Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn D.
Phương trình tương đương:
${\log }_3(2x^2+1)-{\log }_{3}x+2(2x^2+1)-5x=0$.
Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng hoặc đánh giá, ta tìm được các nghiệm và tích của chúng bằng $\frac{1}{2}$.

Phương trình tương đương ${\log }_2(2-2ab)+(2-2ab)={\log }_2(a+b)+(a+b)\iff 2-2ab=a+b\iff a=\frac{2-b}{2b+1}$ (với $0<b<2$). Khi đó $P=a+2b=\frac{2-b}{2b+1}+2b=\frac{5}{2(2b+1)}+(2b+1)-\frac{3}{2}\ge 2\sqrt{\frac{5}{2}}-\frac{3}{2}=\frac{2\sqrt{10}-3}{2}$.

Biến đổi phương trình về hàm đặc trưng: $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2=6$. Điểm $(x;y)$ thuộc đường tròn tâm $I(2;2)$, bán kính $R=\sqrt{6}$. Sử dụng phương pháp hình học tìm được $P_{\max }=\frac{13-\sqrt{7}}{9}$. Chọn A.

Đặt $t=2^x,(t>0)$, phương trình đã cho trở thành $t^4-6t^3+8t^2-2mt-m^2=0(\ast ),t>0$.

Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(\ast )$ có đúng hai nghiệm dương phân biệt.

$(\ast )\iff (t^4-6t^3+9t^2)-(t^2+2mt+m^2)=0\iff [<table><tbody><tr><td>m=t^2-4t(1)</td></tr><tr><td>m=-t^2+2t(2)</td></tr></tbody></table>$.

Xét hai hàm số $f(t)=t^2-4t;g(t)=-t^2+2t$ trên khoảng $(0;+\infty )$ có đồ thị như sau:

[IMAGE_1]

Dựa vào đồ thị hai hàm số này ta suy ra phương trình $(\ast )$ có đúng hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $m\in \{0;1;-3;-4\}$ hay $S$ có $4$ phần tử.

Vậy $S$ có $2^4=16$ tập con.

Ta có $3^{x+y}-x^2(3^x-1)=(x+1)3^y-x^3\iff 3^y(3^x-x-1)=x^2(3^x-x-1)\iff (3^x-x-1)(3^y-x^2)=0$.

Ta thấy $3^x-x-1>0,\forall x>0\Rightarrow 3^y=x^2\iff y=2{\log }_{3}x\Rightarrow x=3^k,y=2k$.

Vì $(x,y)$ là cặp số nguyên dương và $x<2020\Rightarrow 3^k<2020\Rightarrow 1\le k\le 6\Rightarrow k\in \{1;2;3;4;5;6\}$ (có $6$ cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn).

Phương trình tương đương $5x^2+16y^2+27z^2=(xy+yz+xz{)}^2$. Đánh giá bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu được giá trị nhỏ nhất $P_{\min }=6$. Chọn A.

Điều kiện: $x^2+y^2>0$ và $2x+2y-2>0⟺x+y-1>0$.
Nhận xét: Vì $x,y$ có vai trò đối xứng như nhau nên nếu phương trình có nghiệm nguyên $(x_0;y_0)$ thì $(y_0;x_0)$ cũng là một nghiệm của phương trình.
Do đó điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất là $x_0=y_0$.
Thay vào phương trình ta được:
${\log }_{m^2+1}(2x_0^2)={\log }_2(4x_0-2)$.
Vì $x_0$ nguyên và $2x_0-1>0⟹x_0\ge 1⟹4x_0-2>1$.
Lại có $2x_0^2\ge 4x_0-2⟺2(x_0-1{)}^2\ge 0$ (luôn đúng).
Từ đó suy ra ${\log }_2(4x_0-2)={\log }_{m^2+1}(2x_0^2)\ge {\log }_{m^2+1}(4x_0-2)$
$⟹{\log }_{4x_0-2}(m^2+1)\ge {\log }_{4x_0-2}2⟹m^2+1\ge 2⟹m^2\ge 1$.
Mà $m\in [-1;1]$ nên $m=\pm 1$.
Điều kiện đủ:
Với $m=\pm 1⟹m^2+1=2$, phương trình trở thành:
${\log }_2(x^2+y^2)={\log }_2(2x+2y-2)⟺x^2+y^2=2x+2y-2⟺(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=0⟺\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$.
Suy ra với $m=\pm 1$, phương trình có nghiệm nguyên duy nhất là $(1;1)$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy có đúng 2 giá trị thực của $m$ thỏa mãn là $m=1$ và $m=-1$.

