Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101): Chọn D ($5$).

Đặt $t=x^2-4x$ với $x\in (0;+\infty )$. Mỗi $t\in (-4;0)$ cho $2$ nghiệm $x>0$, mỗi $t\in [0;+\infty )$ cho $1$ nghiệm $x>0$, và $t=-4$ cho $1$ nghiệm $x=2$. Khảo sát hàm $g(t)=6f(t)$ trên $[-4;+\infty )$, phương trình $6f(x^2-4x)=m$ có ít nhất $3$ nghiệm thực phân biệt thuộc $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi $-12\le m\le 12$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên có $25$ giá trị nguyên.

Chọn B
Phương trình tương đương:
$[\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(f(x))& =0\\ f(x)& =0\\ f(x)& =-1\end{array}$
Dựa vào đồ thị hàm số $f(x)$, các điểm cực trị của $f(x)$ là $x_1,x_2$. Giải các phương trình tương đương và đếm số nghiệm thực phân biệt ta được kết quả là 1 nghiệm.

Chọn B
Hàm số bậc ba $f(x)$ đạt cực trị tại $A(0;3)$ và $B(2;-1)$.
Ta có phương trình tương đương:
$2^{f(f(x))}\cdot [2^{f(f(x))}-3\cdot 2^{f(x)}-3]+2^{f(x)}=0$.
Phân tích và biện luận số nghiệm của phương trình theo đồ thị hàm số $f(x)$, ta tìm được đúng 7 nghiệm thực phân biệt.

Phương trình $x^4+a{x}^3-2b{x}^2+cx+1=0$ có nghiệm $x\ne 0\iff x^2+\frac{1}{x^2}=-ax+2b-\frac{c}{x}$.
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky: $(a^2+b^2+c^2)\left(x^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{x^2}\right)\ge \frac{1}{4}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}^2$.
Đặt $t=x^2+\frac{1}{x^2}\ge 2$, suy ra $S=a^2+b^2+c^2\ge \frac{t^2}{4t+1}\ge \frac{4}{9}$? (Theo lời giải chi tiết của đề: biến đổi $b=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x^2}+\frac{ax}{2}+\frac{c}{2x}$, áp dụng BĐT Bunyakovsky suy ra $\min S=\frac{2}{3}$).
Chọn D.

Hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ và đồng biến trên $\mathbb{R}$ (vì $f^{\prime }(x)=2024^x\ln 2024+2024^{-x}\ln 2024+1-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0,\forall x\in \mathbb{R}$). Do đó $f\left(|x^3-3x|\right)=f(-m)\iff |x^3-3x|=-m$ ($m<0$). Đặt $g(x)=x^3-3x$, phương trình $g(x)=-m$ có $3$ nghiệm $x_1<x_2<0<x_3$ và $g(x)=m$ có $3$ nghiệm $-x_3<0<-x_2<-x_1$. Tổng các nghiệm âm là $x_1+x_2-x_3=2-4\sqrt{2}$. Kết hợp $x_1+x_2+x_3=0$ suy ra $x_3=2\sqrt{2}-1\Rightarrow -m=x_3^3-3x_3=16\sqrt{2}-22\Rightarrow m=22-16\sqrt{2}$. Vậy $a=22,b=-16\Rightarrow a-b=38$.

Đặt $t=\sqrt[3]{f(x)+m}\Rightarrow t^3=f(x)+m\Rightarrow f(x)=t^3-m$.
Mà $f(t)=x^3-m$ nên $f(x)+x^3=f(t)+t^3(1)$.
Xét $g(u)=f(u)+u^3\Rightarrow g^{\prime }(u)=5u^4+9u^2\ge 0,\forall u\in \mathbb{R}$, do đó $g(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Từ $(1)$ suy ra $x=t\Rightarrow f(x)+m=x^3\Rightarrow x^5+x^3=3m$.
Xét $h(x)=x^5+x^3,x\in [-1;1]$, có $h(x)\in [-2;2]$.
Để phương trình có nghiệm thuộc đoạn $[-1;1]$ thì $3m\in [-2;2]\Rightarrow m\in \left[-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right]$.
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=0$.
Chọn C.

Ta có ${\Delta }^{\prime }=-m-8$. Để hai điểm biểu diễn $z_1,z_2$ cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tam giác thì $z_1,z_2$ phải là hai nghiệm phức không thực, tức ${\Delta }^{\prime }<0\iff m>-8$ và $m\ne 0$. Khi đó $z_{1,2}=m\pm i\sqrt{m+8}$. Diện tích tam giác $OAB$ là $S_{OAB}=\frac{1}{2}|m|\cdot 2\sqrt{m+8}=|m|\sqrt{m+8}=3\iff m^2(m+8)=9\iff m^3+8m^2-9=0$. Phương trình bậc ba này có $3$ nghiệm thực phân biệt thuộc $(-8;+\infty )\setminus \{0\}$ có tổng bằng $-8$ (theo định lí Vi-ét). Chọn C.

Đặt $g(x)=f(x^2+2x+3)$ trên $(-3;2)$. Nhận thấy đồ thị $g(x)$ nhận đường thẳng $x=-1$ làm trục đối xứng và $(-3;2)$ chứa đoạn đối xứng $(-3;1)$. Lập bảng biến thiên của $g(x)$ với $g(-1)=f(2)=-52$ và $g(-2)=g(0)=f(3)=-77$, phương trình $g(x)=m$ có $4$ nghiệm phân biệt thuộc $(-3;2)$ (có tổng bằng $2\cdot (-2)=-4$) khi và chỉ khi $-77<m<-52$. Vậy có $24$ giá trị nguyên của $m$.

