Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 17), Câu 2 (Phần II) có đáp án là: a:Đ, b:Đ, c:Đ, d:Đ.

Số bao lì xì loại III (10 nghìn đồng) là: $40-12-10=18$ bao.
- a) Đúng. Xác suất An bốc được bao 10 nghìn đồng: $P(A)=\frac{18}{40}=0,45$.
- b) Đúng. Tính đối xứng trong bốc thăm không hoàn lại cho thấy xác suất người thứ hai (Bình) bốc được bao 10 nghìn cũng là $P(B)=\frac{18}{40}=0,45$.
- c) Đúng. Nếu Bình bốc được bao 10 nghìn, xác suất để An cũng bốc được bao 10 nghìn là: $P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{18\cdot 17}{40\cdot 39}:\frac{18}{40}=\frac{17}{39}\approx 0,4359\approx 0,44$.
- d) Đúng. Xác suất không ai trong 3 bạn bốc được bao 10 nghìn là: $\frac{22}{40}\cdot \frac{21}{39}\cdot \frac{20}{38}\approx 0,1557$. Do đó xác suất có ít nhất một bạn bốc được bao 10 nghìn là $1-0,1557=0,8443\approx 0,84$.

Theo công thức Bayes, $P=\frac{0,005\cdot 0,95}{0,005\cdot 0,95+0,995\cdot 0,03}\approx 0,137\approx 0,14$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 122).

a) Sai vì $P(B)=\frac{220}{400}=\frac{11}{20}$ và $P(\overline{B})=\frac{9}{20}$. b) Sai vì $P(A|\overline{B})=0,25$. c) Đúng vì $P(A)=\frac{11}{20}\cdot 0,3+\frac{9}{20}\cdot 0,25=0,2775\Rightarrow P(\overline{A})=0,7225$. d) Đúng vì $P(B|A)=\frac{0,165}{0,2775}\approx 59\%$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 121).

Theo công thức Bayes, xác suất cần tìm là $P=\frac{0,007\cdot 0,95}{0,007\cdot 0,95+0,993\cdot 0,03}\approx 0,1825\approx 0,18$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 121).

- Ý (a): Sai. Theo giả thiết đề bài, xác suất hộ có thu nhập lớn hơn $200000\text{ DKK/na˘m}$ biết hộ không có người đi làm là $10\%\ne 15\%$. Mệnh đề sai.
- Ý (b): Sai. $P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)=0,7\cdot 0,4=0,28=28\%\ne 30\%$. Mệnh đề sai.
- Ý (c): Sai. $P(B)=P(AB)+P(\bar{A}B)=0,7\cdot 0,4+0,3\cdot 0,1=0,28+0,03=0,31=31\%\ne 29\%$. Mệnh đề sai.
- Ý (d): Đúng. Xác suất có điều kiện $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0,28}{0,31}=\frac{28}{31}$. Mệnh đề đúng.

Gọi $A,B,V$ lần lượt là biến cố "Học sinh được chọn thuộc trường A", "Học sinh được chọn thuộc trường B", "Học sinh được chọn giành huy chương vàng".
- Ý a) Đúng: $P(A)=\frac{51}{51+24}=\frac{51}{75}=\frac{17}{25}=0,68$.
- Ý b) Sai: Vì $P(V\mid B)=0,06$ nên $P(\overline{V}\mid B)=1-0,06=0,94\ne 0,92$.
- Ý c) Sai: Theo công thức xác suất toàn phần:
$P(V)=P(A)P(V\mid A)+P(B)P(V\mid B)=0,68\cdot 0,08+0,32\cdot 0,06=\frac{46}{625}\ne \frac{48}{625}$.
- Ý d) Đúng: Theo công thức Bayes:
$P(A\mid V)=\frac{P(A)P(V\mid A)}{P(V)}=\frac{0,68\cdot 0,08}{46/625}=\frac{17}{23}$.

a) $P(A)=0,5\%=0,005$. Đúng.
b) $P(B|\overline{A})=1-P(\overline{B}|\overline{A})=1-0,99=0,01$. Đúng.
c) $P(B)=0,005\cdot 0,95+0,995\cdot 0,01=0,0147\ne 0,02$. Sai.
d) $P(A|B)=\frac{0,00475}{0,0147}=\frac{95}{294}\approx 0,323<0,5$. Sai.

