Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Điều kiện $x>0$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m-1\ge 0>-1$, bất phương trình tương đương $-1<{\log }_{2}x<m-1⟺\frac{1}{2}<x<2^{m-1}$. Số phần tử nguyên của $S$ là $2^{m-1}-1$. Điều kiện $2^{m-1}-1\le 2021⟺2^{m-1}\le 2022⟺m-1\le 10⟺m\le 11$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1,2,\dots ,11\}$, có $11$ giá trị.

Điều kiện: $x>3$. Do cơ số $\frac{1}{2}\in (0;1)$ nên bất phương trình tương đương với $0<x-3\le 4\iff 3<x\le 7$. Các nghiệm nguyên dương là $x\in \{4;5;6;7\}$, vậy có $4$ nghiệm.

Đặt $r=|z+1-\sqrt{5}i|>0$. Bất phương trình tương đương với $-2\le 2{\log }_{3}r\le -{\log }_{3}6\iff -1\le {\log }_{3}r\le {\log }_3\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)\iff \frac{1}{3}\le r\le \frac{1}{\sqrt{6}}$. Miền biểu diễn là hình vành khăn có diện tích $S=\pi \left({\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)}^2-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\right)=\pi \left(\frac{1}{6}-\frac{1}{9}\right)=\frac{\pi }{18}$.

Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2-4}\le 27\iff 3^{-(x^2-4)}\le 3^3\iff -(x^2-4)\le 3\iff x^2-4\ge -3\iff x^2-1\ge 0\iff x\le -1$ hoặc $x\ge 1$.
Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$. Chọn D.

Chọn D.
Điều kiện: $2x+1>0⟺x>-\frac{1}{2}$. Vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên bất phương trình tương đương: $2x+1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=1⟺2x<0⟺x<0$. Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm là $\left(-\frac{1}{2};0\right)$.

Vì cơ số $0<\frac{1}{3}<1$, bất phương trình tương đương với:
$$\{\begin{array}{l}1-2x>0\\ 1-2x<1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<\frac{1}{2}\\ 2x>0\end{array}\iff 0<x<\frac{1}{2}$$
Vậy tập nghiệm là $S=\left(0;\frac{1}{2}\right)$.
Chọn đáp án B.

Chọn A.
Vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$, nên bất phương trình tương đương với:
$x^2-x<4-x\iff x^2-4<0\iff -2<x<2$.
Tập nghiệm là $S=(-2;2)$.

Chọn D.
Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{rl}& x^2>0\\ & 4x-4>0\end{array}⟺x>1$.
Khi đó $\ln x^2>\ln (4x-4)⟺x^2>4x-4⟺(x-2{)}^2>0⟺x\ne 2$.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là $S=(1;+\infty )\setminus \{2\}$.

Chọn A.
Bất phương trình tương đương với $m\le {\left(\frac{2020}{2021}\right)}^x+{\left(\frac{6}{2021}\right)}^x$.
Xét hàm số $f(x)={\left(\frac{2020}{2021}\right)}^x+{\left(\frac{6}{2021}\right)}^x$ nghịch biến trên $[0;+\infty )$, nên ${\max }_{[0;+\infty )}f(x)=f(0)=2$.
Để bất phương trình có nghiệm $x\ge 0$ thì $m\le 2$. Vì $m$ nguyên không âm nên $m\in \{0;1;2\}$ (có $3$ giá trị).

Ta có ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{1-3x}\ge {\left(\frac{2}{5}\right)}^{-2}\iff 1-3x\le -2\iff x\ge 1$. Vậy $S=[1;+\infty )$.

Bất phương trình tương đương ${\log }_2(2x^2+4)+(2x^2+4)\le {\log }_2(3x^2+4x+m)+(3x^2+4x+m)$. Xét hàm $h(t)={\log }_{2}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, nên bất phương trình tương đương $0<2x^2+4\le 3x^2+4x+m\iff x^2+4x+m-4\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }=4-(m-4)\le 0\iff m\ge 8$. Kết hợp $m\in [1;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta được $m\in \{8,9,10\}$, có $3$ giá trị.

Lời giải
Chọn D
(1)
Ta có: ( )
(3)

-3 x 2

( 1 )
D. ( - ;1) .
( 3 )

2
1
< 32 x +1 \iff 33 x < 32 x +1 \iff 3x 2 < 2 x + 1 \iff 3x 2 - 2 x - 1 < 0 \iff - < x < 1 .
3

( 1 )
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( - ;1) .
( 3 )

Lời giải

Chọn D
ĐK: x > 0

BPT \iff log 2 ( 5 x - 1) []1 + log 2 ( 5 x - 1) [] + 1 > m (1)

Đặt t = log 2 ( 5x - 1) , với x \ge 1 \implies t \ge 2 . Ta có bất phương trình f ( t ) = t 2 + t + 1 > m (2)
Để (1) có nghiệm x \ge 1 thì (2) phải có nghiệm t \ge 2 \iff m < min f ( t ) = f (2) = 7 .
[2;+$\infty$ )

Điều kiện: $x>-1$.
Bất phương trình tương đương:
$$\frac{1}{2}{\log }_2(x+7)>{\log }_2(x+1)\iff {\log }_2(x+7)>{\log }_2(x+1{)}^2$$
$$\iff x+7>x^2+2x+1\iff x^2+x-6<0\iff -3<x<2$$
Kết hợp điều kiện $x>-1$, ta được tập nghiệm là $(-1;2)$.
Do đó $a=-1,b=2\Rightarrow M=2a+b=2(-1)+2=0$.
Chọn đáp án B.

Ta có ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-x}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^2\iff x^2-x\le 2\iff x^2-x-2\le 0\iff -1\le x\le 2$.
Vậy tập nghiệm là $[-1;2]$.
Chọn đáp án A.

