Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là hình vuông cạnh $2\sqrt{2}$ hoặc hình thoi tâm $O$. Tập hợp điểm biểu diễn $u$ là đường tròn hoặc đường thẳng. Khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa hai tập hợp điểm cho $M^2+m^2=56$. Chọn C.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$).

Ta có: $(z+2i)(\bar{z}+2)=[x+(y+2)i][(x+2)-yi]=x(x+2)+y(y+2)+[(x+2)(y+2)-xy]i$.

Vì $(z+2i)(\bar{z}+2)$ là số thuần ảo nên $x(x+2)+y(y+2)=0\iff x^2+y^2+2x+2y=0\iff (x+1{)}^2+(y+1{)}^2=2$.

Đây là phương trình đường tròn có tâm $I(-1;-1)$.

**Chọn B**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Theo đề bài:
$5w=(2+i)(z-4)\iff 5(w+i)=(2+i)(z-4)+5i=(2+i)z-8+i$.
Lấy môđun hai vế:
$5|w+i|=|(2+i)z-(8-i)|=|2+i|\cdot \left|z-\frac{8-i}{2+i}\right|=\sqrt{5}\cdot |z-(3-2i)|$.
Mà $5|w+i|=5\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}=3\sqrt{5}$, do đó:
$\sqrt{5}\cdot |z-(3-2i)|=3\sqrt{5}\iff |z-(3-2i)|=3$.
Gọi $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$, thì $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(3;-2)$ và bán kính $R=3$.

Biểu thức $P=|z-(1+2i)|+|z-(5+2i)|=MA+MB$ với $A(1;2)$ và $B(5;2)$.
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, suy ra $E(3;2)$ và $AB=4$.
Ta có $IE=\sqrt{(3-3{)}^2+(2-(-2){)}^2}=4>R=3$, nên $E$ nằm ngoài đường tròn $(C)$.
Theo công thức độ dài đường trung tuyến trong tam giác $MAB$:
$M{A}^2+M{B}^2=2M{E}^2+\frac{A{B}^2}{2}=2M{E}^2+8$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$P=MA+MB\le \sqrt{2(M{A}^2+M{B}^2)}=\sqrt{2(2M{E}^2+8)}=\sqrt{4M{E}^2+16}$.

Biểu thức $P$ đạt giá trị lớn nhất khi $ME$ lớn nhất, tức $M,I,E$ thẳng hàng theo thứ tự $M-I-E$:
$M{E}_{\max }=IE+R=4+3=7$.
Khi đó:
$P_{\max }=\sqrt{4\cdot 7^2+16}=\sqrt{196+16}=\sqrt{212}=2\sqrt{53}$.

Ta có:
$|z_1-3i+5|=2\iff |2i(z_1-3i+5)|=4\iff |2i{z}_1+6+10i|=4$.
Đặt $u=2i{z}_1\Rightarrow |u-(-6-10i)|=4$, tập hợp điểm biểu diễn $u$ là đường tròn tâm $I_1(-6;-10)$, bán kính $R_1=4$.
Mặt khác: $|i{z}_2-1+2i|=4\iff |z_2+2+i|=4\iff |3z_2+6+3i|=12\iff |-3z_2-6-3i|=12$.
Đặt $v=-3z_2\Rightarrow |v-(6+3i)|=12$, tập hợp điểm biểu diễn $v$ là đường tròn tâm $I_2(6;3)$, bán kính $R_2=12$.
Ta có $T=|u-v|$.
Khoảng cách giữa hai tâm: $I_1{I}_2=\sqrt{(6-(-6){)}^2+(3-(-10){)}^2}=\sqrt{12^2+13^2}=\sqrt{144+169}=\sqrt{313}$.
Giá trị lớn nhất của $T=|u-v|$ là:
$T_{\max }=I_1{I}_2+R_1+R_2=\sqrt{313}+4+12=\sqrt{313}+16.$

**Chọn D**
Đặt w= x + yi
w x + yi ( x + yi )( 3 − 4i ) ( 3 x + 4 y ) + ( −4 x + 3 y ) i
Ta có w = ( 3 + 4i ) z ⇒ z = = = =
3 + 4i 3 + 4i ( 3 + 4i )( 3 − 4i ) 25

Lại có z − 1 + i = 3 ⇔
x + yi ( 3x + 4 y − 25) + ( −4 x + 3 y + 25) i =
3
−1+ i = 3 ⇔
3 + 4i 25
⇔ ( 3 x + 4 y − 25 ) + ( −4 x + 3 y + 25 ) i =75 ⇔ ( 3 x + 4 y − 25 ) + ( −4 x + 3 y + 25 ) =75
2 2

