Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Với $m>0$, hàm số chẵn $y=g(|x|)$ với $g(x)=f\left(x+\frac{m}{x}\right)$ ($x>0$) có đúng $6$ điểm cực trị khi và chỉ khi $g(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị dương. Ta có $g^{\prime }(x)=\left(1-\frac{m}{x^2}\right)f^{\prime }\left(x+\frac{m}{x}\right)$. Với $x>0$, $x+\frac{m}{x}\ge 2\sqrt{m}\ge 2>0$, mà từ đồ thị $f^{\prime }(t)$ đổi dấu tại $t=3$ (khi $t>0$). Do đó $g(x)$ có $3$ điểm cực trị dương khi và chỉ khi phương trình $x+\frac{m}{x}=3\iff x^2-3x+m=0$ có hai nghiệm dương phân biệt khác $\sqrt{m}$, tức là $\Delta =9-4m>0\iff m<\frac{9}{4}$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2\}$, có $2$ giá trị. Chọn C.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Sơn La, trang 8, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $g^{\prime }(x)=(3x^2+6x)e^{x^3+3x^2}{f}^{\prime }\left(e^{x^3+3x^2}-m\right)$. Phương trình $g^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm đơn $x=0,x=-2$ từ $3x^2+6x=0$, và các phương trình $e^{x^3+3x^2}=m-3,e^{x^3+3x^2}=m+3,e^{x^3+3x^2}=m+5$. Xét hàm $h(x)=e^{x^3+3x^2}$ có $h(-2)=e^4,h(0)=1$ và $h(x)>0$. Để $g(x)$ có đúng $7$ điểm cực trị thì trong ba đường thẳng $y=m-3,y=m+3,y=m+5$ phải có một đường cắt đồ thị $y=h(x)$ tại $3$ điểm phân biệt (tức thuộc $(1;e^4)$) và hai đường kia cắt tại $1$ điểm (tức lớn hơn $e^4$). Suy ra $\{\begin{array}{l}1<m-3<e^4\\ m+3\ge e^4\end{array}\iff e^4-3\le m<e^4+3$. Vì $e^4\approx 54,598$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{52;53;54;55;56;57\}$, có $6$ giá trị nguyên.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 8, mã đề 001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Xét hàm số $g(x)=f^2(x)+4f(x)$. Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)[f(x)+2]$. $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(x)=0$ hoặc $f(x)=-2$. Từ đồ thị của $f(x)$, ta thấy $f(x)$ có 2 điểm cực trị và phương trình $f(x)=-2$ có 3 nghiệm phân biệt không trùng với điểm cực trị, do đó $g^{\prime }(x)=0$ có 5 nghiệm phân biệt đơn/bội lẻ $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$. Bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ cho thấy giá trị cực tiểu nhỏ nhất của $g(x)$ là $g(x)=(-2{)}^2+4(-2)=-4$. Hàm số $h(x)=|g(x)+3m|$ có đúng 5 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị $g(x)+3m$ không cắt trục hoành tại thêm điểm nào (nằm hoàn toàn phía trên trục hoành), tức là giá trị nhỏ nhất $g(x)+3m\ge 0\iff -4+3m\ge 0\iff m\ge \frac{4}{3}$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-100;100]$ nên $m\in \{2;3;4;\dots ;100\}$. Tổng các phần tử của tập hợp $S$ là $2+3+4+\cdots +100=\frac{(100+2)\cdot 99}{2}=5049$. Chọn C.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 25, mã đề 111; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $f^{\prime }(u)=(u-1)(u+4)$ và $g^{\prime }(x)=3x(x+2)\cdot f^{\prime }(x^3+3x^2-m)$. Trên khoảng $(-4;-1)$, $3x(x+2)=0$ có nghiệm đơn $x=-2$. Xét hàm $u(x)=x^3+3x^2-m$ trên $(-4;-1)$ có $u(-4)=-16-m$, $\max u(x)=u(-2)=4-m$ và $u(-1)=2-m$. Để $g(x)$ có đúng một điểm cực trị trên $(-4;-1)$ thì cả hai phương trình $u(x)=1$ và $u(x)=-4$ đều không có nghiệm bội lẻ trên $(-4;-1)$, tức là cả hai giá trị $1$ và $-4$ đều không thuộc khoảng $(-16-m;4-m)$. Điều này xảy ra khi $1\le -16-m⟺m\le -17$ hoặc $-4\ge 4-m⟺m\ge 8$. Với $m\in [-20;20]\cap \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{-20;-19;-18;-17\}\cup \{8;9;\dots ;20\}$, gồm $4+13=17$ giá trị. Chọn đáp án C.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Từ đồ thị ta thấy $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm đơn $x=-1$ (với $f(-1)=1$) và $x=1$ (với $f(1)=-3$). Ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }[2f(x)+1]=0⟺[<table><tbody><tr><td>f^{\prime }(x)=0</td></tr><tr><td>2f(x)+1=-1</td></tr><tr><td>2f(x)+1=1</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>x=\pm 1\text{ (2 nghiệm đơn)}</td></tr><tr><td>f(x)=-1\text{ (3 nghiệm đơn do }-3<-1<1\text{)}</td></tr><tr><td>f(x)=0\text{ (3 nghiệm đơn do }-3<0<1\text{)}</td></tr></tbody></table>$. Các nghiệm này đôi một phân biệt và đều là nghiệm bội lẻ nên hàm số $g(x)$ có $2+3+3=8$ điểm cực trị. Chọn đáp án A.