Gọi $A,B$ là biến cố dùng thuốc A, B; $T$ là biến cố bị tác dụng phụ.
a) $P(T|A)=20\%$. Đúng.
b) $P(T)=0,5\cdot 0,2+0,5\cdot 0,1=0,15$. Đúng.
c) $P(B|\overline{T})=\frac{0,5\cdot 0,9}{1-0,15}=\frac{9}{17}\ne \frac{7}{17}$. Sai.
d) $P(A\cap \overline{T})=0,5\cdot 0,8=0,4\ne 0,425$. Sai.

Gọi $A,B$ là biến cố sản phẩm do nhà máy A, B sản xuất; $T$ là biến cố sản phẩm tốt.
a) $P(A)=\frac{120}{120+80}=0,6$. Đúng.
b) $P(T|A)=1-0,04=0,96$. Đúng.
c) $P(T)=0,6\cdot 0,96+0,4\cdot 0,99=0,972\ne 0,964$. Sai.
d) $P(B|T)=\frac{0,396}{0,972}<\frac{0,576}{0,972}=P(A|T)$. Sai.

Gọi $A,B$ lần lượt là biến cố linh kiện do phân xưởng $I,II$ sản xuất ($P(A)=0,75;P(B)=0,25$) và $C$ là biến cố linh kiện bị lỗi ($P(C|A)=0,04;P(C|B)=0,02$).
a) Đúng: $P(A\cap C)=P(A)P(C|A)=0,75\cdot 0,04=0,03$.
b) Sai: $P(\overline{C}|A)=1-P(C|A)=1-0,04=0,96\ne 0,94$.
c) Đúng: $P(C)=0,75\cdot 0,04+0,25\cdot 0,02=0,03+0,005=0,035$.
d) Sai: $P(A|C)=\frac{P(A\cap C)}{P(C)}=\frac{0,03}{0,035}=\frac{6}{7}\ne \frac{4}{7}$.

- **a) Đúng:** Ta có $P(A)=0,5\Rightarrow P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,5=0,5$.
- **b) Sai:** Theo giả thiết, xác suất học sinh đỗ đại học khi chọn tổ hợp $A00$ là $P(B\mid A)=0,7\ne 0,4$.
- **c) Đúng:** Theo đề bài, $P(B\mid \overline{A})=0,6\in (0,4;0,9)$.
- **d) Sai:** Ta có $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})=0,5\cdot 0,7+0,5\cdot 0,6=0,65$. Suy ra $P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{0,35}{0,65}=\frac{7}{13}$. Do đó $\frac{P(A\mid B)}{P(B\mid A)}=\frac{7/13}{0,7}=\frac{10}{13}<1$.

Xác suất chọn được vận động viên thuộc đội I là $\frac{5}{12}$, thuộc đội II là $\frac{7}{12}$.
Xác suất vận động viên được chọn đạt huy chương vàng là $P(H)=\frac{5}{12}\cdot 0,65+\frac{7}{12}\cdot 0,55=\frac{7,1}{12}$.
Theo công thức Bayes, xác suất vận động viên đạt huy chương vàng thuộc đội I là $P=\frac{\frac{5}{12}\cdot 0,65}{\frac{5}{12}\cdot 0,65+\frac{7}{12}\cdot 0,55}=\frac{3,25}{7,1}=\frac{65}{142}\approx 0,46$.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
- d) Đúng. Tỉ lệ sản phẩm loại I là $85\%$ nên $P(A)=0,85$ và $P(\overline{A})=0,15$.
- c) Đúng. Tỉ lệ sản phẩm loại I bị hỏng là $1\%$ nên xác suất chọn được sản phẩm không bị hỏng biết đó là loại I là $P(B\mid A)=1-0,01=0,99$.
- b) Đúng. Tương tự $P(B\mid \overline{A})=1-0,04=0,96$. Theo công thức xác suất toàn phần:
$P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})=0,85\cdot 0,99+0,15\cdot 0,96=0,8415+0,144=0,9855$.
- a) Sai. Theo công thức Bayes:
$P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{0,8415}{0,9855}=\frac{187}{219}\approx 0,8539\ne 0,95$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 5), Câu 3 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Tổng số học sinh là $300+200=500$.
Gọi $A$ là biến cố "Học sinh được chọn thuộc khối 11", $\bar{A}$ là biến cố "Học sinh được chọn thuộc khối 12".
$P(A)=\frac{300}{500}=0,6$ và $P(\bar{A})=\frac{200}{500}=0,4$.
Gọi $B$ là biến cố "Học sinh được chọn có sử dụng chatbot AI".
Theo giả thiết: $P(B\mid A)=0,4$ và $P(B\mid \bar{A})=0,7$.