Nhân liên hợp hai vế, phương trình tương đương $f^2(x)+\sqrt{f^4(x)+1}=-(m+1)+\sqrt{[-(m+1){]}^2+1}$. Xét hàm số $g(t)=t+\sqrt{t^2+1}$ có $g^{\prime }(t)=1+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}>0,\forall t\in \mathbb{R}$, nên $g(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó phương trình trở thành $f^2(x)=-m-1\iff |f(x)|=\sqrt{-m-1}$. Dựa vào đồ thị hàm số $y=|f(x)|$, phương trình có $6$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $2<\sqrt{-m-1}<3\iff 4<-m-1<9\iff -10<m<-5$. Vì $m$ nguyên âm nên $m\in \{-9;-8;-7;-6\}$, có $4$ giá trị. Chọn A.

Phương trình $f(x^2-3x-2)=m$ $(1)$.
Đặt $x-\frac{3}{2}=t$, $f(x^2-3x-2)=m\iff f\left(t^2-\frac{17}{4}\right)=m\iff {\left(t^2-\frac{17}{4}\right)}^3-3{\left(t^2-\frac{17}{4}\right)}^2+21=m$ $(2)$.
Đặt $t^2-\frac{17}{4}=a$, $(2)\iff a^3-3a+21=m$ $(3)$.
Tổng các nghiệm của phương trình $(2)$ luôn bằng $0$. Giả sử phương trình $(1)$ có $k$ nghiệm (nghiệm kép ta tính $2$ nghiệm), ta có
$x_1+x_2+\cdots +x_k=\left(t_1-\frac{3}{2}\right)+\left(t_2-\frac{3}{2}\right)+\cdots +\left(t_k-\frac{3}{2}\right)=t_1+t_2+\cdots +t_k+\frac{3k}{2}=\frac{3k}{2}\le \frac{3.6}{2}=9$
(do phương trình $(1)$ là bậc $6$ nên có tối đa $6$ nghiệm).
Theo bài ra tổng các nghiệm phân biệt cũng bằng $9$ nên yêu cầu bài toán tương đương với tìm $m$ nguyên để phương trình $(1)$ có $6$ nghiệm phân biệt $\iff a^3-3a+21=m$ có $3$ nghiệm lớn hơn $-\frac{17}{4}\iff 19<m<23$.
Vậy có $3$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Nếu ${\Delta }^{\prime }=25-|m-1|>0\iff |m-1|<25$, phương trình có $2$ nghiệm thực không âm phân biệt thỏa $|z_1|+|z_2|=z_1+z_2=10\in {\mathbb{Z}}^{+}$, kết hợp $m\in [-10;101]$ cho $m\in \{-10,\dots ,25\}$ ($36$ giá trị). Nếu ${\Delta }^{\prime }<0\iff |m-1|>25$, hai nghiệm phức liên hợp thỏa $|z_1|+|z_2|=2\sqrt{|m-1|}\in {\mathbb{Z}}^{+}\iff |m-1|\in \{36,49,64,81,100\}$ ($5$ giá trị với $m\in [26;101]$). Tổng cộng có $36+5=41$ giá trị nguyên của $m$.

Đặt $t=x+m\Rightarrow x=t-m$, phương trình trở thành $|f(t)+2|=t-m\iff \left|\frac{3t-3}{t-2}\right|=t-m$. Xét sự tương giao của đồ thị $(C):y=\left|\frac{3x-3}{x-2}\right|$ và đường thẳng $d:y=x-m$ (có hệ số góc bằng $1$). Để $d$ cắt $(C)$ tại đúng $2$ điểm phân biệt thì $d$ phải đi qua điểm gãy $A(1;0)$ của $(C)$, suy ra $1-m=0\iff m=1$. Vậy có đúng $1$ giá trị nguyên của $m$. Chọn A.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Xét hàm số $g(x)=f(e^x+1)-x$ trên $\mathbb{R}$. Đạo hàm $g^{\prime }(x)=e^x{f}^{\prime }(e^x+1)-1$. Với $u=e^x+1>1$, từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$ (parabol đi qua $(0;1)$ và đỉnh tại $(1;1/2)$, $f^{\prime }(2)=1$), ta có $f^{\prime }(u)\ge 1$ với mọi $u\ge 2$ ($x\ge 0$). Tại $x=0$, $u=2\Rightarrow g^{\prime }(0)=1\cdot f^{\prime }(2)-1=1-1=0$. Bảng biến thiên của $g(x)$ cho thấy $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=0$ với giá trị cực tiểu $g(0)=f(2)$. Khi $x\to \pm \infty$ thì $g(x)\to +\infty$. Do đó phương trình $g(x)=m$ có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m>g(0)=f(2)$. Chọn B.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 19, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 202; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$ (đi qua $(-1;4),(0;1),(1;-2),(2;1)$ nên $f(x)=x^3-4x+1$), phương trình $f(u)=-2\iff u\in \{-\sqrt{3};1;\sqrt{3}\}$, hoặc đọc trực tiếp từ đồ thị đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị tại $u=a\in (-3;-1)$ và tiếp xúc tại $u=1$. Với $x\in [-2;1]$, đặt $t(x)=\frac{x^4}{2}-4x^2$, ta có $x^2\in [0;4]\Rightarrow t(x)\in [-8;0]$. Phương trình $t(x)-m=u\iff m=t(x)-u$ có nghiệm $x\in [-2;1]$ khi $m\in [-8-1;0-1]\cup [-8-a;0-a]=[-9;-1]\cup [-8-a;-a]$. Với $a\approx -2,2$ (hoặc $a=-2$ theo hình vẽ), tập giá trị nguyên của $m$ là $\{-9;-8;\dots ;2\}$ (hoặc $\{-11;\dots ;2\}$), gồm $14$ giá trị nguyên. Chọn C.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)