Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Độ cao có dạng $y=a(t-3{)}^2+21$ với đỉnh $(3;21)$. Vì bóng đá từ mặt đất: $y(0)=0\Rightarrow 9a+21=0\Rightarrow a=-\frac{7}{3}$. Vậy $y=-\frac{7}{3}{t}^2+14t$. a) Đúng. b) $y(1)=-\frac{7}{3}+14=\frac{35}{3}$ m, đúng. c) Bóng chạm đất khi $-\frac{7}{3}{t}^2+14t=0\Rightarrow t=6$ giây, nên sau 10 giây bóng đã chạm đất từ lâu; phát biểu sai. d) $y>10\iff -\frac{7}{3}{t}^2+14t>10\iff 7t^2-42t+30<0\iff t\in \left(\frac{42-\sqrt{924}}{14};\frac{42+\sqrt{924}}{14}\right)\approx (0.83;5.17)$. Số nguyên $t$ lớn nhất là 5, không phải 6; phát biểu sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=a(t-3{)}^2+21$, $y(0)=0\Rightarrow a=-\frac{7}{3}$, nên $y=-\frac{7}{3}{t}^2+14t$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(1)=-\frac{7}{3}+14=\frac{35}{3}$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=0\Rightarrow t=6$ giây, bóng chạm đất lúc 6 giây chứ không phải 10 giây.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y>10\iff 7t^2-42t+30<0\iff 0.83<t<5.17$, nên $t\in \mathbb{Z}$ lớn nhất là 5 giây.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=x^2-mx+m+2$ có $a=1>0$ nên đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{m}{2}$, với giá trị nhỏ nhất $\min f=f\left(\frac{m}{2}\right)=\frac{m^2}{4}-\frac{m^2}{2}+m+2=-\frac{m^2}{4}+m+2=-\frac{(m-2{)}^2}{4}+3$. Giá trị nhỏ nhất này đạt giá trị lớn nhất khi $m=2$, khi đó $\min f=3$. Kết quả khớp với đáp số nguồn (Câu 4: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Vì (P) đi qua A(0;-5) nên c = -5. Đi qua B(2;3): 4a + 2b + c = 3 ⟹ 4a + 2b = 8 ⟹ 2a + b = 4. Hoành độ đỉnh x = -b/(2a) = 3 ⟹ b = -6a. Thay vào: 2a - 6a = 4 ⟹ -4a = 4 ⟹ a = -1, b = 6. Vậy y = -x² + 6x - 5. Kiểm tra: A(0;-5) ✓; B(2;3): -4 + 12 - 5 = 3 ✓; đỉnh x = -6/(2·(-1)) = 3 ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: gốc tại trung điểm H của AB, trục Hoành là mặt đất, trục tung là trục đối xứng của cổng. Khi đó đỉnh cổng I(0;4), hai chân cổng A(-5;0), B(5;0). Parabol có dạng y = ax² + 4. Thay B(5;0): 25a + 4 = 0 nên a = -4/25 = -0,16. Vậy y = -0,16x² + 4. Điểm C cách B 1,2 m nên HC = 5 - 1,2 = 3,8, tức C(3,8;0). Chiều cao cổng tại vị trí C: y = -0,16·(3,8)² + 4 = -0,16·14,44 + 4 = -2,3104 + 4 = 1,6896 (m). Vì 1,6896 < 1,72 nên chiều cao cổng tại C thấp hơn chiều cao của bạn Khánh, do đó bạn Khánh bị chạm đầu vào cổng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần giảm giá thêm 100 000 đồng ($x\ge 0$, $x\le 20$ để giá không âm). Khi đó giá tour là $p=2000000-100000x$ (đồng) và số người tham gia là $n=200+20x$ (người).

Doanh thu:
$$T(x)=(2000000-100000x)(200+20x)$$
$$T(x)=4\cdot 10^8+4\cdot 10^{7}x-2\cdot 10^{7}x-2\cdot 10^6{x}^2=4\cdot 10^8+2\cdot 10^{7}x-2\cdot 10^6{x}^2$$

Đây là hàm bậc hai với hệ số $a=-2\cdot 10^6<0$, nên đạt giá trị lớn nhất tại
$$x=-\frac{2\cdot 10^7}{2\cdot (-2\cdot 10^6)}=5.$$

Vậy giá tour cần bán là:
$$p=2000000-100000\cdot 5=1500000\text{ đoˆˋng}.$$

Khi đó số người tham gia là $200+20\cdot 5=300$ người, doanh thu lớn nhất là $1500000\cdot 300=450000000$ đồng.

