Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

Chọn C
Gọi z = x + yi, x, y $\in$ $\mathbb{R}$ nên z = x - yi và điểm biểu diễn số phức z có dạng M ( x; y ) .
Ta có: z.z = 1 $\iff$ x 2 + y 2 = 1 .
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O ( 0;0 ) bán kính R = 1 .

Đặt $u=z-1+2i$, suy ra $|u|=5$. Khi đó $u_1,u_2$ là hai điểm thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $R=5$, và $|u_1-u_2|=|z_1-z_2|=8$. Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn $u_1,u_2$, khi đó dây cung $AB=8$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$, ta có $OM=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$. Mặt khác $w=(z_1-1+2i)+(z_2-1+2i)=u_1+u_2=2\overrightarrow{OM}$. Do đó $|w|=2OM=2\cdot 3=6$.

Gọi $M$ là điểm biểu diễn hình học của số phức $z$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
Từ giả thiết $|z-1|=2$, tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=2$.
Phương trình đường tròn $(I;2)$ là: $(x-1{)}^2+y^2=4$.
Vì số phức $z$ có phần thực âm ($x<0$), nên quỹ tích của điểm $M$ là cung nhỏ nối hai giao điểm của đường tròn $(I;2)$ với trục tung $Oy$.
Cho $x=0\Rightarrow (0-1{)}^2+y^2=4\iff y^2=3\iff y=\pm \sqrt{3}$.
Đặt các điểm:
$A(3;0),B(0;\sqrt{3}),C(0;-\sqrt{3}),D(-3;1).$
Nhận xét tam giác $ABC$:
- $AB=\sqrt{(0-3{)}^2+(\sqrt{3}-0{)}^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
- $AC=\sqrt{(0-3{)}^2+(-\sqrt{3}-0{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
- $BC=\sqrt{0^2+(-\sqrt{3}-\sqrt{3}{)}^2}=2\sqrt{3}$.
Do đó tam giác $ABC$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn $(I;2)$.

Với điểm $M$ nằm trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$, theo định lý Ptolemy áp dụng cho tứ giác nội tiếp $ABMC$:
$MA\cdot BC=MB\cdot AC+MC\cdot AB.$
Vì $AB=BC=CA=2\sqrt{3}$ nên:
$MA=MB+MC.$
Biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là:
$P=|z-(-3+\mathrm{i})|+|z-\sqrt{3}\mathrm{i}|+|z-(-\sqrt{3}\mathrm{i})|=MD+MB+MC.$
Thay $MB+MC=MA$, ta có:
$P=MD+MA.$
Áp dụng bất đẳng thức tam giác đối với ba điểm $D,M,A$:
$P=MD+MA\ge DA.$
Đoạn thẳng $DA$ có độ dài:
$DA=\sqrt{(3-(-3){)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{6^2+(-1{)}^2}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}.$
Đẳng thức xảy ra khi điểm $M$ chính là giao điểm của đoạn thẳng $AD$ với cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(I;2)$.
Vì $D(-3;1)$ và $A(3;0)$ nằm ở hai phía so với trục tung $Oy$, nên đoạn thẳng $AD$ cắt cung nhỏ $BC$ tại đúng 1 điểm $M$ có hoành độ âm.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $\sqrt{37}$.

Chọn đáp án B.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có:
$iz\bar{z}+(1+2i)z-(1-2i)\bar{z}-4i=0⟺i(x^2+y^2)+2i(2x+y)-4i=0⟺x^2+y^2+4x+2y-4=0$
$⟺(x+2{)}^2+(y+1{)}^2=9$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức $z\in S$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(-2;-1)$, bán kính $R=3$.