Đánh giá hai vế: $VT=4^{x^2+2}-1\ge 4^2-1=15$ hoặc sử dụng tính đơn điệu, đẳng thức xảy ra khi $x=2$ và $y=0$ (hoặc tương tự), suy ra $P=x+y=2$.

${\log }_3(3x^2-6x+6)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1\iff {\log }_{3}3(x^2-2x+2)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1$

$\iff 1+{\log }_3(x^2-2x+2)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1$

$\iff {\log }_3(x^2-2x+2)+(x^2-2x+2)=3^{y^2}+y^2(1).$

Đặt ${\log }_3(x^2-2x+2)=z\Rightarrow x^2-2x+2=3^z$ thì $(1)$ trở thành:

$\iff 3^z+z=3^{y^2}+y^2(2).$

Xét hàm số $f(t)=3^t+t\Rightarrow f^{\prime }(t)=3^t\ln 3+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$.

Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

$(2)\iff f(z)=f(y^2)\iff z=y^2.$

Thay trở lại cách đặt ta có: ${\log }_3(x^2-2x+2)=y^2\iff x^2-2x+2=3^{y^2}$.

Xét hàm số: $g(x)=x^2-2x+2,x\in (0;2020)\Rightarrow g^{\prime }(x)=2x-2$.

$g^{\prime }(x)=0\iff x=1$.

Bảng biến thiên:

[IMAGE_1]

Suy ra:

$\iff 1\le g(x)<4076362\iff 1\le 3^{y^2}<4076362\iff 0\le y^2<{\log }_{3}4076362.$

Do $y\in \mathbb{N}\Rightarrow 0\le y<\sqrt{{\log }_{3}4076362}\approx 3,7\Rightarrow y\in \{0;1;2;3\}$.

$\Rightarrow [<table><tbody><tr><td>g(x)=1</td></tr><tr><td>g(x)=3</td></tr><tr><td>g(x)=3^4</td></tr><tr><td>g(x)=3^9</td></tr></tbody></table>.$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ ta thấy mỗi phương trình trên có một nghiệm $0<x<2020$.

Vậy có $4$ cặp số $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.

Xét hàm số $h(x)=4^{-x}-3x+{\log }_4(m-x)-2m+2$ trên $[-1;1]\cap (-\infty ;m)$. Để tồn tại $x\in [-1;1]$ sao cho $m-x>0$ thì $m>-1$, mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\ge 0$. Trên $[-1;\min (1,m))$, hàm số $h(x)$ liên tục và nghịch biến vì $h^{\prime }(x)=-4^{-x}\ln 4-3-\frac{1}{(m-x)\ln 4}<0$.
- Với $m\in \{0;1\}$: ${\lim }_{x\to m^{-}}h(x)=-\infty$ và $h(-1)=9+{\log }_4(m+1)-2m>0$, nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất thuộc $(-1;m)\subset [-1;1]$.
- Với $m\ge 2$: phương trình có nghiệm thuộc $[-1;1]\iff h(1)\le 0\le h(-1)$. Ta có $h(1)=-\frac{3}{4}+{\log }_4(m-1)-2m<0$ luôn đúng với mọi $m\ge 2$, còn $h(-1)=9+{\log }_4(m+1)-2m\ge 0\iff 2m-{\log }_4(m+1)\le 9\iff m\in \{2;3;4;5\}$.
Vậy $S=\{0;1;2;3;4;5\}$ có $6$ phần tử.

