Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) $g(x)=x^2-3x+1$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục tại $x_0=1$ → Sai. b) Với $x>1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x-1}$, nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$, trong khi $f(1)=-\frac{1}{2}$; giới hạn bên phải không tồn tại (hữu hạn) nên $f$ gián đoạn tại $x_0=1$ → Sai. c) Vì $f$ gián đoạn tại $x_0=1$ và $g$ liên tục tại đó, tổng $y=f(x)-g(x)$ cũng gián đoạn tại $x_0=1$ (cùng lập luận: ${\lim }_{x\to 1^{+}}(f(x)-g(x))=-\infty$) → Đúng. d) Theo định nghĩa, $f(1)=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, đặc biệt liên tục tại $x_0=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x-1}$ nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty \ne f(1)=-\frac{1}{2}$; $f$ gián đoạn tại $x_0=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f$ gián đoạn tại $x_0=1$ (giới hạn phải $-\infty$) còn $g$ liên tục, nên $y=f(x)-g(x)$ cũng gián đoạn tại $x_0=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hàm số, $f(1)=-\frac{1}{2}$, không phải $\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng $f(-1)$.

Giới hạn trái: với $x<-1$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{x^3+x^2+4x+4}{x^2-1}$. Phân tử phân tích: $x^3+x^2+4x+4=x^2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x^2+4)$; mẫu $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Vậy giới hạn $={\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{x^2+4}{x-1}=\frac{1+4}{-1-1}=-\frac{5}{2}$.

Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{3x+a}{x+3}=\frac{-3+a}{2}$.

Liên tục tại $x=-1$ yêu cầu $\frac{a-3}{2}=-\frac{5}{2}\Rightarrow a-3=-5\Rightarrow a=-2$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: $a=-2$.

Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty ;4)$ và $(4;+\infty )$. $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}\right)}{(x-4)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}\right)}=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}}=\frac{1}{6}$. $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{(a+2)x}{4}=a+2$. $f(4)=a+2$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ ta cần tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x=4$. Do đó: $a+2=\frac{1}{6}\iff a=-\frac{11}{6}$.

Hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty ;4)$ và $(4;+\infty )$. $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}\right)}{(x-4)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}\right)}=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5}}=\frac{1}{6}$. $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{(a+2)x}{4}=a+2$. $f(4)=a+2$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ ta cần tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x=4$. Do đó: $a+2=\frac{1}{6}\iff a=-\frac{11}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=-1$: $f(-1)=2025(-1)+2026=1$. Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{\sqrt{3+2x}-1}{x+1}={\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2}{\sqrt{3+2x}+1}\cdot \frac{x+1}{x+1}=\frac{2}{2}=1$ (nhân liên hợp). Vậy hàm số liên tục tại $x=-1$, mệnh đề A đúng. Với $x>-1$, hàm $\frac{\sqrt{3+2x}-1}{x+1}$ liên tục trên $(-1;+\infty )$ vì mẫu $x+1\ne 0$, nên hàm liên tục tại $x=0$ và $x=1$: mệnh đề B sai, D đúng. Với $x\le -1$, hàm bậc nhất $2025x+2026$ liên tục, nên liên tục tại $x=-5$: C đúng. Mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x=6>3: f(6)=(√(6−2)−1)/(6−3)=(2−1)/3=1/3, không phải −1/3 → Sai.
b) Với x→2 (x≤3): lim f(x)=2k+13/2, phụ thuộc k và không bằng 1 → Sai.
c) lim_{x→3+}(√(x−2)−1)/(x−3): nhân liên hợp, (√(x−2)−1)/(x−3)=1/(√(x−2)+1)→1/(1+1)=1/2. Phân số tối giản m/n=1/2 nên 3m+n²=3·1+2²=7 → Đúng.
d) Liên tục tại x=3 yêu cầu 3k+13/2=1/2 ⇒ 3k=−6 ⇒ k=−2, không phải k=2 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(6)=(√4−1)/3=1/3≠−1/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→2}f(x)=2k+13/2, không xác định bằng 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→3+}f(x)=1/(√(x−2)+1)|_{x=3}=1/2, nên 3·1+2²=7.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần 3k+13/2=1/2 ⇒ k=−2, không phải k=2.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x=11>4: f(11)=(√16−3)/(11−4)=(4−3)/7=1/7 → Đúng.
b) Với x→−1 (x≤4): lim f(x)=k·(−1)+25/6=−k+25/6. Với k=−1 (giá trị làm hàm liên tục) ta được 31/6≠1/5 → Sai.
c) lim_{x→4+}(√(x+5)−3)/(x−4)=lim 1/(√(x+5)+3)=1/6. Vậy m=1, n=6, 2m+n=8≠13 → Sai.
d) Liên tục tại x=4 yêu cầu 4k+25/6=1/6 ⇒ 4k=−4 ⇒ k=−1 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(11)=(√16−3)/7=1/7.
b) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→−1}f(x)=−k+25/6=31/6 (k=−1) ≠ 1/5.
c) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→4+}f(x)=1/6 nên 2m+n=8≠13.
d) (AI giải đề cho tôi)
4k+25/6=1/6 ⇒ k=−1.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<2$: $f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{3-x}-1}$ liên tục trên $(-1;1)$ vì mẫu số $\sqrt{3-x}-1\ne 0$ khi $x<2$ (do $\sqrt{3-x}>1$). Do đó A sai. Tại $x=2$: nhân liên hợp $\frac{x-2}{\sqrt{3-x}-1}=\frac{(x-2)(\sqrt{3-x}+1)}{(3-x)-1}=-(\sqrt{3-x}+1)$, nên ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-(1+1)=-2=f(2)$; hàm liên tục tại $x=2$, nên B sai. Với $x\ge 2$: $f(x)=-x$ liên tục, và trên $(3;5)$ hàm $-x$ liên tục nên D sai. Vậy $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=e^0=1=f(0)=m$, suy ra $m=1$ (a đúng).

Với $x<0$: $F(x)=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$. Từ $F(-1)=\frac{1}{2e^2}$ ta được $\frac{1}{2}{e}^{-2}+C=\frac{1}{2}{e}^{-2}\Rightarrow C=0$, vậy $F(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}$ với $x<0$, không phải $\frac{1}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{e^2}$ (b sai).

Do $F$ liên tục tại $0$: $F(0)=\frac{1}{2}{e}^0=\frac{1}{2}$. Với $x\ge 0$: $F(x)=\frac{x^2}{2}+x+C^{\prime }$, và $C^{\prime }=F(0)=\frac{1}{2}$. Suy ra $F(1)=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=2$, trong khi $\frac{4e^2-1}{2e^2}=2-\frac{1}{2e^2}\ne 2$ (c sai).

Với $x<0$: $F(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}>0$; với $x\ge 0$: $F(x)=\frac{1}{2}{x}^2+x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x+1{)}^2>0$. Vậy $F(x)>0$ với mọi $x$, đồ thị không có điểm chung với trục hoành (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
f liên tục tại x=0 nên m=f(0)=lim e^{2x}=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=½e^{2x}+C, F(-1)=½e^{-2} cho C=0, vậy F(x)=½e^{2x}, không có số hạng -1/e².
c) (AI giải đề cho tôi)
F(0)=½, với x≥0: F(x)=½x²+x+½, nên F(1)=2 ≠ (4e²−1)/(2e²)=2−1/(2e²).
d) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=½e^{2x}>0 với x<0 và F(x)=½(x+1)²>0 với x≥0, nên F không có nghiệm trên trục hoành.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x=1$. Ta có $f(1)=-1+2=1$. Để giới hạn trái tồn tại, tử số phải triệt tiêu tại $x=1$: $2(1{)}^3+a(1{)}^2+b(1)-1=0$, tức $a+b=-1$. Khi đó giới hạn trái bằng đạo hàm của tử số tại $x=1$ (quy tắc L'Hôpital hoặc chia đa thức): $6(1{)}^2+2a(1)+b=6+2a+b=1$, suy ra $2a+b=-5$. Trừ hai phương trình: $a=-4$, suy ra $b=3$. Vậy $a-b=-4-3=-7$. Kiểm tra: $2x^3-4x^2+3x-1$ chia cho $(x-1)$ được $2x^2-2x+1$, giới hạn trái tại $x=1$ bằng $2-2+1=1=f(1)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ nên ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=4+a$. Vì mẫu số $x-1$ tiến về 0, để giới hạn hữu hạn thì tử số phải triệt tiêu tại $x=1$: $1-a+b=0\Rightarrow b=a-1$. Khi đó $x^2-ax+b=(x-1)(x+1-a)$, suy ra ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2-a$. Liên tục tại $x=1$: $2-a=4+a\Rightarrow a=-1$, $b=-2$. Vậy $P=a+2b=-1+2(-2)=-5$.

