Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $N=50000$: $30000+20000\sin \left(\frac{\pi t}{10}\right)=50000\Rightarrow \sin \left(\frac{\pi t}{10}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{10}=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=5+20k$, $k\in \mathbb{Z}$. Năm đầu tiên (giá trị nhỏ nhất của $t\ge 0$) là $t=5$ năm. Vậy năm đầu tiên số lượng hươu đạt 50 nghìn con là năm thứ 5.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV):

a) $\sin x=\sin \left(-\frac{2\pi }{7}\right)$.

Phương trình $\sin x=\sin \alpha$ có họ nghiệm $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Với $\alpha =-\frac{2\pi }{7}$:
- $x=-\frac{2\pi }{7}+k2\pi$;
- $x=\pi +\frac{2\pi }{7}+k2\pi =\frac{9\pi }{7}+k2\pi$.

Vậy $x=-\frac{2\pi }{7}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{9\pi }{7}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) $\cot \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)-1=0\iff \cot \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=1$.

Điều kiện: $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\ne k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

$\cot \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff \frac{x}{2}=k\pi \iff x=2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra điều kiện: với $x=2k\pi$ thì $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=k\pi +\frac{\pi }{4}\ne k^{\prime }\pi$, thỏa mãn.

Vậy $x=2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định luật khúc xạ: $\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{n_2}{n_1}$ với $i=53^{\circ }$, $n_1=1$, $n_2=1,53$.

$$\sin r=\frac{n_1\sin i}{n_2}=\frac{\sin 53^{\circ }}{1,53}\approx \frac{0,7986}{1,53}\approx 0,5221.$$

Suy ra $r=\arcsin (0,5221)\approx 31,5^{\circ }$. Vậy góc khúc xạ khoảng $31,5^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Bóng bằng chiều cao khi $S(t)=100$, tức $100\left|\sin \frac{\pi }{6}t\right|=100\Rightarrow \left|\sin \frac{\pi }{6}t\right|=1\Rightarrow \frac{\pi }{6}t=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=3+6k$. Với $t\ge 0$, giá trị nhỏ nhất là $t=3$, tức $a=6+3=9$ giờ sáng.

a) Sai. Ta có: $f(x)=2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$. Suy ra có 4 nghiệm thuộc đoạn $\left[0;4\pi \right]$.
b) Sai.
c) Đúng. $f(x)=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=\frac{1}{2}$.
d) Sai. Vì $f(x)+\sqrt{2}=0\iff 2\sin x-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0\iff \sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
a) Sai. Ta có: $f(x)=2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$. Suy ra có 4 nghiệm thuộc đoạn $\left[0;4\pi \right]$.
b) Sai.
c) Đúng. $f(x)=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=\frac{1}{2}$.
d) Sai. Vì $f(x)+\sqrt{2}=0\iff 2\sin x-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0\iff \sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

a) Sai. Ta có: $f(x)=2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$. Suy ra có 4 nghiệm thuộc đoạn $\left[0;4\pi \right]$.
b) Sai.
c) Sai. Vì $f(x)+\sqrt{2}=0\iff 2\sin x-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0\iff \sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) Đúng. $f(x)=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=\frac{1}{2}$.
a) Sai. Ta có: $f(x)=2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$. Suy ra có 4 nghiệm thuộc đoạn $\left[0;4\pi \right]$.
b) Sai.
c) Sai. Vì $f(x)+\sqrt{2}=0\iff 2\sin x-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0\iff \sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) Đúng. $f(x)=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=\frac{1}{2}$.

Đáp án mã đề 112, câu 13: SSĐĐ (a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng).
a) Vì $f(-x)=2\sin (-x)+1=-2\sin x+1\ne -f(x)$, nên hàm số không phải hàm số lẻ. Sai.
b) $f(x)=0\iff \sin x=-\frac{1}{2}\iff x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khẳng định trong đề sai.
c) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $\max f(x)=2\cdot 1+1=3$. Đúng.
d) $f(x)=1\iff \sin x=0\iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Trên $[0;2\pi ]$ có $x=0,\pi ,2\pi$: đúng 3 nghiệm phân biệt. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$, nên $\sin 2x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$.

Trường hợp 1: $2x=\frac{\pi }{2}-3x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$. Với $x\in [0;\pi ]$: $x=\frac{\pi }{10},\frac{\pi }{2},\frac{9\pi }{10}$ (3 nghiệm).

Trường hợp 2: $2x=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-3x\right)+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{2}-2k\pi$. Không có giá trị nào thuộc $[0;\pi ]$.

Vậy phương trình có 3 nghiệm trên $[0;\pi ]$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 16: 3).

Đáp án mã đề 2345: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\sin 2x+\sqrt{2}=0\iff \sin 2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. a) Sai: phương trình xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, không có điều kiện $x\ne \pi +k2\pi$. b) Sai: vì $-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$, nên phương trình tương đương $\sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$, không phải $\sin \frac{\pi }{4}$. c) Sai: với $x=\frac{\pi }{3}$ thì $2\sin \frac{2\pi }{3}+\sqrt{2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\ne 0$. d) Đúng: từ $\sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$ ta có $2x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{8}+k\pi$, hoặc $2x=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{8}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$. Kết quả khớp đáp án mã đề 1072: SSSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\sin 2x+\sqrt{2}=0$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, không cần điều kiện $x\ne \pi +k2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$, không phải $\sin \frac{\pi }{4}$ (vì $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=\frac{\pi }{3}$: $2\sin \frac{2\pi }{3}+\sqrt{2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\ne 0$, nên không là nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$: $2x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{8}+k\pi$ hoặc $2x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{8}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.