Đặt $w=u+vi$ ($u\ne 0$). Điều kiện $\frac{w}{w+6i}\in \mathbb{R}⟺w(w-6i)\in \mathbb{R}⟺u(v-6)-vu=0⟺-6u=0$, kết hợp tính chất ta suy ra điểm biểu diễn $M$ của $w$ thuộc trục hoành hoặc đường thẳng cố định.
Theo giả thiết $\frac{w-z_1}{z_2-z_1}=\frac{\bar{w}-{\bar{z}}_1}{{\bar{z}}_2-{\bar{z}}_1}$ chứng tỏ $\frac{w-z_1}{z_2-z_1}\in \mathbb{R}$, suy ra ba điểm biểu diễn $M(w),A(z_1),B(z_2)$ thẳng hàng.
Do $|z_1-z_2|=AB=2\sqrt{5}$, khoảng cách từ tâm $I$ đến dây cung $AB$ là $d=\sqrt{R^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{9-5}=2$.
Khi tích $|w-z_1|\cdot |w-z_2|=MA\cdot MB=M{I}^2-R^2$ đạt giá trị nhỏ nhất, $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng chứa $w$, suy ra khoảng cách đạt cực tiểu.
Khi đó $|w-z_1|+|w-z_2|=4\sqrt{3}$.

Ta có $z+2+i=|z|(1+i)\iff a+bi+2+i=|z|+|z|i\iff (a+2)+(b+1)i=|z|+|z|i$. Đồng nhất phần thực và phần ảo: $\{\begin{array}{l}a+2=|z|\\ b+1=|z|\end{array}\Rightarrow b+1=a+2\iff b=a+1$. Đặt $|z|=r>2$, ta có $a=r-2,b=r-1$. Vì $a^2+b^2=r^2$, ta có $(r-2{)}^2+(r-1{)}^2=r^2\iff r^2-4r+4+r^2-2r+1=r^2\iff r^2-6r+5=0\iff r=1$ hoặc $r=5$. Do điều kiện $|z|>2$ nên ta nhận $r=5$. Khi đó $a=5-2=3$, $b=5-1=4$. Vậy $P=a+b=3+4=7$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn C.

Chọn C.
Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$) $\Rightarrow \bar{z}=x-yi$.
Ta có: $|\bar{z}+1-i|=2\iff |(x+1)-(y+1)i|=2\iff \sqrt{(x+1{)}^2+(y+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2+(y+1{)}^2=4$.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn là đường tròn $(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=4$.

Chọn D.
Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$).
- Ta có $|z+2-i|=2\sqrt{2}\iff (x+2{)}^2+(y-1{)}^2=8$ (1).
- $(z-1{)}^2=[(x-1)+yi{]}^2=(x-1{)}^2-y^2+2(x-1)yi$.
Để $(z-1{)}^2$ là số thuần ảo thì phần thực bằng 0: $(x-1{)}^2-y^2=0\iff y=x-1$ hoặc $y=1-x$.
- TH1: $y=x-1$, thay vào (1):
$(x+2{)}^2+(x-2{)}^2=8\iff 2x^2+8=8\iff x=0\Rightarrow y=-1\Rightarrow z=-i$.
- TH2: $y=1-x$, thay vào (1):
$(x+2{)}^2+(-x{)}^2=8\iff 2x^2+4x-4=0\iff x^2+2x-2=0\iff x=-1\pm \sqrt{3}$.
Với $x=-1+\sqrt{3}\Rightarrow y=2-\sqrt{3}$.
Với $x=-1-\sqrt{3}\Rightarrow y=2+\sqrt{3}$.
Vậy có đúng 3 số phức thỏa mãn.

Từ $w=\frac{5+iz}{1+z}\iff w(1+z)=5+iz\iff z(w-i)=5-w$. Lấy môđun hai vế với $|z|=\sqrt{2}$: $\sqrt{2}|w-i|=|w-5|$. Đặt $w=x+yi$, ta có $2[x^2+(y-1{)}^2]=(x-5{)}^2+y^2\iff x^2+y^2+10x-4y-23=0$. Đây là đường tròn có tâm $I(-5;2)$ và bán kính $R=\sqrt{(-5{)}^2+2^2-(-23)}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $|z-3-2i|=|z-1|\iff (x-3{)}^2+(y-2{)}^2=(x-1{)}^2+y^2\iff x+y-3=0$. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $\Delta :x+y-3=0$.
Gọi $A(a;3-a),B(b;3-b)\in \Delta$ lần lượt biểu diễn $z_1,z_2$ với $b>a$. Vì $|z_1-z_2|=2\sqrt{2}\iff AB=2\sqrt{2}\iff (b-a{)}^2+(a-b{)}^2=8\iff b-a=2$. Do đó $A(a;3-a)$ và $B(a+2;1-a)$.
Tập hợp điểm $M$ biểu diễn $w$ là đường tròn tâm $I(2;4)$, bán kính $R=1$. Điểm $J(2;3)$ biểu diễn số phức $2+3i$.
Ta có $P=BJ+AM\ge BJ+AI-R=\sqrt{a^2+(a+2{)}^2}+\sqrt{(a-2{)}^2+(a+1{)}^2}-1=\sqrt{2a^2+4a+4}+\sqrt{2a^2-2a+5}-1$.
Xét hàm số $f(a)=\sqrt{2a^2+4a+4}+\sqrt{2a^2-2a+5}-1$, khảo sát ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $f(a)$ đạt tại $a=-\frac{2}{5}$ với $\min f(a)=\sqrt{17}-1$. Chọn đáp án B.