* $x^2+ax+b=0$ có nghiệm $x=-2$. Suy ra $-2a+b=-4\Rightarrow b=2a-4$.
* $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2+ax+2a-4}{x^2-4}=1-\frac{a}{4}$
* $f(-2)=0$ nên $1-\frac{a}{4}=0\Rightarrow a=4$.
* $b=4$.
Vậy $a+2b=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì f liên tục trên [a;b] và f(a)f(b)>0 vẫn có thể có nghiệm trong (a;b) khi đồ thị chạm trục hoành (ví dụ f(x)=(x-c)^2 với c∈(a;b), f(a)f(b)>0 nhưng f(c)=0). B sai vì thiếu giả thiết f liên tục trên [a;b]; nếu f không liên tục thì f(a)f(b)<0 chưa đảm bảo có nghiệm. C đúng: f liên tục và tăng trên [a;b] nên với mọi x∈(a;b) có f(a)<f(x)<f(b) (hoặc f(a)>f(x)>f(b) nếu giảm, nhưng ở đây tăng). Vì f(a)f(b)>0 nên f(a), f(b) cùng dấu, do đó mọi giá trị f(x) nằm giữa f(a) và f(b) đều khác 0, tức f(x)=0 vô nghiệm trên (a;b). D sai vì nghiệm của phương trình không đòi hỏi hàm phải liên tục (hàm có thể gián đoạn nhưng vẫn có nghiệm). Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề theo định lý giá trị trung gian (định lý Bolzano). Mệnh đề 1: hàm chỉ liên tục trên khoảng mở $(a;b)$, chưa liên tục trên đoạn đóng $[a;b]$, nên không thể kết luận tồn tại $x_0\in (a;b)$ với $f(x_0)=0$. Ví dụ phản ví dụ: $f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x=a\\ x-a-\frac{b-a}{2},& x\in (a;b)\\ 1,& x=b\end{array}$ liên tục trên $(a;b)$, có $f(a)f(b)=-1<0$ nhưng không có nghiệm trong $(a;b)$ nếu chọn sao cho giới hạn hai bên cùng dương (ví dụ $f(x)={\left(x-\frac{a+b}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$ trên $(a;b)$, $f(a)=-1$, $f(b)=1$ thì $f(a)f(b)<0$ nhưng $f(x)>0$ trên $(a;b)$). Vậy mệnh đề 1 SAI. Mệnh đề 2: hàm liên tục trên đoạn đóng $[a;b]$ và $f(a)f(b)<0$ thì theo định lý giá trị trung gian, tồn tại $x_0\in (a;b)\subset [a;b]$ với $f(x_0)=0$, tức phương trình $f(x)=0$ có nghiệm. Vậy mệnh đề 2 ĐÚNG. Mệnh đề 3: từ mệnh đề 2, phương trình có nghiệm; vì $f$ đơn điệu trên $[a;b]$ nên nghiệm không thể có hai giá trị phân biệt (nếu $x_1<x_2$ cùng là nghiệm thì $f(x_1)=f(x_2)=0$, mâu thuẫn với đơn điệu ngặt). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất, mệnh đề 3 ĐÚNG. Kết luận: có đúng một mệnh đề sai (mệnh đề 1), đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 3$: $y=\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\frac{(x-3)(x-4)}{x-3}=x-4$, nên $\underset{x\to 3}{\lim }y=3-4=-1=f(3)$, do đó hàm số liên tục tại $x_0=3$. Đạo hàm tại $x_0=3$: $y^{\prime }(3)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-4)-(-1)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x-3}=1$, tồn tại. Vậy hàm số liên tục và có đạo hàm tại $x_0=3$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $x>1$ thì $x+3>4>0$, với $x\le 1$ hàm $-x^2+m$ xác định với mọi $x$, nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ → Đúng. b) Theo định nghĩa, $f(1)=-1^2+m=-1+m$ → Đúng. c) ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(-x^2+m)=-1+m\ne 1+m$ → Sai. d) ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}\ne -\frac{3}{4}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $x+3>0$ nên căn thức xác định; với $x\le 1$, $-x^2+m$ luôn xác định. Vậy hàm xác định trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $1\le 1$ nên $f(1)=-1^2+m=-1+m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(-x^2+m)=-1+m$, không phải $1+m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, không phải $m=-\frac{3}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục tại $x=-5$ và $x=10$. Tại $x=-5$: giới hạn trái bằng $25-5m+n$ phải bằng $f(-5)=12$, suy ra $n-5m=-13$. Tại $x=10$: giới hạn phải bằng $10m+n+10$ phải bằng $f(10)=27$, suy ra $10m+n=17$. Trừ hai phương trình: $15m=30$ nên $m=2$, $n=-3$. a) $f(-5)=-5+17=12$, $f(10)=10+17=27$: đúng. b) $m=2>0$ nhưng $n=-3<0$: sai. c) $2m+n=4-3=1$ không phải số nguyên tố: sai. d) GTLN của $y=2\sin x-3\cos x$ là $\sqrt{2^2+(-3{)}^2}=\sqrt{13}$ khác $\sqrt{12}$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(-5)=-5+17=12$ và $f(10)=10+17=27$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ điều kiện liên tục: $n-5m=-13$ và $10m+n=17$, giải được $m=2$, $n=-3$. Vậy $m>0$ nhưng $n<0$, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2m+n=2\cdot 2+(-3)=1$, không phải số nguyên tố, mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
GTLN của $y=m\sin x+n\cos x=2\sin x-3\cos x$ là $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$, khác $\sqrt{12}$, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=2$ nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-ax+b}{x-2}=f(2)=5$. Để giới hạn tồn tại (hữu hạn), tử số phải triệt tiêu tại $x=2$: $4-2a+b=0$, tức $x^2-ax+b=(x-2)(x+2-a)$. Khi đó giới hạn bằng $\underset{x\to 2}{\lim }(x+2-a)=4-a=5\Rightarrow a=-1$. Suy ra $b=2a-4=-6$. Vậy $a+2b=-1+2(-6)=-13$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=(1-m^2)x^5-3x-1$, hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ với mọi $m$.

Trường hợp 1: $m=\pm 1$ (tức $1-m^2=0$). Khi đó phương trình trở thành $-3x-1=0\iff x=-\frac{1}{3}$, nên phương trình có nghiệm.

Trường hợp 2: $m\ne \pm 1$, khi đó $a=1-m^2\ne 0$ và $f$ là đa thức bậc 5 (bậc lẻ) với hệ số dẫn $a$.
- Nếu $a>0$: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.
- Nếu $a<0$: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$.

Trong cả hai trường hợp, do $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và các giới hạn trái dấu, theo định lý giá trị trung gian (hệ quả về nghiệm của đa thức bậc lẻ), tồn tại $x_0\in \mathbb{R}$ sao cho $f(x_0)=0$.

Vậy với mọi $m$, phương trình $(1-m^2)x^5-3x-1=0$ luôn có nghiệm.