Xét hàm số $g(x)=f(x)-2023=(m^{2024}+1)x^4-(2m^{2024}+2m^2+3)x^2+(m^{2024}+1)$.
Đặt $a=m^{2024}+1>0$, $b=-(2m^{2024}+2m^2+3)<0$ và $c=a>0$.
Vì $ab<0$ nên $g(x)$ có 3 điểm cực trị.
Xét phương trình $g(x)=0\iff a{t}^2+bt+a=0$ ($t=x^2\ge 0$).
Biệt thức $\Delta =b^2-4a^2=(b-2a)(b+2a)$.
Ta có $b+2a=-(2m^{2024}+2m^2+3)+2(m^{2024}+1)=-2m^2-1<0$ và $b-2a<b+2a<0$.
Do đó $\Delta >0$, phương trình có 2 nghiệm phân biệt $t_1,t_2$. Tổng hai nghiệm $t_1+t_2=-\frac{b}{a}>0$ và tích $t_1{t}_2=\frac{a}{a}=1>0$, suy ra $t_1>0,t_2>0$.
Do đó phương trình $g(x)=0$ có 4 nghiệm thực đơn phân biệt. Vì $g(x)$ có 3 điểm cực trị và phương trình $g(x)=0$ có 4 nghiệm đơn không trùng với các điểm cực trị nên hàm số $y=|g(x)|$ có tất cả $3+4=7$ điểm cực trị. Vậy chọn A.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 202; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đặt $g(x)=f(x-2024+m-2023)$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }g(|x|)=+\infty$ nên hàm số $g(|x|)$ có đúng 3 điểm cực tiểu khi và chỉ khi nó có đúng 5 điểm cực trị, tương đương với hàm số $g(x)$ có 2 điểm cực trị dương. Dựa vào các nghiệm của $f^{\prime }(u)=0$ từ đồ thị, ta thiết lập điều kiện cho tham số $m$ và tìm được có đúng 2 giá trị nguyên của tham số $m$. Chọn A.

Ta có $y^{\prime }=(4x^3-36x)f^{\prime }(x^4-18x^2+m)=0\iff x\in \{0,\pm 3\}$ hoặc $x^4-18x^2=-m$ hoặc $x^4-18x^2=82-m$. Hàm số $g(x)=x^4-18x^2$ đạt cực tiểu bằng $-81$ tại $x=\pm 3$ và cực đại bằng $0$ tại $x=0$. Để hàm số có đúng $7$ điểm cực trị thì một phương trình có $4$ nghiệm đơn và phương trình kia vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, mà $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $-81<82-m<0\iff 82<m<163$, có $80$ giá trị nguyên dương của $m$.

Ta có $y^{\prime }=3(x-m{)}^2-3=0⟺x=m\pm 1$. Đồ thị $(C_m)$ có điểm cực đại là $(m-1;m^2-3m+2)$ và điểm cực tiểu là $(m+1;m^2-3m-2)$. Theo giả thiết, tồn tại $m_1,m_2$ sao cho $\{\begin{array}{l}{x}_0=m_1-1=m_2+1\\ y_0=m_1^2-3m_1+2=m_2^2-3m_2-2\end{array}$. Thay $m_1=m_2+2$ vào phương trình thứ hai được $(m_2+2{)}^2-3(m_2+2)+2=m_2^2-3m_2-2⟺4m_2=-2⟺m_2=-\frac{1}{2}$. Suy ra $x_0=\frac{1}{2}$, $y_0=-\frac{1}{4}$, và $P=19\cdot \frac{1}{2}+5\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)=8,25$. Chọn đáp án C.

Xét $g(x)=f(x^2-2x+m+1)$, đạo hàm $g^{\prime }(x)=2(x-1)f^{\prime }(x^2-2x+m+1)$. Hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình $f^{\prime }(u)=0$ có đúng 1 nghiệm đơn thỏa mãn $u>m$, kết hợp với các điểm cực trị $u=-1$ và $u=3$ của hàm số $f(u)$, tìm được có 4 giá trị nguyên của tham số $m$. Chọn D.

Ta có $g^{\prime }(x)=\left[3-f^{\prime }(x)\right]\cdot f^{\prime \prime }\left[3x-f(x)\right]=0$. Phương trình $f^{\prime }(x)=3$ có $3$ nghiệm bội lẻ; mỗi phương trình $3x-f(x)=m$ và $3x-f(x)=n$ (với $-e<m<n$) có $2$ nghiệm bội lẻ. Vậy $g(x)$ có $7$ điểm cực trị. Chọn đáp án B.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 006; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)