Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét đường thẳng $(\Delta )$ đi qua điểm $M(3;1;1)$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z-3=0$. Khi $(\Delta )$ tạo với đường thẳng $(d):\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4+3t\\ z=-3-2t\end{array}$ một góc nhỏ nhất thì đường thẳng $(\Delta )$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{\Delta }=(5;b;c)$. Giá trị của $b+c$ bằng bao nhiêu?

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(-1;4;4)$, $B(-4;6;5)$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{3}=\frac{z+4}{-5}$. Một điểm $C$ thay đổi trên $d$ có giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác $ABC$ bằng $\sqrt{a}$. Giá trị $\frac{a}{6}$ bằng bao nhiêu?

Câu 6. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là mét, người ta thiết lập một đường ống dẫn dầu trên không dọc theo đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=16\end{array}$ ($t$ là tham số). Vì địa hình phức tạp, người ta đành chọn điểm $A(12;10;15)$ cạnh vách núi để làm điểm trung chuyển từ mặt đất (mặt phẳng $(Oxy)$) đến đường ống này. Dựa vào kinh nghiệm của mình, họ phải chọn vị trí $B$ thuộc đường ống và vị trí $C$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài các đoạn đường $AB+BC+AC$ là bé nhất, tìm giá trị bé nhất đó theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần mười.

Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài các cạnh $AB=8,A^{\prime }{B}^{\prime }=4$ và $A{A}^{\prime }=5$. Hỏi khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hai tuyến cáp ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ được lắp đặt theo các hướng khác nhau trong không gian, có phương trình lần lượt là: ${\Delta }_1:\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{2},{\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{1}$. Một mặt phẳng $(P):2x+y-2z+3=0$ biểu diễn mặt bằng thi công. Một kỹ sư cần thiết kế một đoạn ống nối $d$ (là đoạn thẳng) sao cho $d$ song song với $(P)$ và cắt ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ lần lượt tại $A,B$, đồng thời $AB$ là ngắn nhất (để tiết kiệm chi phí vật liệu và giảm hao phí tín hiệu). Tính độ dài đoạn $AB$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc với nhau, cùng chứa $d$ và cắt $\Delta$ tại $M,N$. Độ dài đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $M(5;8;3)$, $Q(-2;-1;-4)$ và hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ${\Delta }_1:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=3\\ z=3\end{array}$; ${\Delta }_2:\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=3\\ z=-t^{\prime }\end{array}$. Biết điểm $N$ di động trên đường thẳng ${\Delta }_1$ và điểm $P$ di động trên đường thẳng ${\Delta }_2$. Giá trị nhỏ nhất của $T=MN+NP+PQ$ là

Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng cắt nhau d1 : = = và d 2 :  y = 1 + t .
1 2 −1  z = 2t

Gọi  là đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d1 và d 2 . Khi đó, giao điểm của  và mặt phẳng
( P ) : x + 2 y − z − 10 = 0 có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+y+z-5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{1}$. Biết rằng trong mặt phẳng $(P)$ có hai đường thẳng $d_1,d_2$ cùng đi qua điểm $A(3;-1;0)$ và cùng cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $3$. Tính $\sin \phi$ với $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_1,d_2$?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=-20\\ y=2\\ z=t\end{array},d_2:\{\begin{array}{l}x=m^2\\ y=m+2\\ z=1-t\end{array}(t\in \mathbb{R})$ và điểm $K(8;-1;0)$. Biết rằng tồn tại đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $K$ vuông góc với $2$ đường $d_1,d_2$, đồng thời thỏa mãn $d(d_1;\Delta )=d(d_2;\Delta )=d(Oz;\Delta )$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của $m$ thỏa mãn

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $A$ và $A{A}^{\prime }=2,AB=1,AC=2$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MB$ và $AN$ bằng

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho các điểm A (1;0;1) , B (1; −3; −5) , C (3; −4; −3) và mặt phẳng ( P) : 2 x − y + 2 z + 5 =0 . Xét các đường thẳng ∆ qua A và tạo với đường thẳng BC một góc 45° . Gọi M là giao điểm của ∆ với ( P) . Khi BM lớn nhất, ∆ có một vectơ chỉ  phương là u∆ = (1; a; b ) . Giá trị của a 2 + b 2 bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 2 điểm $A(1;2;3),B(-2;1;1)$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $\Delta$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ là lớn nhất. Phương trình tham số là

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $140\text{ m}$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn $7500000\text{ km}$ được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, các nhà nghiên cứu của trung tâm Vũ Trụ NASA đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá $4600\text{ km}$ so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $6400\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1000\text{ km}$. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ $v_1=2\sqrt{2}\cdot 10^3\text{ km/h}$ không đổi theo đường thẳng xuất phát từ điểm $M(0;5;12)$ đến $N(12;5;0)$.