⇔ 9 x 2 + 16 y 2 + 625 + 24 xy − 150 x − 200 y + 16 x 2 + 9 y 2 + 625 − 24 xy − 200 x + 150 y =
5625
⇔ 25 x 2 + 25 y 2 − 350 x − 50 y − 4375 =
0 ⇔ x 2 + y 2 − 14 x − 2 y − 175 =
0
Vậy tập hợp là đường tròn có tâm I ( 7; 1) và bán kính R= 7 2 + 12 + 175= 15

**Chọn A**
w +5−i
Ta có: w = 2 z − 5 + i ⇔ z = x + yi ( x, y ∈  )
. Đặt w =
2
( z − 3 + i ) ( z − 3 − i ) =36
 w +5−i   w +5+i 
⇔ − 3 + i  . −3−i =36
 2  2 
(
⇔ ( w −1 + i ) w −1 − i =144 )
⇔ ( x − 1) + ( y + 1) i  . ( x − 1) − ( y + 1) i  =
144

⇔ ( x − 1) + ( y + 1) =
2 2
144 .
Tập hợp điểm biễu diễn của w là đường tròn tâm I (1; − 1) , bán kính R = 12 .
Gọi A , B là điểm biễu diễn của số phức w1 , w 2 , M ( 0;5 ) .
  2   2
Ta có:=P MA2 − MB 2 = MI + IA − MI + IB ( ) ( )
      
( )
= IA2 − IB 2 + 2.MI IA − IB = 2.MI .BA = 2. 17.2.cos MI , BA ( )
 
P đạt giá trị lớn nhất ⇔ cos BA , MI = 1. ( )
Giá trị lớn nhất của P là: 4 17 .
2

Khoảng cách từ tâm lục giác đều cạnh $2\text{ dm}$ đến mỗi cạnh là $\sqrt{3}\text{ dm}$, nên bán kính đường tròn đi qua các đỉnh parabol là $R=\sqrt{3}+3$. Diện tích lục giác đều là $6\sqrt{3}$, diện tích $6$ cánh hoa parabol là $6\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot 2\cdot 3\right)=24$. Diện tích phần tô màu là $\pi (\sqrt{3}+3{)}^2-(6\sqrt{3}+24)\approx 36{\text{ dm}}^2$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

Chọn B.

Ta có $|(z+1-2i)(1+i)|\le 4\sqrt{2}\iff |z+1-2i|\cdot \sqrt{2}\le 4\sqrt{2}\iff |z+1-2i|\le 4$.
Lại có $w=z(1-i)\Rightarrow z=\frac{w}{1-i}$.
Thay vào điều kiện:
$\left|\frac{w}{1-i}+1-2i\right|\le 4\iff \frac{|w+(1-2i)(1-i)|}{|1-i|}\le 4\iff |w-1-3i|\le 4\sqrt{2}$.
Tập hợp điểm biểu diễn $w$ là hình tròn tâm $I(1;3)$ bán kính $R=4\sqrt{2}$.
Diện tích hình phẳng là $S=\pi R^2=\pi (4\sqrt{2}{)}^2=32\pi$.

Chọn D.

Điều kiện $z\ne 6$. Đặt $z=x+yi$.
- $|z-m|=4\iff (x-m{)}^2+y^2=16$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(m;0)$, bán kính $R=4$.
- $\frac{z}{z-6}$ thuần ảo khi phần thực bằng 0: $(x-3{)}^2+y^2=9$ là đường tròn $(C^{\prime })$ tâm $I^{\prime }(3;0)$, bán kính $R^{\prime }=3$.
Để có đúng một số phức $z$ thì $(C)$ và $(C^{\prime })$ tiếp xúc nhau:
- Tiếp xúc trong: $I{I}^{\prime }=|R-R^{\prime }|=1\iff |m-3|=1\iff m=2$ hoặc $m=4$.
- Tiếp xúc ngoài: $I{I}^{\prime }=R+R^{\prime }=7\iff |m-3|=7\iff m=10$ hoặc $m=-4$.
Tổng các phần tử của $S$: $2+4+10+(-4)=12$.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$).
Ta có $|z-(2-i)|=4\iff (x-2{)}^2+(y+1{)}^2=16$.
Đây là phương trình đường tròn có tâm $I(2;-1)$ và bán kính $R=4$.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Chọn D.