Phương trình tương đương $(1+{\log }_{a}x)(1+{\log }_{b}x)=2020\iff \left(1+\frac{\ln x}{\ln a}\right)\left(1+\frac{\ln x}{\ln b}\right)=2020\iff {\ln }^{2}x+(\ln a+\ln b)\ln x-2019\ln a\ln b=0$. Theo định lý Vi-ét đối với ẩn $u=\ln x$: $\ln x_1+\ln x_2=-(\ln a+\ln b)\iff \ln (x_1{x}_2)=\ln \left(\frac{1}{ab}\right)\iff x_1{x}_2=\frac{1}{ab}$. Khi đó $P=\frac{6}{ab}+a+b+\frac{3}{4a}+\frac{12}{b}=\left(\frac{2a}{3}+\frac{b}{4}+\frac{6}{ab}\right)+\left(\frac{a}{3}+\frac{3}{4a}\right)+\left(\frac{3b}{4}+\frac{12}{b}\right)$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số dương: $P\ge 3\sqrt[3]{\frac{2a}{3}\cdot \frac{b}{4}\cdot \frac{6}{ab}}+2\sqrt{\frac{a}{3}\cdot \frac{3}{4a}}+2\sqrt{\frac{3b}{4}\cdot \frac{12}{b}}=3+1+6=10$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{3}{2}$ và $b=4$, suy ra $a+b=\frac{11}{2}=5,5\in \left(\frac{16}{3};\frac{13}{2}\right)$.

+) Vế trái: ${\log }_2(1-a^2-b^2+2b)={\log }_2(2-a^2-(b-1{)}^2)\le {\log }_{2}2=1$ (1).
+) Xét vế phải: $f(a)=\frac{2^a}{4^a+1}+\frac{4^a}{2^a+1}+\frac{1}{2^a+4^a}-\frac{1}{2}$ với $a\in [-1;1]$.
Đặt $t=2^a$, với $a\in [-1;1]⟹t\in [\frac{1}{2};2]$.
Khi đó $g(t)=\frac{t}{t^2+1}+\frac{t^2}{t+1}+\frac{1}{t(t+1)}-\frac{1}{2}=\frac{t}{t^2+1}+t-1+\frac{1}{t}-\frac{1}{2}$.
Ta có ${\min }_{[1/2;2]}g(t)=g(1)=1⟹f(a)\ge 1,\forall a\in [-1;1]$ (2).
Từ (1) và (2), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}{\log }_2(1-a^2-b^2+2b)=1\\ f(a)=1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=0\\ b=1\end{array}$.
Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị hữu tỉ $a=0$ thỏa mãn.

Chọn A.
Đặt $t=x^2-2y$. Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
$4+9\cdot 3^t=(4+9^t)\cdot 7^{2-t}⟺\frac{4+9\cdot 3^t}{7^2}=\frac{4+(3^t{)}^2}{7^t}⟺\frac{4+3^{t+2}}{7^{t+2}}=\frac{4+3^{2t}}{7^{2t}}$ (hoặc xét tính đơn điệu của hàm đặc trưng).
Xét hàm số $g(u)=(4+3^u)\cdot 7^{-u}$, ta có phương trình có nghiệm duy nhất $t=2$.
Suy ra $x^2-2y=2⟺2y=x^2-2$.
Thay vào phương trình thứ hai của hệ:
$2x-1=\sqrt{x^2-2-2x+m}⟺\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ (2x-1{)}^2=x^2-2x-2+m\end{array}$
$⟺\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ 4x^2-4x+1=x^2-2x-2+m\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ 3x^2-2x+3=m\end{array}$.
Xét hàm số $h(x)=3x^2-2x+3$ trên $[\frac{1}{2};+\infty )$.
Ta có $h^{\prime }(x)=6x-2=0⟺x=\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$.
Do đó trên $[\frac{1}{2};+\infty )$, hàm số $h(x)$ đồng biến, suy ra $h(x)\ge h(1/2)=3(\frac{1}{4})-2(\frac{1}{2})+3=\frac{3}{4}-1+3=\frac{11}{4}=2,75$.
Để hệ phương trình có nghiệm thì $m\ge \frac{11}{4}=2,75$.
Kết hợp với điều kiện $m$ nguyên và $m\in (-2019;2020)$, ta có:
$3\le m\le 2019,m\in \mathbb{Z}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là: $2019-3+1=2017$.