Câu 1. Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$, $\widehat{BCD}=\widehat{A^{\prime }{D}^{\prime }D}=\widehat{B{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=60^{\circ }$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }D$ và $C{D}^{\prime }$ bằng $\frac{a\sqrt{m}}{n}$. Tính giá trị biểu thức $m^2+n^2$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu của sân bay đặt tại điểm $O(0;0;0)$, đơn vị độ dài trên mỗi trục ứng với $1$ km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát không lưu $417$ km sẽ hiển thị trên màn hình radar. Một máy bay đang ở vị trí $M(-779;-260;8)$ chuyển động thẳng đều với tốc độ không đổi theo hướng của vectơ $\vec{u}=(91;75;0)$.

Trạm tàu cứu hộ được đặt tại vị trí $A(5;0;0)$ trên một hòn đảo nhỏ trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục được tính bằng $\text{km}$), được sử dụng làm trạm cứu hộ, cứu nạn trên biển. Tàu du lịch $B$ đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường được mô tả bởi đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3-2t\\ z=0\end{array}$. Tàu chở hàng $C$ đang di chuyển (vận tốc không đổi) trên tuyến đường vận tải được mô tả bởi đường thẳng $d_2:\{\begin{array}{l}x=2-s\\ y=9+s\\ z=0\end{array}$. Do thời tiết xấu, nên hai tàu $B$ và $C$ gặp sự cố và cần được tiếp cận khẩn cấp. Trạm cứu hộ điều một tàu cứu hộ xuất phát từ $A$ để lần lượt tiếp cận tàu du lịch $B$ trước, sau đó đến tàu chở hàng $C$. Xét vị trí tối ưu của tàu du lịch $B$ dừng lại và tàu chở hàng $C$ dừng lại sao cho tổng quãng đường tàu cứu hộ cần đi $P=AB+BC+CA$ là nhỏ nhất. Khi đó $P_{\min }=\sqrt{a}\text{ (km)}$, hãy tính $a+2025$?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với $10\text{ km}$, trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Máy bay thứ nhất ban đầu ở tọa độ $A(25;-10;1)$ và bay theo hướng vectơ ${\vec{v}}_1=(-3;-4;0)$ với tốc độ không đổi là $750\text{ km/h}$. Máy bay thứ hai ban đầu ở tọa độ $B(30;-25;1,1)$ và bay theo hướng vectơ ${\vec{v}}_2=(-4;3;0)$ với tốc độ không đổi là $900\text{ km/h}$. Trên máy bay thứ nhất có gắn radar tránh va chạm với bán kính hoạt động là $50\text{ km}$. Hỏi thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của radar máy bay thứ nhất là bao nhiêu phút (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tọa độ ứng với $10\text{ m}$ độ dài, mặt phẳng $(Oxy)$ được coi là mặt nước biển (trong một phạm vi đủ nhỏ), đường đi của một tàu ngầm KILO 636 nằm trên đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=-20\end{array}$. Khi tàu đậu ở vị trí điểm $A(-34;-68;-20)$ hệ thống định vị của tàu phát hiện phía trước có một khu vực nguy hiểm với trung tâm là điểm $C(6;12;-30)$ phạm vi ảnh hưởng tương đương một khối cầu tâm $C$, bán kính $R=12$ (giả thiết từ bề mặt của khối cầu trở ra phía ngoài khối cầu đó là vùng an toàn). Để tránh nguy hiểm mà không thay đổi độ sâu so với mặt nước biển và không muốn phải quay đầu, chỉ huy quyết định ngay tại vị trí $A$, tàu đổi hướng di chuyển mới theo đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ tạo với đường thẳng $\Delta$ một góc $\alpha$. Tính giá trị nhỏ nhất của góc $\alpha$ để tàu được an toàn (kết quả tính bằng độ, làm tròn đến hàng phần trăm).

Trạm kiểm soát không quân đang theo dõi hai máy bay chiến đấu Su-30 và MiG-31. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị đo mỗi trục là $1\text{ km}$ và xem mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay chiến đấu Su-30 ở tọa độ $A(0;35;10)$, bay theo hướng vectơ ${\vec{v}}_1=(3;4;0)$ với tốc độ không đổi $900\text{ (km/h)}$ và máy bay chiến đấu MiG-31 ở tọa độ $B(31;10;11)$, bay theo hướng ${\vec{v}}_2=(5;12;0)$ với tốc độ không đổi $910\text{ (km/h)}$. Khu vực này có gió mạnh thổi với vận tốc $80\text{ (km/h)}$ theo hướng vectơ $\vec{u}=(-3;0;4)$, gió ảnh hưởng đến cả hai máy bay trong quá trình bay. Một khu vực không phận bị hạn chế bay đã được một quốc gia khác thiết lập, có dạng hình trụ với tâm đáy tại $C(178;430;0)$, bán kính đáy $7\text{ km}$, trục vuông góc với mặt đất và chiều cao $43\text{ km}$. Máy bay MiG-31 có nhiệm vụ bay vào khu vực không phận bị hạn chế để thăm dò. Tại thời điểm máy bay chiến đấu MiG-31 bay ra khỏi khu vực không phận bị hạn chế thì khoảng cách giữa hai máy bay chiến đấu là bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).