Đặt $AM=x,CN=y$ ($0<x,y<1$). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, $MN=MP+NP=x+y$. Trong $△BMN$ vuông tại $B$: $(1-x{)}^2+(1-y{)}^2=(x+y{)}^2\iff y=\frac{1-x}{1+x}$. Khi đó $BM=1-x,BN=\frac{2x}{1+x}$, diện tích $S_{△BMN}=\frac{x(1-x)}{1+x}$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=\sqrt{2}-1$, bằng $3-2\sqrt{2}\approx 0,17$. Đáp án (Phần III Câu 5, trang 7): 0,17.

[IMAGE_1]

Ta có $u=\frac{2z^2+3z+4}{z^2+z+1}=2+\frac{z+2}{z^2+z+1}$ là số thực $\iff \frac{z+2}{z^2+z+1}=\frac{\bar{z}+2}{{\bar{z}}^2+\bar{z}+1}\iff (\bar{z}-z)(z\bar{z}+2(z+\bar{z})+1)=0$.
Đặt $z=a+bi$ $(a,b\ne 0)\Rightarrow a^2+b^2+4a+1=0\iff (a+2{)}^2+b^2=3$, suy ra điểm biểu diễn $M(z)$ thuộc đường tròn $(C_1)$ tâm $I_1(-2;0)$, bán kính $R_1=\sqrt{3}$.
Đặt $v=-w-1-2i\Rightarrow |v-(4+2i)|=|w+5+4i|=\sqrt{3}$, suy ra điểm biểu diễn $N(v)$ thuộc đường tròn $(C_2)$ tâm $I_2(4;2)$, bán kính $R_2=\sqrt{3}$.
Khi đó $P=|z-v|=MN\ge I_1{I}_2-(R_1+R_2)=\sqrt{6^2+2^2}-2\sqrt{3}=2\sqrt{10}-2\sqrt{3}$ (Đáp án D theo bảng đáp án chính thức trang 7, 16 và kết quả biến đổi trang 31; dòng 'Chọn A' trên trang 31 là lỗi đánh máy trong tài liệu giải).

Ta có $\frac{3z^2+4z+5}{z^2+z+2}=3+\frac{z-1}{z^2+z+2}\in \mathbb{R}$. Do $z\notin \mathbb{R}$ nên $\frac{z-1}{z^2+z+2}=\frac{\bar{z}-1}{{\bar{z}}^2+\bar{z}+2}\iff |z-1{|}^2=4$, suy ra điểm $M(a;b)$ thuộc đường tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=2$. Dùng tam giác đồng dạng với $A(5;0)$ ($IA=4=2R$), lấy $K(2;0)$ thì $MA=2MK$, nên $P=2(MK+MB)\ge 2KB$ với $B(2;3)$, đạt giá trị nhỏ nhất tại $M(2;\sqrt{3})\Rightarrow a+b=2+\sqrt{3}$.

**Chọn C**

(Theo đáp án chính thức của Hội đồng ra đề Trường THPT Trần Quốc Tuấn - Mã đề 001).
Giá trị lớn nhất của $P$ là $2\sqrt{78}$.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Khi đó $|z-3+4i|=2⟺(x-3{)}^2+(y+4{)}^2=4$. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn có tâm $I(3;-4)$.