Ta có ${\log }_a^{2}b+{\log }_b^{2}c+2{\log }_b\frac{c}{b}={\log }_a\frac{c}{a^{3}b}\iff {\log }_a^{2}b+{\log }_b^{2}c={\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c-{\log }_{a}b-2{\log }_{b}c-1$ $(1)$.

Đặt $x={\log }_{a}b,y={\log }_{b}c$, ta có $P=x-y\iff y=x-P$.

Khi đó $(1)$ trở thành: $x^2+(x-P{)}^2=x(x-P)-x-2(x-P)-1\iff x^2+(3-P)x+(P-1{)}^2=0$ $(2)$.

Phương trình $(2)$ có nghiệm $\iff \Delta =(3-P{)}^2-4(P-1{)}^2\ge 0\iff -1\le P\le \frac{5}{3}$.

Vậy $M=\frac{5}{3},m=-1$ nên $S=2m^2+9M^2=2(-1{)}^2+9{\left(\frac{5}{3}\right)}^2=27$.

[IMAGE_1]

Phương trình $\iff 4^{-|x-m|}\cdot {\log }_{\sqrt{2}}(x^2-2x+3)=2^{2x-x^2}\cdot {\log }_2(2|x-m|+2)$

$\iff 2^{x^2-2x+3}\cdot {\log }_2(x^2-2x+3)=2^{2|x-m|+2}\cdot {\log }_2(2|x-m|+2)$ $(\ast )$.

Xét hàm số $f(t)=2^t{\log }_{2}t$ đồng biến trên $[2;+\infty )$, suy ra:

$(\ast )\iff x^2-2x+3=2|x-m|+2\iff (x-1{)}^2=2|x-m|$ $(1)$.

Bằng cách vẽ đồ thị ta thấy $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt khi $m=\frac{1}{2},m=1,m=\frac{3}{2}$.

Vậy tổng các giá trị của $m$ là $\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}=3$.

Đặt ${\log }_6(2020x+m)={\log }_4(1010x)=t$.
Khi đó:
$1010x=4^t⟹2020x=2\cdot 4^t$.
$2020x+m=6^t⟹2\cdot 4^t+m=6^t⟺m=6^t-2\cdot 4^t$.
Xét hàm số $g(t)=6^t-2\cdot 4^t$ với $t\in \mathbb{R}$:
$g^{\prime }(t)=6^t\ln 6-2\cdot 4^t\ln 4=0⟺{\left(\frac{6}{4}\right)}^t=\frac{2\ln 4}{\ln 6}=\frac{\ln 16}{\ln 6}⟹t_0={\log }_{1.5}\left(\frac{\ln 16}{\ln 6}\right)$.
Tại $t_0$, hàm số đạt cực tiểu với $g(t_0)\approx -2.01$.
Khi $t\to +\infty$, $g(t)\to +\infty$.
Do đó miền giá trị của $g(t)$ là $[g(t_0);+\infty )$ với $g(t_0)\in (-3;-2)$.
Để phương trình có nghiệm thì $m\ge g(t_0)⟹m\in \{-2;-1;0;1;\dots ;2019\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ nhỏ hơn 2020 là $2019-(-2)+1=2022$ giá trị.