a) Xác suất chọn học sinh thuộc khối 12 là $P(\bar{A})=0,4$. Khẳng định a đúng.

b) Xác suất chọn được học sinh khối 11 và có dùng AI là $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)=0,6\cdot 0,4=0,24$. Khẳng định b đúng.

c) Xác suất học sinh được chọn có sử dụng chatbot AI là:
$P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P(\bar{A})\cdot P(B\mid \bar{A})=0,6\cdot 0,4+0,4\cdot 0,7=0,24+0,28=0,52\ne 0,55$. Khẳng định c sai.

d) Theo công thức Bayes, xác suất học sinh thuộc khối 12 khi biết em đó có sử dụng AI là:
$P(\bar{A}\mid B)=\frac{P(\bar{A}\cap B)}{P(B)}=\frac{0,28}{0,52}=\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$. Khẳng định d đúng.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 2 (Phần II) có đáp án là: a:Đ,b:S,c:S,d:S.

a) Đúng. Xác suất Anna lấy 1 xanh 1 đỏ từ hộp 1 là $P=\frac{C_3^1{C}_4^1}{C_7^2}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$.
b) Sai. Khi hộp 2 có 6 xanh và 4 đỏ, xác suất Lisa lấy 2 viên cùng màu là $\frac{C_6^2+C_4^2}{C_{10}^2}=\frac{15+6}{45}=\frac{7}{15}\ne \frac{3}{5}$.
c) Sai. Xác suất Lisa lấy được 2 viên bi cùng màu là $\frac{444}{945}\approx 46,98\%<50\%$.
d) Sai. Xác suất có điều kiện là $\frac{252}{444}=\frac{21}{37}\ne \frac{19}{37}$.

Gọi $A,B$ là biến cố chọn phác đồ A, B ($P(A)=P(B)=0,5$); $K$ là biến cố khỏi bệnh; $T$ là biến cố gặp tác dụng phụ nghiêm trọng.
- b) Đúng: Theo công thức xác suất toàn phần: $P(T)=P(A)P(T|A)+P(B)P(T|B)=0,5\cdot 0,08+0,5\cdot 0,12=0,10$.
- a) Sai: Theo công thức Bayes: $P(B|T)=\frac{P(B)P(T|B)}{P(T)}=\frac{0,5\cdot 0,12}{0,10}=0,60<0,65$.
- c) Sai: Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ A và được chữa khỏi bệnh là $P(A\cap K)=P(A)P(K|A)=0,5\cdot 0,60=0,30\ne 0,55$.
- d) Sai: Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh hoàn toàn là $P(K\cap \overline{T})=0,5\cdot 0,60\cdot (1-0,08)+0,5\cdot 0,75\cdot (1-0,12)=0,276+0,33=0,606\ne 0,675$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 4 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Gọi $A$ là biến cố: "Học sinh được chọn là học sinh nam", suy ra $\bar{A}$ là biến cố: "Học sinh được chọn là học sinh nữ".
Gọi $B$ là biến cố: "Học sinh được chọn biết đánh cầu lông", suy ra $\bar{B}$ là biến cố: "Học sinh không biết đánh cầu lông".
Theo giả thiết:
Số học sinh nữ là $20\Rightarrow P(\bar{A})=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$.
Số học sinh nam là $50-20=30\Rightarrow P(A)=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$.
$P(B\mid A)=60\%=\frac{3}{5}$, $P(B\mid \bar{A})=50\%=\frac{1}{2}$.

a) Xác suất học sinh được chọn là nữ bằng $P(\bar{A})=\frac{2}{5}$. Khẳng định a đúng.

b) Xác suất học sinh biết đánh cầu lông biết học sinh này là nam bằng $P(B\mid A)=\frac{3}{5}$. Khẳng định b đúng.