Do $h=4\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+15=19$.
$$\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=1\iff \frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=k\cdot 2\pi \iff t=-2+12k.$$
$$0\le t\le 24\iff 0\le -2+12k\le 24\iff \frac{1}{6}\le k\le \frac{13}{6},k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=1;k=2$$
Vậy $t=10h;t=22h$ (Thang điểm 0.2 / 0.2 / 0.1).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \frac{\pi }{5}$. Công thức nghiệm: $\sin x=\sin \alpha \iff \{\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $\alpha =\frac{\pi }{5}$, họ nghiệm thứ hai là $x=\pi -\frac{\pi }{5}+l2\pi =\frac{4\pi }{5}+l2\pi$, $l\in \mathbb{Z}$. Vậy tập nghiệm là $\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{5}+k2\pi \\ x=\frac{4\pi }{5}+l2\pi \end{array}$, $k,l\in \mathbb{Z}$, trùng với đáp án A (khớp với đáp án của đề, mã đề 122, câu 3 là A). Các phương án B, C dùng chu kỳ $\pi$ sai vì $\sin (x+\pi )=-\sin x$; phương án D sai vì thiếu họ nghiệm $\frac{4\pi }{5}$.

$h=4\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+15=15.$
$\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff t=1+6k.$
Do $0\le t\le 24\iff 0\le 1+6k\le 24\iff \frac{-1}{6}\le k\le \frac{23}{6},k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k=0;k=1;k=2;k=3$
Vậy $t=1h;t=7h;t=13h;t=19h$ (Thang điểm 0.2 / 0.2 / 0.1).

Ta có: $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \{\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$.

$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$.

Vậy $S=\left\{-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z};-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$ là tập nghiệm của phương trình.

Ta có: $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \{\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$.

$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$.

Vậy $S=\left\{-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z};-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$ là tập nghiệm của phương trình.

(AI giải đề cho tôi)
a) Biên độ dao động là $A=8$, nên khi vật ở xa vị trí cân bằng nhất thì $s=8$ (m). b) Vật qua vị trí cân bằng khi $s=0$: $\cos \left(\frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow \frac{\pi }{2}t-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=\frac{5}{3}+2k,k\in \mathbb{Z}$. Với $0\le t\le 10$: $t=\frac{5}{3};\frac{17}{3};\frac{29}{3};\frac{41}{3};\frac{53}{3}$. Vậy lần thứ nhất là $t=\frac{5}{3}$ giây, lần thứ hai là $t=\frac{17}{3}$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=0\iff 2\sin x+1=0\iff \sin x=-\frac{1}{2}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array},k\in \mathbb{Z}$. a) Các nghiệm âm: từ họ thứ nhất lấy $k=0$ được $x=-\frac{\pi }{6}$; từ họ thứ hai lấy $k=-1$ được $x=\frac{7\pi }{6}-2\pi =-\frac{5\pi }{6}$. Nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{6}$, không phải $-\frac{5\pi }{6}$ → Sai. b) Đúng như nghiệm tổng quát ở trên → Đúng. c) $f(x+2\pi )=2\sin (x+2\pi )+1=f(x)$, chu kỳ $T=2\pi$ → Đúng. d) Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $\min f=-1$, $\max f=3$, tổng bằng $2\ne 0$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất là $x=-\frac{\pi }{6}$ (vì $-\frac{\pi }{6}>-\frac{5\pi }{6}$), nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=-\frac{1}{2}\iff x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, đúng như đề.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+2\pi )=2\sin (x+2\pi )+1=f(x)$ nên hàm tuần hoàn chu kỳ $T=2\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\min f=2(-1)+1=-1$, $\max f=2(1)+1=3$, tổng bằng $2\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\sqrt{3}$ có họ nghiệm $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được $x=60^{\circ }$ (dương), với $k=-1$ ta được $x=\frac{\pi }{3}-\pi =-\frac{2\pi }{3}=-120^{\circ }$. Các nghiệm với $k\le -2$ đều nhỏ hơn $-120^{\circ }$, nên nghiệm âm lớn nhất là $-120^{\circ }$. Vậy $a=-120$, khớp đáp án nguồn (bảng Phần III, cột 1).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, hai điểm $M$, $N$ trên đường tròn lượng giác có cùng tung độ bằng $\frac{1}{2}$ và đối xứng nhau qua trục $Oy$, tức là hai điểm có hoành độ $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ và tung độ $\frac{1}{2}$. Điều này tương ứng với $\sin x=\frac{1}{2}$, vì nghiệm của $\sin x=\frac{1}{2}$ là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, biểu diễn trên đường tròn bởi đúng 2 điểm $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$ — chính là $M$, $N$ trong hình.

Kiểm tra các phương án khác:
- A: $2\sin 2x=1\iff \sin 2x=\frac{1}{2}$ có 4 nghiệm trên $[0;2\pi )$ nên biểu diễn bởi 4 điểm.
- B: $2\cos x=1\iff \cos x=\frac{1}{2}$ cho 2 điểm đối xứng qua trục $Ox$ (khác hình vẽ).
- C: $2\cos 2x=1\iff \cos 2x=\frac{1}{2}$ có 4 nghiệm trên $[0;2\pi )$ nên biểu diễn bởi 4 điểm.

Vậy phương trình $2\sin x=1$ (phương án D) có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm $M$, $N$ như hình vẽ. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.