $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)\Rightarrow A{A}^{\prime }\perp BC$; $B{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })\Rightarrow B{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$; $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel AD$ (cùng vuông góc AB trong mặt phẳng (ADD'A')) nên $AB\perp A^{\prime }{D}^{\prime }$. Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hình lập phương cạnh $a$ với tọa độ $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $A^{\prime }(0,0,a)$, $B^{\prime }(a,0,a)$, $C^{\prime }(a,a,a)$. Khi đó $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a,0,a)$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a,a,0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=a^2+0+0=a^2\ne 0$... kiểm tra lại: thực chất $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a,a,0)$, tích vô hướng $=a^2+0+0=a^2$. Xét lại cẩn thận: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a,0,a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a,a,0)$, tích vô hướng $a\cdot a+0\cdot a+a\cdot 0=a^2$, $\cos =\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, suy ra góc bằng $60^{\circ }$. Vậy góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $60^{\circ }$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SBC$, $I$ là trung điểm $SC$, $J$ là trung điểm $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel SB$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $IJ$ và $SC$ bằng góc giữa $SB$ và $SC$, tức là góc $\widehat{BSC}$ của tam giác $SBC$. Vì tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng $a$ nên tam giác $SBC$ cân tại $S$ với $SB=SC=a$ và $BC=a$, tức là tam giác đều. Vậy $\widehat{BSC}=60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $SC$, $J$ là trung điểm $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SBC$, suy ra $IJ\parallel SB$. Do đó góc $(IJ,CD)=(SB,CD)$. Vì $ABCD$ là hình vuông (tất cả cạnh bằng $a$) nên $CD\parallel AB$, do đó $(SB,CD)=(SB,AB)$. Tam giác $SAB$ có $SA=SB=AB=a$ là tam giác đều, nên góc giữa $SB$ và $AB$ bằng $60^{\circ }$. Vậy góc $(IJ,CD)=60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A: $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (hai đường chéo của hai mặt song song) và $BD\perp AC$ (hai đường chéo vuông góc của hình vuông $ABCD$), nên góc giữa $AC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Đúng.
- B: $B^{\prime }{D}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ song song với đáy, còn $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mặt phẳng này, nên $A{A}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$, góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$. Khẳng định SAI.
- C: $AD\parallel BC$, tam giác $B^{\prime }BC$ vuông cân tại $B$ ($B^{\prime }B=BC$) nên góc giữa $BC$ và $B^{\prime }C$ bằng $45^{\circ }$. Đúng.
- D: $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và $BD\perp AC$, nên góc giữa $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Đúng.
Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SB\perp BC$ và $SB\perp BA$ với $BA,BC$ cắt nhau tại $B$ nên $SB\perp (ABCD)$. Do $DA\parallel BC$, góc giữa $SC$ và $DA$ bằng góc giữa $SC$ và $BC$, tức là góc $\widehat{SCB}$ trong tam giác $SBC$ vuông tại $B$. Ta có $SB=\sqrt{5}a$, $BC=a$ nên $SC=\sqrt{S{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6}a$. Khi đó $\cos \widehat{SCB}=\frac{BC}{SC}=\frac{1}{\sqrt{6}}$, suy ra góc $\approx 65,91^{\circ }$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\parallel AB$ nên góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $AB$, tức là góc $A^{\prime }BA$. Tam giác $A^{\prime }BA$ vuông tại $A$ (vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$) và $A{A}^{\prime }=AB$ (cạnh hình lập phương), nên tam giác vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat{A^{\prime }BA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và $AB\perp BC$ (vì $ABCD$ là hình vuông). Suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp BC$. Kiểm tra các phương án khác: đặt cạnh lập phương bằng 1 với hệ trục $B(0,0,0)$, $C(1,0,0)$, $A(0,1,0)$, $D^{\prime }(1,1,1)$ thì $\overrightarrow{BC}=(1,0,0)$; $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(1,1,1)$ có tích vô hướng với $\overrightarrow{BC}$ bằng $1\ne 0$; $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(1,0,1)$ tích vô hướng bằng $1\ne 0$; $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(1,0,1)$ tích vô hướng bằng $1\ne 0$. Vậy chỉ có $A^{\prime }{B}^{\prime }$ vuông góc với $BC$. Đáp án B.