Kết luận: Công ty phải bán tour với giá $1500000$ đồng để doanh thu lớn nhất.

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, chiếc cổng là một phần của parabol $(P)$: $y=a{x}^2+bx+c$ với $a<0$. Do parabol $(P)$ đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng $x=0\Rightarrow -\frac{b}{2a}=0\iff b=0$. Chiều cao của cổng parabol là $4m$ nên $G(0;6)\Rightarrow c=6$. $\Rightarrow (P):y=a{x}^2+6$. Lại có, kích thước cửa ở giữa là $4m\times 3m$ nên $C(2;3),D(-2;3)\Rightarrow 3=4a+6\iff a=-\frac{3}{4}$. Suy ra $(P):y=-\frac{3}{4}{x}^2+6$. Ta có $-\frac{3}{4}{x}^2+6=0\iff \{\begin{array}{l}x=-2\sqrt{2}\\ x=2\sqrt{2}\end{array}$ nên $A(-2\sqrt{2};0)$, $B(2\sqrt{2};0)$ hay $AB=4\sqrt{2}(m)$.

Dựng hệ tọa độ như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với vị trí đánh của vận động viên $h(t)=a{t}^2+bt+c(a\ne 0)$. Parabol đi qua 3 điểm $A(0;6)$, $B\left(\frac{1}{2};12\right)$, $M(1;10)$. $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{0}^{2}a+0b+c=6\\ {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}a+\frac{1}{2}b+c=12\\ a+b+c=10\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-16\\ b=20\\ c=6\end{array}$$ $$\Rightarrow (P):y=-16x^2+20x+6$$ Đỉnh $I$ của parabol có $x_I=\frac{5}{8};y_I=\frac{49}{4}$. Vậy độ cao của quả bóng là $\frac{49}{4}=12,25$ ft.

Gọi $x$ (m) là khoảng cách từ tường đến hai góc chuồng (chiều rộng của chuồng) $(0<x<20)$. Gọi $y$ (m) là chiều dài song song với tường. Vì chỉ rào 3 cạnh nên: $2x+y=40$. Suy ra: $y=40-2x$. Diện tích chuồng: $S=x\cdot y=x(40-2x)=-2x^2+40x$. Đây là hàm bậc hai có $a<0$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=10$. Vậy hai góc chuồng phải cách tường 10 m để diện tích chuồng lớn nhất. Khi đó chiều dài của chuồng gà là $y=40-2x=20m$. Và diện tích lớn nhất là $S=200(m^2)$.

Gọi $x$ (m) là khoảng cách từ tường đến hai góc chuồng (chiều rộng của chuồng) $(0<x<18)$. Gọi $y$ (m) là chiều dài song song với tường. Vì chỉ rào 3 cạnh nên: $2x+y=36$. Suy ra: $y=36-2x$. Diện tích chuồng: $S=x\cdot y=x(36-2x)=-2x^2+36x$. Đây là hàm bậc hai có $a<0$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=9$. Vậy hai góc chuồng phải cách tường $9m$ để diện tích chuồng lớn nhất. Khi đó chiều dài của chuồng gà là $y=36-2x=18m$. Và diện tích lớn nhất là $S=162\left(m^2\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=x^2+2mx+m^2-2m=(x+m{)}^2-2m$, hoành độ đỉnh $x=-m$, hệ số $a=1>0$ nên parabol hướng lên. Xét ba trường hợp trên đoạn $[-1;1]$:

TH1: $-m\in [-1;1]⟺m\in [-1;1]$. Khi đó $\min y=-2m=4\Rightarrow m=-2\notin [-1;1]$, loại.

TH2: $-m<-1⟺m>1$. Hàm số nghịch biến trên $[-1;1]$ nên $\min y=y(-1)=1-2m+m^2-2m=m^2-4m+1=4\Rightarrow m^2-4m-3=0\Rightarrow m=2\pm \sqrt{7}$. Vì $m>1$ nên $m=2+\sqrt{7}$ (thỏa mãn).

