Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

Sau $4$ năm (từ $2021$ đến $2025$), diện tích rừng tự nhiên xấp xỉ bằng $10171757\cdot (1+0,007{)}^4\approx 10459571\text{ ha}$.

Chọn A.
Ta có $u_4=u_2\cdot q^2⟹q^2=\frac{u_4}{u_2}=\frac{18}{2}=9⟹q=\pm 3$.

Chọn B.
Đẳng thức tương đương:
$2\log u_1-2\sqrt{\log u_1+2}=0⟺\log u_1=\sqrt{\log u_1+2}⟺{\log }^2{u}_1-\log u_1-2=0⟺\log u_1=2$
(do $\log u_1\ge 0$). Suy ra $u_1=10^2=100$.
Dãy số $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q=3$, nên $u_n=u_1\cdot q^{n-1}=100\cdot 3^{n-1}$.
Theo đề bài:
$u_n>100^{50}⟺100\cdot 3^{n-1}>100^{50}⟺3^{n-1}>100^{49}⟺n-1>49{\log }_{3}100\approx 49\cdot 4,1918=205,4$
Khoan, kiểm tra lại với đề bài gốc $u_n>100^{50}$:
$n-1\ge 230⟹n\ge 231.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $n$ là 231.

Chọn B.
Ta có: $u_4=u_1\cdot q^3⟹q^3=\frac{u_4}{u_1}=8⟹q=2$.

Chọn D.
Số sản phẩm bán được ở các ngày $1,2,3,\dots$ lập thành một cấp số nhân với $u_1=5$ và công bội $q=2$.
Tổng số sản phẩm bán được sau $n$ ngày là:
$S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=5\cdot \frac{2^n-1}{2-1}=5(2^n-1).$
Theo giả thiết ta có:
$S_n\ge 1200⟺5(2^n-1)\ge 1200⟺2^n-1\ge 240⟺2^n\ge 241⟺n\ge {\log }_{2}241\approx 7,91.$
Vì $n$ là số nguyên nên số ngày ít nhất là $n=8$ ngày.

Số hạng thứ $4$ của cấp số nhân là $u_4=u_1\cdot q^3=2\cdot 3^3=54$.

Điều kiện $x>0$. Đặt $t={\log }_{2}x$. Khi đó ba số hạng là $t$, $1+\frac{t}{2}$, $\frac{2+t}{3}$. Ba số này lập thành cấp số nhân nên ${\left(1+\frac{t}{2}\right)}^2=t\cdot \frac{2+t}{3}⟺1+t+\frac{t^2}{4}=\frac{2t+t^2}{3}⟺12+12t+3t^2=8t+4t^2⟺t^2-4t-12=0⟺t=6$ hoặc $t=-2$. Với $t=6⟹{\log }_{2}x=6⟹x=2^6=64\in (30;+\infty )$. (Trường hợp $t=-2$ công bội $q=0$ loại vì giả thiết công bội khác 0).

Số hạng thứ 100 của cấp số nhân là $u_{100}=u_1\cdot q^{99}=2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{99}=2\cdot \frac{1}{2^{99}}=\frac{1}{2^{98}}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 46 chọn đáp án C.

Chu kỳ tăng lương là 3 năm một lần:
- Giai đoạn 1 (năm 1 - năm 3): lương 6 triệu đồng/tháng.
- Giai đoạn 2 (năm 4 - năm 6): lương $6\cdot 1,1$ triệu đồng/tháng.
- Giai đoạn 3 (năm 7 - năm 9): lương $6\cdot 1,1^2$ triệu đồng/tháng.
- Giai đoạn 4 (năm 10 - năm 12): lương $6\cdot 1,1^3$ triệu đồng/tháng.
- Giai đoạn 5 (năm 13 - năm 15): lương $6\cdot 1,1^4$ triệu đồng/tháng.
- Giai đoạn 6 (năm 16 - năm 18): người đó đã trải qua đúng 5 lần tăng lương, do đó mức lương mỗi tháng là $6\cdot 1,1^5$ triệu đồng.

Chọn đáp án C.

Với $r=0,1$, tổng doanh thu $6$ tháng cuối năm (từ tháng $7$ đến tháng $12$) là $6(1+r)+6(1+r{)}^2+\cdots +6(1+r{)}^6=6(1+0,1)\frac{(1+0,1{)}^6-1}{0,1}\approx 50,9$ (tỷ đồng). Vậy doanh thu cả năm đạt khoảng $20+50,9=70,9$ tỷ đồng.

Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_3=u_1\cdot q^2=3\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$.

Chọn D.
Công bội của cấp số nhân là $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{-6}{3}=-2$.
Số hạng thứ tư là:
$$u_4=u_1\cdot q^3=3\cdot (-2{)}^3=3\cdot (-8)=-24.$$

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Ta có $u_1=3^1=3$, $u_2=3^2=9$.
Công bội của cấp số nhân là $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{9}{3}=3$.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là $u_n=u_1\cdot q^{n-1}$.
Với $n=5$, ta có:
$u_5=u_1\cdot q^4=(-3)\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^4=-3\cdot \frac{16}{81}=-\frac{16}{27}$.
Chọn B.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Công bội $q$ của cấp số nhân thỏa mãn:
$$u_2=u_1\cdot q⟺q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{8}{2}=4.$$

Công bội của cấp số nhân là $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{8}{2}=4$.

Chọn A.
Số tiền thu được sau 10 năm gồm:
- Khoản gửi đầu tiên được tính lãi trong 10 năm: $T_1=60(1+0,08{)}^{10}$.
- Khoản gửi thứ hai được tính lãi trong 5 năm: $T_2=60(1+0,08{)}^5$.
Tổng số tiền nhận được là:
$$T=60(1,08{)}^{10}+60(1,08{)}^5\approx 129,5355+88,1597=217,695\text{ triệu đoˆˋng}.$$

Chọn D.
Số hạng thứ 6 là $u_6=u_1\cdot q^5=5\cdot 2^5=5\cdot 32=160$.

Chọn B.
Ta có $1200\cdot (1,06{)}^n>1600\iff (1,06{)}^n>\frac{4}{3}\iff n>{\log }_{1,06}\left(\frac{4}{3}\right)\approx 4,94$.
Số năm nguyên nhỏ nhất là $n=5$, tương ứng năm $2020+5=2025$.