Chọn B.
Bất phương trình tương đương với:
${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-x^2+5x}>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+2}⟺-x^2+5x<2x+2⟺x^2-3x+2>0⟺[\begin{array}{rl}& x<1\\ & x>2\end{array}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$.

Chọn A.
Đặt $t={\cos }^{2}x\in [0;1]$. Khi đó ${\sin }^{2}x=1-t$ và $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x=2t$.
Bất phương trình trở thành:
$2^{2-t}+3^{1+t}\le (2m-1)\cdot 5^t⟺4\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^t+3\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^t\le 2m-1.$
Hàm số $g(t)=4\cdot {\left(\frac{1}{10}\right)}^t+3\cdot {\left(\frac{3}{5}\right)}^t$ nghịch biến trên đoạn $[0;1]$ nên:
${\min }_{[0;1]}g(t)=g(1)=\frac{4}{10}+\frac{9}{5}=\frac{11}{5}.$
Do đó bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $2m-1\ge \frac{11}{5}⟺m\ge \frac{8}{5}$.
Suy ra $a=8,b=5⟹S=a+5b=8+25=33$.

Chọn B.
Điều kiện: $\{<table><tbody><tr><td>x+8>0</td></tr><tr><td>x+2>0</td></tr></tbody></table>\iff x>-2$.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
${\log }_{3^2}(x+8)>{\log }_3(x+2)\iff \frac{1}{2}{\log }_3(x+8)>{\log }_3(x+2)\iff {\log }_3(x+8)>{\log }_3(x+2{)}^2$
$\iff x+8>(x+2{)}^2\iff x+8>x^2+4x+4\iff x^2+3x-4<0\iff -4<x<1$.
Kết hợp điều kiện $x>-2$, ta được tập nghiệm là $S=(-2;1)$.

Chọn A.
Do yêu cầu bài toán đếm số nghiệm nguyên dương, ta chỉ cần xét $x>0$ và $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$.
Ta có $729=3^6$, nên $\sqrt[m]{729}=3^{\frac{6}{m}}$.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
$m\left(3^x-3^{\frac{6}{m}}\right)<m\left(x-\frac{6}{m}\right)\iff 3^x-3^{\frac{6}{m}}<x-\frac{6}{m}\iff 3^x-x<3^{\frac{6}{m}}-\frac{6}{m}$.
Xét hàm số $f(t)=3^t-t$ trên $(0;+\infty )$.
Ta có $f^{\prime }(t)=3^t\ln 3-1$. Với $t>0$, $3^t>1\Rightarrow 3^t\ln 3>\ln 3\approx 1,0986>1$, suy ra $f^{\prime }(t)>0,\forall t>0$.
Do đó hàm số $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Vì vậy: $f(x)<f\left(\frac{6}{m}\right)\iff x<\frac{6}{m}$.
Tập nghiệm nguyên dương của bất phương trình có đúng một số nguyên dương (đó phải là $x=1$) khi và chỉ khi:
$1<\frac{6}{m}\le 2\iff \{<table><tbody><tr><td>\frac{6}{m}>1</td></tr><tr><td>\frac{6}{m}\le 2</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>m<6</td></tr><tr><td>m\ge 3</td></tr></tbody></table>\iff 3\le m<6$.
Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{3;4;5\}$.
Vậy có $3$ giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.
Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi:
$m^2\cdot e^{4x}+m\cdot e^{2x}+1\ge (m^2+m)e^{3x}+\frac{x+1}{e^x},\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff m^2\cdot e^{5x}+m\cdot e^{3x}+e^x\ge (m^2+m)e^{4x}+x+1,\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff m^2\cdot e^{5x}-(m^2+m)e^{4x}+m\cdot e^{3x}+e^x-x-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Đặt $t=e^x$ ($t>0$), bất phương trình trở thành:
$f(t)=m^2{t}^5-(m^2+m)t^4+m{t}^3+t-\ln t-1\ge 0,\forall t>0$.
Nhận xét: $f(1)=0$. Vì hàm số $f(t)$ liên tục và có đạo hàm trên $(0;+\infty )$, nên điều kiện cần để $f(t)\ge 0,\forall t>0$ là $t=1$ phải là điểm cực tiểu của $f(t)$, tức là $f^{\prime }(1)=0$.
Ta có $f^{\prime }(t)=5m^2{t}^4-4(m^2+m)t^3+3m{t}^2+1-\frac{1}{t}$.
$f^{\prime }(1)=5m^2-4(m^2+m)+3m+1-1=m^2-m=0\iff [<table><tbody><tr><td>m=0</td></tr><tr><td>m=1</td></tr></tbody></table>$
Điều kiện đủ:
- Với $m=0$: $f(t)=t-\ln t-1$. Ta có $f^{\prime }(t)=1-\frac{1}{t}=\frac{t-1}{t}$.
$f^{\prime }(t)=0\iff t=1$, qua $t=1$ đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên ${\min }_{(0;+\infty )}f(t)=f(1)=0$, suy ra $f(t)\ge 0,\forall t>0$ (thỏa mãn).
- Với $m=1$: $f(t)=t^5-2t^4+t^3+t-\ln t-1=t^3(t-1{)}^2+(t-\ln t-1)$.
Với mọi $t>0$, ta có $t^3(t-1{)}^2\ge 0$ và $t-\ln t-1\ge 0$, do đó $f(t)\ge 0,\forall t>0$ (thỏa mãn).
Vậy có đúng $2$ giá trị của tham số $m$ thỏa mãn là $m=0$ và $m=1$.
Số phần tử của tập $S$ là $2$.