TH3: $-m>1⟺m<-1$. Hàm số đồng biến trên $[-1;1]$ nên $\min y=y(1)=1+2m+m^2-2m=m^2+1=4\Rightarrow m^2=3\Rightarrow m=\pm \sqrt{3}$. Vì $m<-1$ nên $m=-\sqrt{3}$ (thỏa mãn).

Kết luận: $m=2+\sqrt{7}$ hoặc $m=-\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi h(t)=at²+bt+c. Từ h(0)=1 ⇒ c=1; h(1)=10 ⇒ a+b=9; h(3,5)=6,25 ⇒ 12,25a+3,5b=5,25. Giải hệ được a=−3, b=12, vậy h(t)=−3t²+12t+1. a) h(t)≥10 ⇔ −3t²+12t−9≥0 ⇔ t²−4t+3≤0 ⇔ 1≤t≤3, thời gian là 2 giây chứ không phải 3 giây → Sai. b) Đỉnh parabol tại t=2, h(2)=−12+24+1=13 mét → Đúng. c) h(2)=13≠12 → Sai. d) h(t)=0 ⇔ 3t²−12t−1=0 ⇒ t=(12+√156)/6≈4,08≈4,1 giây → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: S Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
h(t)=−3t²+12t+1. h(t)≥10 ⇔ 1≤t≤3 nên thời gian bóng ở độ cao ≥10 m là 2 giây, không phải 3 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol tại t=−b/(2a)=2, h(2)=−3·4+24+1=13 mét.
c) (AI giải đề cho tôi)
h(2)=13 mét, không phải 12 mét.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải −3t²+12t+1=0 được t=(12+√156)/6≈4,08≈4,1 giây.

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol $y=x^2-2x+3$ là $I(1;2)$. Gọi $A(a;a^2-2a+3)$, $B(b;0)$ với $b\ge 0$, $C(0;c)$ với $c\ge 0$. Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $\frac{a+b}{3}=1\Rightarrow b=3-a$; $\frac{a^2-2a+3+c}{3}=2\Rightarrow c=3+2a-a^2$. Điều kiện $b\ge 0\Rightarrow a\le 3$; $c\ge 0\Rightarrow a^2-2a-3\le 0\Rightarrow -1\le a\le 3$. Khi đó $T=OB+OC=b+c=(3-a)+(3+2a-a^2)=6+a-a^2$. Hàm $T(a)=-a^2+a+6$ đạt max tại $a=\frac{1}{2}$ (thỏa $[-1;3]$), giá trị $T_{\max }=6+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=6,25$. Kết quả trùng đáp án nguồn 6,25.