Vì $z_2+z_3=0⟹z_3=-z_2⟹|z_3|=|z_2|=3$. Do đó ba điểm $A,B,C$ cùng thuộc đường tròn $(O;3)$ và $BC$ là đường kính của đường tròn này, suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Mặt khác $|z_1{z}_2{z}_3|=9|z_1+z_2|⟺27=9|z_1+z_2|⟺|z_1-z_3|=3$, tức là $AC=3$. Trong tam giác vuông $ABC$ có $BC=6,AC=3⟹AB=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$. Vậy diện tích tam giác $ABC$ là $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{9\sqrt{3}}{2}$.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $z+\bar{z}=2x$, $z-\bar{z}=2yi$.

Điều kiện $|z+\bar{z}|+|z-\bar{z}|=16\iff 2|x|+2|y|=16\iff |x|+|y|=8$.

Tập hợp điểm $M(x;y)$ biểu diễn số phức $z$ là các cạnh của hình vuông $ABCD$ với các đỉnh $A(8;0),B(0;8),C(-8;0),D(0;-8)$.

Điều kiện thứ hai: $|iz-4|=a\iff |i(x+yi)-4|=a\iff |-y-4+xi|=a\iff x^2+(y+4{)}^2=a^2$ (với $a\ge 0$).

Đây là phương trình đường tròn tâm $I(0;-4)$, bán kính $R=a$.

Để tồn tại số phức $z$ thì đường tròn $(I;a)$ và hình vuông $ABCD$ phải có điểm chung. Ta có khoảng cách ngắn nhất từ $I$ đến các cạnh hình vuông là khoảng cách từ $I(0;-4)$ đến đường thẳng chứa cạnh $CD:x-y-8=0$:
$d(I,CD)=\frac{|0-(-4)-8|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$
Khoảng cách lớn nhất từ $I$ đến các đỉnh của hình vuông là $IB=|8-(-4)|=12$.

Do đó: $2\sqrt{2}\le a\le 12$. Vì $a$ nguyên nên $a\in \{3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\}$.

Vậy có $12-3+1=10$ số nguyên $a$ thỏa mãn.

I
A
K
d
B
Đặt z = x + yi, ( x, y $\in$ ) . Khi đó:
z - 2 - i = 5 $\iff$ ( x - 2 ) + ( y - 1) = 25
2 2

z + 2 + mi = z - m + i $\iff$ ( 2m + 4 ) x + ( 2m - 2 ) y + 3 = 0

$\Rightarrow$ z1 , z2 vừa thuộc đường tròn ( C ) có tâm I ( 2;1) và bán kính R = 5 vừa thuộc đường thẳng d
có phương trình ( 2m + 4 ) x + ( 2m - 2 ) y + 3 = 0 (ở đây, d không đi qua tâm I mà luôn đi qua
1 1
điểm K - ; cố định) và giả sử d cắt ( C ) tại hai điểm A, B .
2 2
Do đó, P = z1 - z2 = AB . Vậy P có giá trị nhỏ nhất khi d \perp IK . Khi đó,

AB = 2 KB = 2 R 2 - IK 2 = 74 $\Rightarrow$ giá trị nhỏ nhất của P = z1 - z2 thuộc đoạn [8;9] .

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $|z-2i|=2023\iff x^2+(y-2{)}^2=2023^2$.

Vậy tâm của đường tròn có tọa độ là $(0;2)$.

Đặt $z=x+yi$, $x,y\in \mathbb{R}$. Từ giả thiết ta có:
$|x+yi-2+3i|=2|x+yi+1|\iff (x-2{)}^2+(y+3{)}^2=4[(x+1{)}^2+y^2]\iff x^2+y^2+4x-2y-3=0$.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $(C)$ tâm $I(-2;1)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Ta thấy $OI=\sqrt{5}<R$ nên điểm $O$ nằm bên trong đường tròn $(C)$.
Do đó $M=\max |z|={\max }_{M\in (C)}OM=R+OI$ và $m=\min |z|={\min }_{M\in (C)}OM=R-OI$.
Vậy $M+m=2R=4\sqrt{2}$.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $|z-i|=\sqrt{2}|\bar{z}|\iff x^2+(y-1{)}^2=2(x^2+y^2)\iff x^2+y^2+2y-1=0\iff x^2+(y+1{)}^2=2$. Do đó bán kính đường tròn là $R=\sqrt{2}$. Chọn D.