Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 101: Với $x\le 1$, $f(x)=-\frac{x}{2}$ nên $f(1)=-\frac{1}{2}$ → a đúng. Với $x>1$: $\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$, do đó ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=\frac{-1}{2}\ne \frac{1}{2}$ → b sai. ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\frac{1}{2}$ → c đúng. Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=-\frac{1}{2}$ nên hàm số liên tục tại $x_0=1$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x=1$ thuộc nhánh $x\le 1$ nên $f(1)=-\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\le 1$, $f(x)=-\frac{x}{2}$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=-\frac{1}{2}$ nên hàm số liên tục tại $x_0=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 102: a) Thay trực tiếp $x=2$: ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{4+2-2}{2-1}=4\ne 3$ nên mệnh đề a) SAI. b) Với $x\to 1$, $x\ne 1$: $\frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2\to 3$, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=3$, mệnh đề b) ĐÚNG. c) $f(1)=2a-1$ phụ thuộc $a$, không xác định được bằng 1 với mọi $a$, nên mệnh đề c) SAI. d) Với $a=2$: $f(1)=2\cdot 2-1=3={\lim }_{x\to 1}f(x)$, nên hàm số liên tục tại $x=1$, mệnh đề d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay trực tiếp $x=2$: $\frac{4+2-2}{2-1}=4\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$: $\frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2\to 3$ khi $x\to 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=2a-1$ phụ thuộc tham số $a$, không luôn bằng 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=2$: $f(1)=3={\lim }_{x\to 1}f(x)$ nên hàm liên tục tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 133.

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ (mẫu $x^3+1\ne 0$ khi $x\ne -1$, và tại $x=-1$ hàm được định nghĩa $f(-1)=\frac{4}{3}$).

Với $x\ne -1$, hàm số là hàm phân thức nên liên tục. Xét tại $x=-1$:
$$\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3+x+2}{x^3+1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{(x+1)(x^2-x+2)}{(x+1)(x^2-x+1)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2-x+2}{x^2-x+1}=\frac{1+1+2}{1+1+1}=\frac{4}{3}.$$

Vì ${\lim }_{x\to -1}f(x)=\frac{4}{3}=f(-1)$ nên hàm số liên tục tại $x=-1$. Kết luận: hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, hàm số là hàm đa thức nên liên tục. Xét tại $x=2$:
$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }(x^2-3x+4)=4-6+4=2,$$
$$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(2x+1)=5.$$

Vì ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)$ nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)$ không tồn tại, do đó hàm số không liên tục tại $x=2$ (dù $f(2)=5={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)$).

Kết luận: hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, gián đoạn tại $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=m$. Với $x\ne 2$: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2+2=4$. Vậy $m=4$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$: $x^3-x^2+2x-2=x^2(x-1)+2(x-1)=(x-1)(x^2+2)$, nên $f(x)=x^2+2$ khi $x\ne 1$. Do đó $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=1^2+2=3$. Hàm số liên tục tại $x_0=1$ khi và chỉ khi $f(1)=3+m=3$, suy ra $m=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$: $f(x)=\frac{x^2-x}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}=x$, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=1$. Mà $f(1)=1$, nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)=f(1)$, hàm số liên tục tại $x=1$. Vậy khẳng định A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=m$. Với $x\ne 2$: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2+2=4$. Vậy $m=4$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=1-2=-1$. Vì $f(1)=m$ nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=m$. Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)$, tức $m=-1$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1$. Khi đó ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2-1=1$. Hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi $f(2)=a={\lim }_{x\to 2}f(x)=1$. Vậy $a=1$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\le 2$, $f(x)=x$ nên $f(2)=2$ → a đúng. Với $x>2$: $f(3)=\frac{9+12-12}{9-4}=\frac{9}{5}\ne \frac{4}{5}$ → b sai. Trên khoảng $(2,+\infty )$, $f(x)=\frac{(x+6)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+6}{x+2}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định và liên tục tại $x=3$ → c đúng. Tại $x=2$: $f(2)=2$; giới hạn trái ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=2$; giới hạn phải ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{x+6}{x+2}=\frac{8}{4}=2$. Cả ba giá trị bằng nhau nên hàm số liên tục tại $x=2$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $2\le 2$ nên dùng nhánh $f(x)=x$, suy ra $f(2)=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)=\frac{3^2+4\cdot 3-12}{3^2-4}=\frac{9}{5}\ne \frac{4}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>2$, $f(x)=\frac{x+6}{x+2}$ (rút gọn) là hàm phân thức liên tục tại $x=3$ vì mẫu khác 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=2$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=2$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{x+6}{x+2}=2$, ba giá trị bằng nhau nên hàm liên tục tại $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$. Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$, nên $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$. Do đó cần $3m=4\Rightarrow m=\frac{4}{3}\approx 1,33$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên mỗi miền $x<-4$ và $x>-4$ (hàm phân thức liên tục trên $x<-4$ vì $x-4\ne 0$, hàm đa thức liên tục trên $x\ge -4$). Chỉ cần xét tại $x=-4$. Giới hạn trái: ${\lim }_{x\to -4^{-}}\frac{3x+2}{x-4}=\frac{-12+2}{-8}=\frac{5}{4}$. Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to -4^{+}}(x^2+5x-2)=16-20-2=-6=f(-4)$. Vì $\frac{5}{4}\ne -6$ nên hàm số gián đoạn tại $x_0=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}=\frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=x-3$ (với $x\ne 1$). Do đó ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(x-3)=-2$. Với $x\le 1$: $f(x)=ax-3$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=a-3$ và $f(1)=a-3$. Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=f(1)$, tức $-2=a-3\iff a=1$. Vậy $a=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tại $x_0=1$.

