Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)
Tuyển tập 2.410 câu hỏi thuộc chuyên đề Tích phân xác định (Giải tích – Toán học Lớp 12) trích từ ngân hàng đề thi chính thức và đề thi thử các trường THPT trên toàn quốc. Chọn trực tiếp đáp án A, B, C, D bên dưới để kiểm tra kết quả và xem hướng dẫn giải chi tiết từng bước.
Dấu hiệu & kiến thức trọng tâm:tích phân có cậnđổi biến/từng phần
Chọn A. Biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân: 1+xlnx(x+1)lnx+2=1+xlnxxlnx+1+lnx+1=1+1+xlnxlnx+1. Khi đó: I=∫1e1dx+∫1e1+xlnxlnx+1dx=(e−1)+J. Để tính J, đặt t=1+xlnx⟹dt=(lnx+1)dx. Đổi cận: x=1⟹t=1; x=e⟹t=1+e. Khi đó: J=∫11+etdt=ln∣t∣∣11+e=ln(1+e). Do đó: I=e−1+ln(e+1)=1⋅e+1⋅ln(e+1)−1. Suy ra a=1,b=1,c=−1. Vậy tỉ số b2a+c=12(1)+(−1)=1.
Cho hàm số f(x)=ax3+bx2+cx−6 và g(x)=mx2+nx có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên (phần gạch chéo trong hình) bằng?
Chọn A. Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: f(x)−g(x)=ax3+(b−m)x2+(c−n)x−6=0. Dựa vào đồ thị, hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ x=−3,x=−1,x=2. Do đó đa thức hiệu phân tích thành: f(x)−g(x)=a(x+3)(x+1)(x−2). Khai triển hệ số tự do: a⋅3⋅1⋅(−2)=−6a. Theo đề bài, hệ số tự do là −6, do đó −6a=−6⟹a=1. Vậy f(x)−g(x)=(x+3)(x+1)(x−2)=(x2+4x+3)(x−2)=x3+2x2−5x−6. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo là: S=∫−32∣f(x)−g(x)∣dx=∫−3−1(x3+2x2−5x−6)dx−∫−12(x3+2x2−5x−6)dx. Tính tích phân từng đoạn: - ∫−3−1(x3+2x2−5x−6)dx=(4x4+32x3−25x2−6x)−3−1=310. - ∫−12(x3+2x2−5x−6)dx=(4x4+32x3−25x2−6x)−12=−463+⋯=−338. Tổng diện tích S=310+338=16.
Đặt t=x3+3x+1⇒dt=3(x2+1)dx⇒(x2+1)dx=31dt. Đổi cận: x=−2⇒t=−13; x=2⇒t=15. Khi đó I=31∫−1315f(t)dt=31[∫−131(5−2t)dt+∫115(1+2t2)dt]=31(238+36790)=97504.
Chọn D. Đặt t=2ex+3⇒dt=2exdx⇒exdx=2dt. Đổi cận: x=0⇒t=5; x=ln4⇒t=2(4)+3=11. Tích phân trở thành I=21∫511f(t)dt=21[∫57(2t+3)dt+∫711(t2−5t+3)dt]. - ∫57(2t+3)dt=[t2+3t]57=(49+21)−(25+15)=70−40=30. - ∫711(t2−5t+3)dt=[3t3−25t2+3t]711=3484. I=21(30+3484)=21(3574)=3287.
Chọn B. Xét hiệu: (x2−2x)−(x−2)=x2−3x+2=(x−1)(x−2). Trên đoạn [0;2]: - Với x∈[0;1]: x−1≤0,x−2<0⟹(x−1)(x−2)≥0, do đó max{x2−2x;x−2}=x2−2x. - Với x∈[1;2]: x−1≥0,x−2≤0⟹(x−1)(x−2)≤0, do đó max{x2−2x;x−2}=x−2. Khi đó: I=∫01(x2−2x)dx+∫12(x−2)dx =(3x3−x2)01+(2x2−2x)12 =(31−1)+[(2−4)−(21−2)]=−32+[−2−(−23)]=−32−21=−67.
Ta có: I=∫−11f(∣4x−1∣)dx=∫−11/4f(1−4x)dx+∫1/41f(4x−1)dx. - Với tích phân thứ nhất, đặt u=1−4x⟹du=−4dx. Khi x=−1⟹u=5; khi x=1/4⟹u=0. Do đó ∫−11/4f(1−4x)dx=−41∫50f(u)du=41∫05f(u)du=41×4=1. - Với tích phân thứ hai, đặt v=4x−1⟹dv=4dx. Khi x=1/4⟹v=0; khi x=1⟹v=3. Do đó ∫1/41f(4x−1)dx=41∫03f(v)dv=41×8=2. Vậy I=1+2=3.
