Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=x^3+(2-m)x^2+(1-2m)x+m^2-m$.
Phân tích thành nhân tử: $y^{\prime }=(x-m+1)(x^2+x-m)$.
Để hàm số có đúng ba điểm cực trị thì phương trình $y^{\prime }=0$ phải có 3 nghiệm phân biệt, tức là phương trình $g(x)=x^2+x-m=0$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $m-1$:
1) $\Delta =1+4m>0\iff m>-\frac{1}{4}$.
2) $g(m-1)\ne 0\iff (m-1{)}^2+(m-1)-m\ne 0\iff m^2-2m\ne 0\iff m\ne 0$ và $m\ne 2$.
Kết hợp $m\in [-10;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m\in \{1;3;4;5;6;7;8;9;10\}$, có tất cả 9 giá trị nguyên.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=4x^3-4(m+1)x=4x(x^2-(m+1))$.
$y^{\prime }=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x^2=m+1\end{array}\right]$.
Hàm số có 3 điểm cực trị khi $m+1>0\iff m>-1$.
Khi đó tọa độ các điểm cực trị là:
$A(0;2)$, $B(\sqrt{m+1};-(m+1{)}^2+2)$, $C(-\sqrt{m+1};-(m+1{)}^2+2)$.
Ta có: $OA=2$ và $BC=2\sqrt{m+1}$.
Theo giả thiết: $BC>2OA\iff 2\sqrt{m+1}>2\cdot 2\iff \sqrt{m+1}>2\iff m+1>4\iff m>3$ (thỏa mãn $m>-1$).

Chọn D.
Hàm số bậc bốn trùng phương có $a=1,b=-2m$.
Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là $ab<0⟺1(-2m)<0⟺m>0$.
Ba điểm cực trị là $A(0;m-1),B(-\sqrt{m};-m^2+m-1),C(\sqrt{m};-m^2+m-1)$.
Diện tích tam giác $ABC$ là:
$$S=\sqrt{-\frac{b^5}{32a^3}}=\sqrt{-\frac{(-2m{)}^5}{32}}=\sqrt{\frac{32m^5}{32}}=\sqrt{m^5}=m^{\frac{5}{2}}.$$
Theo đề bài $S=2⟺m^{\frac{5}{2}}=2⟺m=2^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{4}\approx 1.3195\in (1;2)$.
Vậy giá trị của $m$ thuộc khoảng $(1;2)$.

Chọn C.
Xét hàm số $g(x)=f(-x^2)+3x^2-x^4$.
Đạo hàm:
$$g^{\prime }(x)=-2x{f}^{\prime }(-x^2)+6x-4x^3=-2x\left[f^{\prime }(-x^2)-3+2x^2\right].$$
Ta có $g^{\prime }(x)=0⟺x=0$ hoặc $f^{\prime }(-x^2)=3-2x^2$.
Đặt $t=-x^2\le 0$, phương trình trở thành $f^{\prime }(t)=3+2t$ với $t\le 0$.
Đường thẳng $y=2t+3$ đi qua $(0;3)$ và $(-1;1)$.
Dựa vào bảng biến thiên của $f^{\prime }(x)$:
- Tại $t=0$, $f^{\prime }(0)=0<3$.
- Tại $t=-1$, $f^{\prime }(-1)=4>1=2(-1)+3$.
- Khi $t\to -\infty$, $f^{\prime }(t)\to -\infty$ trong khi $2t+3\to -\infty$ (và đồ thị cắt nhau tại 2 điểm âm phân biệt $t_1<-1<t_2<0$).
Với mỗi giá trị $t_k<0$, phương trình $-x^2=t_k$ cho 2 nghiệm thực phân biệt đối xứng qua 0.
Kết hợp với nghiệm $x=0$, hàm số $g(x)$ có $2\times 2+1=5$ điểm cực trị.

Hàm số bậc ba $y=f(x)$ có hai điểm cực trị là $x=-1$ và $x=x_0>0$. Để hàm số $y=f(|x|+m)$ có $5$ điểm cực trị thì hàm số $y=f(x+m)$ phải có hai điểm cực trị dương, tức là $-1-m>0\iff m<-1$.