Ta có $f(1)=2(1)-1=1$.

Giới hạn trái: với $x<1$, $f(x)=\frac{2x^2-x-1}{x-1}=\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1}=2x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=2(1)+1=3$.

Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(2x-1)=1$.

Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=3\ne 1={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)$ không tồn tại.

Kết luận: Hàm số $y=f(x)$ không liên tục tại $x_0=1$ (gián đoạn loại I, do giới hạn trái khác giới hạn phải).

(AI giải đề cho tôi)
Với x>1, rút gọn f(x)=(x²-3x+2)/(x²-1)=((x-1)(x-2))/((x-1)(x+1))=(x-2)/(x+1). a) Với x→0 (x≤1), f(x)=-x/2→0, không phải -2 ⇒ SAI. b) lim_{x→3} f(x)=(3-2)/(3+1)=1/4, hữu hạn ⇒ SAI. c) lim_{x→+∞}(x-2)/(x+1)=1 ⇒ ĐÚNG. d) f(1)=-1/2; lim_{x→1⁻}(-x/2)=-1/2; lim_{x→1⁺}(x-2)/(x+1)=-1/2. Ba giá trị bằng nhau nên hàm liên tục tại x=1 ⇒ ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì x→0 thuộc nhánh x≤1 nên lim_{x→0} f(x)=lim(-x/2)=0 ≠ -2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x>1, f(x)=(x-2)/(x+1), nên lim_{x→3} f(x)=1/4 ≠ +∞.
c) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→+∞}(x-2)/(x+1)=lim(1-2/x)/(1+1/x)=1.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(1)=-1/2, trái lim=-1/2, phải lim=(1-2)/(1+1)=-1/2; ba giá trị bằng nhau nên f liên tục tại x=1.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $f(x)=x^7-3x+1$, liên tục trên $\mathbb{R}$. Ta có $f(0)=1>0$ và $f(1)=1-3+1=-1<0$. Vì $f$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và $f(0)\cdot f(1)<0$, theo định lý giá trị trung gian (định lý Bolzano), tồn tại $c\in (0;1)$ sao cho $f(c)=0$. Vậy phương trình $x^7-3x+1=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)$.

Tính giới hạn (dạng $\frac{0}{0}$):
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{10-x}-3}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(\sqrt{10-x}-3)(\sqrt{10-x}+3)}{(x-1)(\sqrt{10-x}+3)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{10-x-9}{(x-1)(\sqrt{10-x}+3)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-(x-1)}{(x-1)(\sqrt{10-x}+3)}=\frac{-1}{\sqrt{9}+3}=-\frac{1}{6}.$$

Ta có $f(1)=(m+1)\cdot 1-\frac{1}{6}=m+\frac{5}{6}$.

Yêu cầu liên tục: $m+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}\Rightarrow m=-1$.

Vậy $m=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $x\ne -1$: $f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x+1}=\frac{(x-3)(x+1)}{x+1}=x-3$. Suy ra $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1}{\lim }(x-3)=-4$.
Hàm số liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi $f(-1)=\underset{x\to -1}{\lim }f(x)$, tức $4-2a^2=-4\iff 2a^2=8\iff a^2=4\iff a=\pm 2$.
Vậy $a=\pm 2$.

b) Xét $g(x)=x^5-x-3$, hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ta có $g(1)=1-1-3=-3<0$ và $g(2)=32-2-3=27>0$.
Vì $g$ liên tục trên đoạn $[1;2]$ và $g(1)\cdot g(2)<0$, theo định lý giá trị trung gian, phương trình $g(x)=0$ tức $x^5-x-3=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(1;2)$.
Vậy phương trình $x^5-x-3=0$ có nghiệm (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=m$. Với $x\ne 2$: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2+2=4$. Vậy $m=4$, chọn đáp án A.