Diện tích hình phẳng cần tính là S=∫03∣f(x)∣dx. - Trên đoạn [0;1]: f(x)=7−4x3≥3>0. - Trên khoảng (1;3]: f(x)=4−x2. Phương trình 4−x2=0⟺x=2. + Với x∈[1;2], 4−x2≥0. + Với x∈[2;3], 4−x2≤0. Do đó: S=∫01(7−4x3)dx+∫12(4−x2)dx+∫23(x2−4)dx. Tính từng tích phân: ∫01(7−4x3)dx=(7x−x4)01=6. ∫12(4−x2)dx=(4x−3x3)12=(8−38)−(4−31)=316−311=35. ∫23(x2−4)dx=(3x3−4x)23=(9−12)−(38−8)=−3+316=37. Vậy S=6+35+37=6+4=10.
Đặt u=cos2x⇒udu=−2tanxdx, tích phân thứ nhất trở thành 21∫1/21uf(u)du=1⇒∫1/21xf(x)dx=2. Đặt v=ln2x⇒vdv=xlnx2dx, tích phân thứ hai trở thành 21∫14vf(v)dv=2⇒∫14xf(x)dx=4. Vậy ∫1/24xf(x)dx=2+4=6.
Chọn D. Tách tích phân thành hai đoạn: I1=∫−2π0cosxdx=[sinx]−2π0=0−(−1)=1. I2=∫01(1+xx2+1)dx=[x]01+[31(x2+1)23]01=1+322−1=32+322. Vậy I=1+32+322=35+322. Do đó a=35,b=32⇒a−b=35−32=1.
Hàm số có đạo hàm tại x=2 nên liên tục và khả vi tại x=2. Ta có f′(2−)=(3x2−2x−8)x=2=0 và f′(2+)=4+a⇒a=−4. Mặt khác f(2−)=8−4−16+10=−2 và f(2+)=4+2a+b=−4+b⇒b=2. Khi đó I=∫02(x3−x2−8x+10)dx+∫24(x2−4x+2)dx=316+(−34)=4.
Một mảnh vườn toán học có dạng hình chữ nhật, chiều dài là 16 m và chiều rộng là 8 m.
Các nhà Toán học dùng hai đường Parabol, mỗi Parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh đối diện, phần mảnh vườn nằm ở miền trong của cả hai Parabol (phần tô đậm như hình vẽ) được trồng hoa hồng. Biết chi phí để trồng hoa hồng là 45000đoˆˋng/m2. Hỏi các nhà Toán học phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa trên phần mảnh vườn đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O tại tâm hình chữ nhật, hai trục song song với các cạnh hình chữ nhật. Khi đó hai parabol có phương trình y=4−81x2 và y=81x2−4, cắt nhau tại x=±42. Diện tích phần tô đậm là S=∫−4242(8−41x2)dx=31282 m2. Số tiền cần chi là T=31282×45000=19200002≈2715000đoˆˋng.
Đặt {u=xdv=f′(x)dx⇒{du=dxv=f(x). Theo công thức nguyên hàm từng phần: ∫01xf′(x)dx=xf(x)∣01−∫01f(x)dx=f(1)−∫01f(x)dx Theo bài ra ta có: 2−∫01f(x)dx=20⇒∫01f(x)dx=2−20=−18 Vậy I=−18. Chọn đáp án D.
Xét tích phân I=∫03f(2x−4)dx. Đổi biến: Đặt t=2x−4⇒dt=2dx⇒dx=2dt. Đổi cận: - Với x=0⇒t=−4. - Với x=3⇒t=2. Khi đó: I=21∫−42f(t)dt Mặt khác, từ giả thiết ta có: ∫04f(x)dx=∫02f(x)dx+∫24f(x)dx⇒∫24f(x)dx=8−12=−4 Vì hàm số liên tục trên R, kết hợp tích phân cận đối xứng suy ra I=10. Chọn đáp án B.
Chọn C. +) Xét I1=∫1e3xf(lnx)dx=7. Đặt t=lnx⇒dt=xdx. Với x=1⇒t=0; x=e3⇒t=3. Do đó ∫03f(t)dt=7. +) Xét I2=∫02πf(cosx)sinxdx=3. Đặt u=cosx⇒du=−sinxdx. Với x=0⇒u=1; x=2π⇒u=0. Do đó I2=−∫10f(u)du=∫01f(u)du=3. +) Ta có ∫13f(x)dx=∫03f(x)dx−∫01f(x)dx=7−3=4. Mặt khác, ∫132xdx=x213=9−1=8. Vậy ∫13[f(x)+2x]dx=4+8=12.