Hàm số $f(x)=x^3-3x^2+m$ có $2$ điểm cực trị $x=0$ ($f(0)=m$) và $x=2$ ($f(2)=m-4$). Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi $f(0)\cdot f(2)<0\iff m(m-4)<0\iff 0<m<4$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3\}$, có $3$ giá trị.

a) Đúng: Từ đồ thị, giá trị cực tiểu của hàm số đạt tại $x=0$ và bằng $-1$.
b) Đúng: ${\log }_3(f(x)+6)=2\iff f(x)=3$. Đường thẳng $y=3$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại $(2;3)$ và cắt đồ thị tại $1$ điểm nữa nên phương trình có $2$ nghiệm.
c) Sai: Hàm số đồng biến trên $(1;2)$ và nghịch biến trên $(2;3)$.
d) Đúng: Đồ thị có hai điểm cực trị $(0;-1)$ và $(2;3)$ nên $a=-1,b=3,c=0,d=-1\Rightarrow 2025a+b+c+d=-2025+3+0-1=-2023$.

Ta có $y^{\prime }=x^2-2(m+2021)x-4$. Vì tích $ac=-4<0$ nên $y^{\prime }=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu $x_1,x_2$ với $x_1{x}_2=-4$.
Giả sử $x_1>0>x_2$, khi đó $T=4x_1-9x_2=4x_1+9(-x_2)\ge 2\sqrt{4x_1\cdot 9(-x_2)}=2\sqrt{36(-x_1{x}_2)}=2\sqrt{36\cdot 4}=24$.
Dấu bằng xảy ra khi $4x_1=-9x_2$, kết hợp với $x_1{x}_2=-4$ tồn tại $m$ thỏa mãn.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $T$ bằng $24$. Chọn A.

Xét hàm số $g(x)=2020^{-f(x)}-2021^{f(x)}$, ta có $g^{\prime }(x)=-f^{\prime }(x)\left(2020^{-f(x)}\ln 2020+2021^{f(x)}\ln 2021\right)$. Vì $2020^{-f(x)}\ln 2020+2021^{f(x)}\ln 2021>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $g^{\prime }(x)$ trái dấu với $f^{\prime }(x)$. Hàm số $g(x)$ đạt cực đại tại điểm mà $g^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm, tức là $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương. Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $2$ điểm $x=-1$ và $x=4$. Vậy hàm số có $2$ điểm cực đại.

Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1)(x^2-2{)}^2(x^2+2)(x^3-3)(x^5-5)$. Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm đơn $x=1$, $x=\sqrt[3]{3}$, $x=\sqrt[5]{5}$ và hai nghiệm bội chẵn $x=\pm \sqrt{2}$. Vậy hàm số $f(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị.

Xét hàm số $g(x)=f(x+2017)+2018x$, ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x+2017)+2018$. Đặt $t=x+2017$. Từ bảng xét dấu của $f^{\prime \prime }(t)$ và $f^{\prime }(0)=3,f^{\prime }(2)=-2018$, suy ra $f^{\prime }(t)$ đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$, đạt cực tiểu tại $t=2$ với $f^{\prime }(2)=-2018$. Do đó $f^{\prime }(t)+2018\ge 0,\forall t>0$ và phương trình $f^{\prime }(t)=-2018$ có nghiệm đơn $t_0<0$ (nơi $f^{\prime }(t)+2018$ đổi dấu từ âm sang dương). Vậy $g(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x_0=t_0-2017<-2017$, tức $x_0\in (-\infty ;-2017)$.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6mx+3(m^2-1)$.
Hàm số đạt cực trị tại $x=1\Rightarrow f^{\prime }(1)=0\iff 3-6m+3(m^2-1)=0\iff 3m^2-6m=0\iff m=0$ hoặc $m=2$.
- Với $m=0$: $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, $f^{\prime \prime }(x)=6x\Rightarrow f^{\prime \prime }(1)=6>0\Rightarrow$ hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ (thỏa mãn).
- Với $m=2$: $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, $f^{\prime \prime }(x)=6x-12\Rightarrow f^{\prime \prime }(1)=-6<0\Rightarrow$ hàm số đạt cực đại tại $x=1$ (loại).
Vậy $m=0$. Chọn B.