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Khi đó $\bar{z}=x-yi$.
$|\bar{z}+2-i|=2\iff |(x+2)-(y+1)i|=2\iff (x+2{)}^2+(y+1{)}^2=4$.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(-2;-1)$, bán kính $R=2$.

Chọn D.

Gọi $M,N,P$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $u,v,w$ trên mặt phẳng tọa độ.
- Tập hợp điểm $M$ là đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(-4;2)$, bán kính $R_1=2$.
- Đặt $v=x+yi$, biến đổi $|3v-1+i|=|2v+1-i|\iff x^2+y^2-2x+2y=0$, do đó tập hợp điểm $N$ là đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(1;-1)$, bán kính $R_2=\sqrt{2}$.
- Điểm $P$ thỏa mãn $|w|=|w+2+2i|$ nên $P$ thuộc đường trung trực $d:x-y+2=0$ của đoạn nối gốc tọa độ và $(-2;-2)$.
Vì $(C_1)$ và $(C_2)$ nằm về hai phía của đường thẳng $d$, giá trị nhỏ nhất của $S=MP+NP$ đạt được khi $P$ là giao điểm của đường thẳng nối tâm $I_1{I}_2$ với $d$.
Phương trình đường thẳng $I_1{I}_2$ cắt $d$ tại điểm $P\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ hoặc qua tính tọa độ ta được $P\left(-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)\Rightarrow w=-\frac{1}{2}+i\Rightarrow |w|=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Chọn B
Ta có | z + 6 - 8i |= a , khi đó tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I ( -6;8 ) ,
bán kính R = a , với OI = 10 .
Giá trị lớn nhất của | z | là M = OI + a = 10 + a .
TH1: a \le 10 .
Khi đó giá trị nhỏ nhất của | z | là m = OI - a = 10 - a .
Để M  3m $\iff$ 10 + a  3 (10 - a ) $\iff$ a  5 .
TH này có 4 giá trị của a thỏa mãn, a $\in$ \{1, 2,3, 4\} .
TH2: a  10 .
Khi đó giá trị nhỏ nhất của | z | là m = a - OI = a - 10 .

Để M  3m $\iff$ 10 + a  3 ( a - 10 ) $\iff$ a  20 .
TH này có vô số giá trị của a thỏa mãn, a $\in$ \{$\infty$ / a  20\} .
KL: Vậy có vô số giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

**Chọn B**

 
Ta có  z  3  2i  z  3  2i  16   z  3  2i  z  3  2i   16  z  3  2i  16 .
2

w  2  3i
Mặt khác w  2 z  2  3i  z  suy ra:
2
2
w  2  3i
 3  2i  16  w  4  i  64   x  4    y  1  64 .
2 2 2

2

Tập hợp điểm M biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I  4; 1 và bán kính 8 . Vậy
a  b  c  11 .

Phương trình đường tròn $(C):(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=5$ có tâm $I(2;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{5}$.

Đặt $DP=x\in [0;1]$, do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $PM=PD=x$ và $QM=QB$, từ $P{C}^2+Q{C}^2=P{Q}^2⟺(1-x{)}^2+(1-QB{)}^2=(x+QB{)}^2\Rightarrow QB=\frac{1-x}{1+x}$. Khi đó $PQ=x+\frac{1-x}{1+x}=x-1+\frac{2}{x+1}$ đạt GTNN khi $x+1=\sqrt{2}⟺x=\sqrt{2}-1\approx 0,41$ (theo đáp án chính thức Trang 5, Mã đề 1201).

Ta có $GH=6,EF=4$. Đường tròn đi qua $G,E,H$ có bán kính $R=\frac{O{E}^2+O{H}^2}{2OE}=\frac{4+9}{4}=\frac{13}{4}$ và góc ở tâm chắn dây $GH$ là $\alpha =2\arcsin \frac{12}{13}$.
Diện tích hình giới hạn bởi hai cung $GEH$ và $GFH$ là $2\cdot \frac{1}{2}{R}^2(\alpha -\sin \alpha )=\frac{169}{16}\left(2\arcsin \frac{12}{13}-\frac{120}{169}\right)\approx 17,30$.
Trừ diện tích hình thoi $GEHF$ bằng $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$, diện tích phần gạch sọc là $17,30-12\approx 5,3$. Đáp án: 5,3.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 10 chọn đáp án A.

Phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a=1$, $b=-3$, $c=1$.
Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{1^2+(-3{)}^2-1}=\sqrt{1+9-1}=\sqrt{9}=3$.