a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 0101, dòng 24: Đ S S Đ)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đỉnh $(1;-4)$, đi qua $(0;-3)$, cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=3$, nên $f(x)=(x-1{)}^2-4=x^2-2x-3$. a) $f(x)\ge 0$ khi $x\le -1$ hoặc $x\ge 3$; khoảng $(-2;2)$ chứa $x=-1$ nên có nghiệm → Đúng. b) $f^2(x)-5f(x)+4=0\iff f(x)=1$ hoặc $f(x)=4$; vì $\min f=-4$ và parabol có bề hướng lên, mỗi phương trình $f(x)=1$, $f(x)=4$ đều có 2 nghiệm phân biệt, tổng cộng 4 nghiệm phân biệt chứ không phải 3 → Sai. c) Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-3)$ nên $f(0)=-3$ → Đúng. d) $-\frac{5}{2}=-2,5>-4=\min f$ nên phương trình $f(x)=-\frac{5}{2}$ có hai nghiệm phân biệt → Đúng. Khớp bảng đáp án mã đề 0101 dòng 26: Đ S Đ Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(x)≥0 khi x≤-1 hoặc x≥3; khoảng (-2;2) chứa x=-1 nên có nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=1 và f(x)=4 mỗi cái cho 2 nghiệm phân biệt (vì min f=-4), tổng 4 nghiệm phân biệt, không phải 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại (0;-3) nên f(0)=-3.
d) (AI giải đề cho tôi)
-5/2 > -4 = min f nên phương trình f(x)=-5/2 có hai nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol $y=x^2-2x+3$ là $I(1;2)$. Gọi $A(a;a^2-2a+3)$, $B(b;0)$ với $b\ge 0$, $C(0;c)$ với $c\ge 0$. Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $\frac{a+b+0}{3}=1\Rightarrow b=3-a\ge 0\Rightarrow a\le 3$; và $\frac{a^2-2a+3+0+c}{3}=2\Rightarrow c=3+2a-a^2\ge 0\Rightarrow -1\le a\le 3$. Khi đó $T=OB+OC=b+c=(3-a)+(3+2a-a^2)=6+a-a^2$. Hàm số $T(a)=-a^2+a+6$ đạt giá trị lớn nhất tại $a=\frac{1}{2}$ (thỏa $-1\le a\le 3$), với $T_{\max }=6+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{25}{4}=6,25$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 6,25.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hàm số bậc hai là $f(t)=a{t}^2+bt+c$ (nghìn chiếc), với $t$ là số năm tính từ 2017. Vì $(0;1)$ là đỉnh của đồ thị nên $f(t)=a{t}^2+1$ (dạng có đỉnh tại $t=0$). Theo đề, năm 2018 ($t=1$) bán được 1,5 nghìn chiếc nên $f(1)=a+1=1,5\Rightarrow a=0,5$. Vậy $f(t)=0,5t^2+1$. Số xe vượt 41 nghìn chiếc khi $0,5t^2+1>41\iff t^2>80\iff t>\sqrt{80}\approx 8,94$. Vì $t$ nguyên và trong khoảng 10 năm kể từ 2017, giá trị nguyên nhỏ nhất là $t=9$, tức năm $2017+9=2026$. Kiểm tra: $f(9)=0,5\cdot 81+1=41,5>41$ (thỏa), còn $f(8)=33<41$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2026.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hàm số bậc hai là $f(t)=a{t}^2+bt+c$ với đỉnh $(0;1)$ nên $f(t)=a{t}^2+1$. Vì $f(1)=1,5$ nên $a+1=1,5\Rightarrow a=0,5$. Vậy $f(t)=0,5t^2+1$. Số xe vượt 41 nghìn chiếc khi $0,5t^2+1>41\iff t^2>80\iff t>\sqrt{80}\approx 8,94$. Vì $t$ nguyên nên $t=9$, tức năm $2017+9=2026$. Khớp với đáp án nguồn 2026.

(AI giải đề cho tôi)
Quỹ đạo là parabol $h(t)=a{t}^2+bt+c$. Vì bóng được đá từ độ cao 1,2 m nên $c=1,2$. Với $t=1$: $a+b+1,2=8,5\Rightarrow a+b=7,3$. Với $t=2$: $4a+2b+1,2=6\Rightarrow 2a+b=2,4$. Suy ra $a=-4,9$, $b=12,2$. Bóng chạm đất khi $h(t)=0$: $-4,9t^2+12,2t+1,2=0$, tức $4,9t^2-12,2t-1,2=0$. $\Delta =12,2^2+4\cdot 4,9\cdot 1,2=148,84+23,52=172,36$, $\sqrt{172,36}\approx 13,1282$. Nghiệm dương: $t=\frac{12,2+13,1282}{9,8}\approx 2,5845\approx 2,58$ giây. Vậy chọn C, khớp với đáp án nguồn.

Xây dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ:



Bài toán đưa về: Xác định tung độ đỉnh của parabol $y=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$, biết parabol đi qua các điểm $O(0;0)$, $A(1;3)$, $B(3;3)$. (0,5 điểm)

Ta có hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}a.0+b.0+c=0\\ a.1+b.1+c=3\\ a.9+b.3+c=3\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\\ c=0\end{array}\Rightarrow \text{Parabol }y=-x^2+4x\text{ coˊ đỉnh }I(2;4).$$
Vậy vị trí cao nhất của pano so với mặt đất là $4m$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị vận tốc là parabol có đỉnh I(1/2; 8), trục đối xứng song song trục tung nên có dạng $v(t)=a{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+8$. Theo hình vẽ, đồ thị cắt trục hoành tại $t=1$ (và đi qua gốc $O$), nên $v(1)=0$: $a\cdot \frac{1}{4}+8=0\Rightarrow a=-32$. Vậy $v(t)=-32{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+8$. Kiểm tra: $v(0)=-32\cdot \frac{1}{4}+8=0$ (phù hợp đồ thị đi qua gốc tọa độ). Tại $t=0,25$: $v(0,25)=-32{\left(0,25-0,5\right)}^2+8=-32\cdot 0,0625+8=-2+8=6$ (m/h).