Ta có $y^{\prime }=f^{\prime }(x)-2=0\iff f^{\prime }(x)=2$. Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ tại 3 điểm phân biệt và $f^{\prime }(x)-2$ đổi dấu qua cả 3 nghiệm đó, nên hàm số $y=f(x)-2x$ có $3$ điểm cực trị.

Xét $g(x)=x^5-5x^3+5x^2+3m-7$, có $g^{\prime }(x)=5x^4-15x^2+10x=5x(x-1{)}^2(x+2)$. Hàm số $g(x)$ đổi dấu đạo hàm tại $x=-2$ và $x=0$ nên chỉ có $2$ điểm cực trị. Để $y=|g(x)|$ có $5$ điểm cực trị thì phương trình $g(x)=0$ phải có $3$ nghiệm bội lẻ phân biệt $\iff g(0)<0<g(-2)\iff 3m-7<0<3m+21\iff -7<m<\frac{7}{3}$. Các giá trị nguyên của $m$ là $\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2\}$, có tổng bằng $-18$.

y^\prime = ( m2 - 1) x 2 + 2mx + 3
Trường hợp 1. m = 1 ta có y ^\prime = 2 x + 3
Xét dấu y ^\prime

\implies m = 1 loại
Trường hợp 2. m = -1 ta có y^\prime = -2 x + 3
3
y^\prime = 0 \iff x =
2

\implies m = -1 thỏa mãn
• m
e $\pm$ 1
Hàm số có cực đại \iff phương trình y^\prime = 0 có hai nghiệm phân biệt
\iff $\Delta$ ^\prime > 0
\iff m 2 - 3 ( m 2 - 1) > 0

6 6
\iff 3 - 2m 2 > 0 \iff - < m <
2 2
Vì m $\in$ nên m $\in$ {-1;0;1} kết hợp với điều kiện ta được m = 0
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm:
- $x=2021$ (bội lẻ: bậc 5) -> $f^{\prime }(x)$ đổi dấu.
- $x=2020$ (bội chẵn: bậc 2020) -> $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu.
- $x=2019$ (bội lẻ: bậc 2019) -> $f^{\prime }(x)$ đổi dấu.
Do đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua 2 điểm $x=2019$ và $x=2021$. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Chọn A.
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6mx+3(m^2-1)=3(x^2-2mx+m^2-1)=3[(x-m{)}^2-1]$.
Để hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ thì $f^{\prime }(1)=0\iff (1-m{)}^2-1=0\iff m(m-2)=0\iff m=0$ hoặc $m=2$.
Ta có $f^{\prime \prime }(x)=6x-6m$.
- Với $m=0$: $f^{\prime \prime }(1)=6>0\Rightarrow x=1$ là điểm cực tiểu (thỏa mãn).
- Với $m=2$: $f^{\prime \prime }(1)=6(1-2)=-6<0\Rightarrow x=1$ là điểm cực đại (loại).
Vậy $m=0$.

Đồ thị hàm số $y=x^4+2m{x}^2+1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân khi và chỉ khi $b^3=-8a\iff (2m{)}^3=-8\iff m=-1$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ khi và chỉ khi $-(m^2-4)>0$ hoặc $\{\begin{array}{l}{m}^2-4=0\\ m-2=0\end{array}\iff -2<m\le 2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1;2\}$, có $4$ giá trị.

Điều kiện xác định: $4-f^2(x)\ge 0⟺-2\le f(x)\le 2$.
Từ đồ thị ta thấy $-2\le f(x)\le 2$ với mọi $x$ thuộc một tập xác định tương ứng.
Đạo hàm của $y=\sqrt{4-f^2(x)}$ là:
$y^{\prime }=\frac{-f(x)f^{\prime }(x)}{\sqrt{4-f^2(x)}}$.
$y^{\prime }=0⟺[\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =0\\ f(x)& =0\end{array}$.
- $f^{\prime }(x)=0$: Hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị tại $x=-1$ và $x=1$.
- $f(x)=0$: Đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, trong đó có $x=0$ và 2 điểm khác nằm ngoài $[-1;1]$.
Tổng cộng có 5 nghiệm đơn phân biệt làm cho $y^{\prime }$ đổi dấu.
Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.