c) Theo công thức xác suất toàn phần:
$P(B)=P(A)\cdot P(B\mid A)+P(\bar{A})\cdot P(B\mid \bar{A})=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{25}+\frac{5}{25}=\frac{14}{25}$.
Xác suất học sinh được chọn là nam biết học sinh đó biết đánh cầu lông là:
$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\cdot P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{\frac{9}{25}}{\frac{14}{25}}=\frac{9}{14}\ne \frac{1}{4}$. Khẳng định c sai.

d) Ta có $P(\bar{B}\mid A)=1-P(B\mid A)=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$.
$P(\bar{B}\mid \bar{A})=1-P(B\mid \bar{A})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
$P(\bar{B})=1-P(B)=1-\frac{14}{25}=\frac{11}{25}$.
Xác suất học sinh là nam khi biết học sinh đó không biết đánh cầu lông là:
$P(A\mid \bar{B})=\frac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\frac{P(A)\cdot P(\bar{B}\mid A)}{P(\bar{B})}=\frac{\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{5}}{\frac{11}{25}}=\frac{\frac{6}{25}}{\frac{11}{25}}=\frac{6}{11}$. Khẳng định d đúng.

Gọi $X$ là biến cố “Bắc lấy được bóng màu xanh” và $E$ là biến cố “Trong số bóng hai bạn lấy ra có đủ cả bóng xanh và bóng đỏ”.
a) Đúng: $P(X)=\frac{10}{25}=0,4$ và $P(\overline{X})=\frac{15}{25}=0,6$.
b) Sai: Khi Bắc lấy được bóng xanh, hộp còn $9$ xanh và $15$ đỏ ($24$ quả). Xác suất Ninh lấy $2$ quả có ít nhất $1$ quả đỏ là $P(E\mid X)=1-\frac{C_9^2}{C_{24}^2}=1-\frac{36}{276}=\frac{20}{23}\approx 0,87$.
c) Sai: Khi Bắc lấy được bóng đỏ, hộp còn $10$ xanh và $14$ đỏ ($24$ quả). Xác suất Ninh lấy $3$ quả có ít nhất $1$ quả xanh là $P(E\mid \overline{X})=1-\frac{C_{14}^3}{C_{24}^3}=1-\frac{364}{2024}=\frac{415}{506}\approx 0,82$.
d) Đúng: Áp dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes:
$P(E)=P(X)P(E\mid X)+P(\overline{X})P(E\mid \overline{X})=0,4\cdot \frac{20}{23}+0,6\cdot \frac{415}{506}=\frac{176+249}{506}=\frac{425}{506}.$
$P(X\mid E)=\frac{P(X)P(E\mid X)}{P(E)}=\frac{176}{425}\approx 0,4141\approx 0,41.$

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1201:
a) ĐÚNG. Xác suất chẩn đoán sai là $0,15\times 0,10+0,85\times 0,05=0,015+0,0425=0,0575$.
b) ĐÚNG. $P(\text{baˊo bệnh})=0,15\times 0,90+0,85\times 0,05=0,135+0,0425=0,1775$.
c) SAI. Không yêu cầu độ nhạy lên tối thiểu 99%.
d) ĐÚNG. $P(\text{bệnh}\mid \text{baˊo bệnh})=\frac{0,135}{0,1775}\approx 0,7606>0,75$.

Gọi $D$ là biến cố "bài đăng bị hệ thống đánh dấu" và $V$ là biến cố "bài đăng vi phạm Luật an ninh mạng".
Theo giả thiết: $P(D)=0,25\Rightarrow P(\overline{D})=1-0,25=0,75$;
$P(\overline{V}\mid D)=0,12\Rightarrow P(V\mid D)=1-0,12=0,88$; và $P(V\mid \overline{D})=0,06$.
- Ý a) Đúng: Xác suất chọn được bài đăng không bị đánh dấu là $P(\overline{D})=0,75$.
- Ý b) Sai: Xác suất chọn được bài đăng vi phạm biết rằng nó không bị đánh dấu là $P(V\mid \overline{D})=0,06\ne 0,12$.
- Ý c) Đúng: Theo công thức xác suất toàn phần:
$P(V)=P(D)P(V\mid D)+P(\overline{D})P(V\mid \overline{D})=0,25\cdot 0,88+0,75\cdot 0,06=0,22+0,045=0,265$.
- Ý d) Đúng: Theo công thức Bayes:
$P(D\mid V)=\frac{P(D)P(V\mid D)}{P(V)}=\frac{0,22}{0,265}=\frac{44}{53}\approx 0,83018\approx 0,83$.