Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Câu 1: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $[0;+\infty )$ thỏa mãn $f(0)=1,f(x)>0,\forall x\in [0;+\infty )$ và $\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{2f^{\prime }(x)+1}=1,\forall x\in [0;+\infty )$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, $f(0)=0,f^{\prime }(0)\ne 0$ và thỏa mãn hệ thức $f(x)\cdot f^{\prime }(x)+18x^2=(3x^2+x)f^{\prime }(x)+(6x+1)f(x),\forall x\in \mathbb{R}$. Biết ${\int }_0^1(x+1)e^{f(x)}\text{d}x=a\cdot e^2+b$, với $a;b\in \mathbb{Q}$. Giá trị của $a-b$ bằng.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=1$, $f(x)>0$ với $\forall x\ge 0$ và $f(x)-f^{\prime }(x)=e^{-2x}{f}^2(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ gần bằng với số nào sau nhất?

Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+1,(a\ne 0;a,b\in \mathbb{R})$ mà đồ thị hàm số $f^{\prime \prime }(x)$ và đồ thị hàm số $f(x)$ có một điểm chung duy nhất và nằm trên $Oy$ (hình vẽ bên dưới), trong đó $\pm x_1$ là nghiệm của $f(x)$ và $\pm x_2$ là nghiệm của $f^{\prime \prime }(x)$ $(x_1>0;x_2>0)$. Biết $x_1=3x_2$, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $f(x)$; $f^{\prime \prime }(x)$ và trục $Ox$.

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị $(C)$, biết rằng $(C)$ đi qua điểm $A(-1;0)$, tiếp tuyến $d$ tại $A$ của $(C)$ cắt $(C)$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $0$ và $2$. Khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$, đồ thị $(C)$ và hai đường thẳng $x=0;x=2$ có diện tích bằng $\frac{28}{5}$ (phần gạch sọc) thì ${\int }_{-1}^{0}f(x)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f(x)+f^{\prime }(x)=x-2,\forall x\in [0;1]$. Giá trị của ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;+\infty )$ thỏa mãn $f(x)=\sqrt{x}+{\int }_0^{1}xf(x^4)\mathrm{d}x$. Giá trị của tích phân $I={\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho $y=f(x)$, $y=g(x)$ lần lượt là các hàm đa thức bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ.
Biết tung độ của $A$ và $C$ lần lượt là $\frac{7}{4}$ và $\frac{4}{3}$. Hình phẳng được đánh dấu có diện tích bằng $\frac{40}{3}$. Giá trị của tích phân ${\int }_1^2[f(x)-x]\mathrm{d}x$ bằng.

[IMAGE:img_1]

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $3f(3x)-2xf(x^2)=24x-4x^3-9$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f(1)=-1$. Giá trị ${\int }_1^{3}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol đỉnh $S$ như hình vẽ, biết $OS=AB=4\text{ m}$, $O$ là trung điểm của $AB$. Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc $160.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần giữa là hình quạt tâm $O$, bán kính $2\text{ m}$ được tô đậm $200.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần còn lại $250.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tổng chi phí để sơn cả $3$ phần gần nhất với số nào sau đây?

[IMAGE:img_1]

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên khoảng ( −1; +  ) và thỏa mãn
x3 + 2 x 2 + x
2 f ( x ) + ( x 2 − 1) f  ( x ) = , x  ( −1; +  ) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x2 + 3
y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1 có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số bậc ba $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có hai điểm cực trị $x=-1$ và $x=3$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x)$ có diện tích bằng $12$. Giá trị $|f(-1)-f(3)|$ bằng

Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)+x{f}^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2-2x+4$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$.

Câu 5. Một khu công viên dự định thiết kế một bồn hoa nghệ thuật có ranh giới là một tam giác đều $ABC$ với cạnh dài $6\text{ m}$. Bên trong bồn hoa, người ta xây hai bờ kè phân cách có hình dạng là hai đường parabol bằng nhau đi qua $B$ và $C$, có trục đối xứng lần lượt song song với $BA$ và $CA$. Hai bờ kè này giao nhau tại một đài phun nước ở vị trí $D$. Biết rằng đường mép $BC$ của bồn hoa tiếp xúc với cả hai đường bờ kè parabol này và khoảng cách từ đỉnh $A$ của bồn hoa đến đài phun nước $D$ là $1,4\text{ m}$. Phần diện tích giới hạn bởi hai bờ kè parabol và đoạn $BC$ (phần tô màu đen) được dùng để trồng hoa hồng. Tính diện tích phần đất trồng hoa hồng theo đơn vị ${\text{m}}^2$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Cho hàm số $f(x)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $[1;3]$, thỏa mãn $f(x)+x{f}^{\prime }(x)=[2xf(x)+1{]}^2,\forall x\in [1;3]$ và $f(1)=-\frac{1}{4}$. Tính $I={\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x$.

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới, với $f(1)=0$; $f^{\prime \prime }\left(\frac{2}{3}\right)=0$ và $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{20}{27}$. Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$ thỏa mãn $3x_2-6x_1=3\sqrt{7}-2$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên dưới. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f^{\prime }(x)+2xf(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f(0)=\frac{3}{2}$ và ${\int }_0^1(2f(x)-1)xdx=a+\frac{b}{e}$, với $a,b$ là các số hữu tỷ. Khi đó $a+b$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$. Biết rằng hàm số $g(x)=f(x)\cdot e^{-2x}$ có hai giá trị cực trị là $2$ và $-e^6$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2g(x)$ và $h(x)=(2ax+b)\cdot e^{-2x}$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e(a,b,c,d,e\in \mathbb{R})$ và $y=g(x)=x^3-4x+3$ có đồ thị như hình vẽ bên. Biết hai đồ thị $y=f(x),y=g(x)$ cắt nhau tại $4$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1<x_2<x_3<x_4$ thỏa mãn $x_1+x_4=x_3$ và $x_1{x}_4+4(x_2+x_3)=0$ đồng thời diện tích phần gạch chéo trên hình bằng $\frac{7}{10}$. Hỏi diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$, $h(x)=4a+b-c+d+e$ nằm trong khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)+e^x\sin x$ trên $\mathbb{R}$ và $G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)-e^x\sin x$ trên $\mathbb{R}$. Biết $F\left(\frac{\pi }{3}\right)+G\left(\frac{\pi }{3}\right)=8$, $F(0)+G(0)=-2$. Tính ${\int }_0^{\pi }f\left(\frac{x}{3}\right)\mathrm{d}x$.