Từ giả thiết $a^{{\log }_{b}x}=b^{{\log }_a(x^2)}$, lấy logarit cơ số tự nhiên hai vế:
${\log }_{b}x\cdot \ln a={\log }_a(x^2)\cdot \ln b⟺\frac{\ln x}{\ln b}\cdot \ln a=2\frac{\ln x}{\ln a}\cdot \ln b$.
Vì $0<x\ne 1$ nên $\ln x\ne 0$. Do đó:
$\frac{\ln a}{\ln b}=2\frac{\ln b}{\ln a}⟺{\left(\frac{\ln a}{\ln b}\right)}^2=2$.
Vì $a>1,b>1$ nên $\frac{\ln a}{\ln b}>0⟹\ln a=\sqrt{2}\ln b$.
Biểu thức $P$ trở thành:
$P=(\sqrt{2}\ln b{)}^2+{\ln }^{2}b-\ln (a\cdot b)=2{\ln }^{2}b+{\ln }^{2}b-(\ln a+\ln b)$
$=3{\ln }^{2}b-(\sqrt{2}+1)\ln b$.
Đặt $t=\ln b>0$, ta có tam thức bậc hai $g(t)=3t^2-(\sqrt{2}+1)t$.
Giá trị nhỏ nhất của $g(t)$ đạt tại $t=\frac{\sqrt{2}+1}{6}>0$:
$P_{\min }=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{(\sqrt{2}+1{)}^2}{4\cdot 3}=-\frac{2+2\sqrt{2}+1}{12}=-\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$.

Chọn A.
Đặt ${\log }_6(2020^x+m)={\log }_4(1010^x)=t$.
Khi đó: $1010^x=4^t⟹2020^x=(2\cdot 1010{)}^x=2^x\cdot 4^t$. Mà $1010^x=4^t⟹x=t{\log }_{1010}4$, nên $2020^x=2\cdot 1010^x$? Không, để ý $2020^x=2^x\cdot 1010^x$. Ở đây phương trình gốc là $2020^x+m=6^t$ và $1010^x=4^t⟹(2\cdot 1010{)}^x=2^x\cdot 4^t$. Mặt khác nếu coi $2020=2\cdot 1010$, từ lời giải đề thi ta có $m=6^t-2\cdot 4^t$.
Xét hàm số $f(t)=6^t-2\cdot 4^t$.
$f^{\prime }(t)=6^t\ln 6-2\cdot 4^t\ln 4$.
$f^{\prime }(t)=0⟺(\frac{3}{2}{)}^t=\frac{2\ln 4}{\ln 6}=\frac{\ln 16}{\ln 6}={\log }_{6}16⟺t={\log }_{1,5}({\log }_{6}16)$.
Bảng biến thiên cho thấy $f(t)$ đạt cực tiểu tại $t_0={\log }_{1,5}({\log }_{6}16)$ với $f(t_0)\approx -2,01$.
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge f(t_0)\approx -2,01$.
Kết hợp với điều kiện $m$ nguyên và $m<2020$, ta có $-2\le m\le 2019,m\in \mathbb{Z}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là: $2019-(-2)+1=2022$.

Đặt $x={\log }_{a}b$ và $y={\log }_{b}c$ ($x,y\ne 0$). Khi đó ${\log }_{a}c={\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c=xy$.
Biến đổi phương trình đã cho:
${\log }_a^{2}b+{\log }_b^{2}c={\log }_{a}c-{\log }_{a}b-2({\log }_{b}c-1)-3$
$⟺x^2+y^2=xy-x-2(y-1)-3=xy-x-2y-1$
$⟺x^2+y^2-xy+x+2y+1=0$.
Biểu thức $P=x-y⟹y=x-P$.
Thay $y=x-P$ vào phương trình:
$x^2+(x-P{)}^2-x(x-P)+x+2(x-P)+1=0$
$⟺x^2+x^2-2Px+P^2-x^2+Px+3x-2P+1=0$
$⟺x^2+(3-P)x+(P^2-2P+1)=0$.
Để tồn tại $x$ thì $\Delta \ge 0$:
$\Delta =(3-P{)}^2-4(P^2-2P+1)=9-6P+P^2-4P^2+8P-4=-3P^2+2P+5\ge 0$
$⟺3P^2-2P-5\le 0⟺(P+1)(3P-5)\le 0⟺-1\le P\le \frac{5}{3}$.
Do đó $m=-1$ và $M=\frac{5}{3}$.
Giá trị của biểu thức $S=2m+3M=2(-1)+3\left(\frac{5}{3}\right)=-2+5=3$.