Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Điều kiện xác định: $0<x<1$ hoặc $x>9$. Khi đó $m=2^x\in (1;2)\cup (512;+\infty )$. Vì $m\in \mathbb{Z}\cap [-2021;2021]$ nên $m\in \{513;514;\dots ;2021\}$, có $1509$ giá trị.

Đặt $4^a=25^b=10^c=k$ ($k>0,k\ne 1$).
Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế:
$a\log 4=b\log 25=c\log 10=\log k\Rightarrow \frac{c}{a}=\frac{\log 4}{\log 10}=\log 4$ và $\frac{c}{b}=\frac{\log 25}{\log 10}=\log 25$.
Khi đó:
$T=\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=\log 4+\log 25=\log (4\cdot 25)=\log 100=2$.

Chọn đáp án C.

Phương trình viết lại: $3\cdot (3^x{)}^2-4m\cdot 3^x+m+2=0$.
Đặt $t=3^x$ ($t>0$), ta được phương trình bậc hai: $3t^2-4mt+m+2=0$ (1).
Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2=1$, thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2>0$ thỏa mãn:
$t_1{t}_2=3^{x_1}\cdot 3^{x_2}=3^{x_1+x_2}=3^1=3$.
Theo định lý Vi-et: $t_1{t}_2=\frac{m+2}{3}=3⟺m+2=9⟺m=7$.
Thử lại với $m=7$:
Phương trình (1) trở thành: $3t^2-28t+9=0$.
Ta có ${\Delta }^{\prime }=(-14{)}^2-3\cdot 9=196-27=169>0$.
Nghiệm $t_1,t_2=\frac{14\pm 13}{3}⟹t_1=9,t_2=\frac{1}{3}$ (đều dương, thỏa mãn).
Vậy $m=7$.

Chia hai vế cho $2^x$ và đặt $t={\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)}^x>0$, phương trình trở thành $t+\frac{6}{t}=5\iff t=2$ hoặc $t=3$. Vì $\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1,618<2<3$ nên cả hai giá trị $t=2$ và $t=3$ đều cho nghiệm $x>1$.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn A. Điều kiện: $x>1,x\ne 3$. Phương trình tương đương ${\log }_2[(x-1)(x-3){]}^2=0\iff (x-1)(x-3)=\pm 1\iff x=2+\sqrt{2}$ (nhận), $x=2-\sqrt{2}$ (loại), hoặc $x=2$ (nhận). Tổng các nghiệm bằng $4+\sqrt{2}$.

Đặt $t=4^x$ ($t>0$). Phương trình trở thành: $t^2-2(m+1)t+3m-8=0$ (*). Phương trình ban đầu có hai nghiệm $x_1<0<x_2$ khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2$ thỏa mãn $0<t_1<1<t_2$. Điều kiện tương đương: $1\cdot f(1)<0$ và $f(0)>0$ với $f(t)=t^2-2(m+1)t+3m-8$. Ta có $f(1)=1-2(m+1)+3m-8=m-9<0\iff m<9$. Và $f(0)=3m-8>0\iff m>\frac{8}{3}$. Kết hợp lại: $\frac{8}{3}<m<9$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{3;4;5;6;7;8\}$. Có tất cả 6 giá trị nguyên của $m$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 8), chọn A.

Chọn A

x  -4  x  0
x2 + 4x  0 
Điều kiện: $\iff$ 3 $\iff$ x0
2 x + 3  0  x  -
2

log 3 ( x 2 + 4 x ) + log 1 ( 2 x + 3) = 0 $\iff$ log 3 ( x 2 + 4 x ) - log 3 ( 2 x + 3) = 0
3

 x2 + 4x  x2 + 4x x = -1
$\iff$ log 3  =0 $\iff$ = 1 $\iff$ x2 + 2x - 3 = 0 $\iff$ .
 2x + 3  2x + 3 x = 3

Đối chiếu với điều kiện ta có x = 3 .

Chọn D
Ta có 4 x - m.2 x+1 + 2m = 0 $\iff$ 4 x - 2m.2 x + 2m = 0 (1)
Đặt t = 2 x ( t  0 ) .

Phương trình (1) t 2 - 2mt + 2m = 0 ( 2 ) .

Để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 $\iff$ Phương trình (2) có hai nghiệm t1 , t2 dương

$\Delta$ ' = m 2 - 2m  0 m  2
 
$\iff$ S = 2m  0 $\iff$ m  0 $\iff$ m  2 .
 P = 2m  0 m  0

Ta có x1 + x2 = 3 $\Rightarrow$ log 2 t1 + log 2 t2 = 3 $\iff$ log 2 ( t1t2 ) = 3 $\iff$ t1t2 = 8 $\iff$ 2m = 8 $\iff$ m = 4 (TM ) .

Chọn D
Điều kiện: x  0.
Đặt t = log 3 x $\Rightarrow$ x = 3t.
Phương trình trở thành: t 2 - ( m + 2 ) t + 3m - 1 = 0 (1)
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\iff$ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

m  4 - 2 2
$\iff$ $\Delta$  0 $\iff$ ( m + 2 ) - 4 ( 3m - 1)  0 $\iff$ m 2 - 8m + 8  0 $\iff$ ( *)
2

m  4 + 2 2
Với điều kiện (*) phương trình (1) có hai nghiệm t1 , t2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
x1 , x2 với x1 = 3t1 , x2 = 3t2 .
Ta có: x1 x2 = 27 $\iff$ 3t1 +t2 = 27 $\iff$ t1 + t2 = 3 .
Áp dụng định lí Vi-et với phương trình (1) ta có: t1 + t2 = m + 2 = 3 $\iff$ m = 1 (thoả).
t = 1 $\Rightarrow$ x1 = 3
Với m = 1 : (1) $\iff$ t 2 - 3t + 2 = 0 $\iff$ 1
t2 = 2 $\Rightarrow$ x2 = 9
Khi đó: 2 x1 + x2 = 2.3 + 9 = 15.

Điều kiện: $3\cdot 2^x-1>0⟺2^x>\frac{1}{3}$.
Phương trình tương đương:
$3\cdot 2^x-1=2^{2x+1}=2\cdot (2^x{)}^2$.
Đặt $t=2^x>\frac{1}{3}$, phương trình trở thành:
$2t^2-3t+1=0⟺[<table><tbody><tr><td>t=1</td></tr><tr><td>t=\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>$ (cả hai đều thỏa mãn).
Với $t=1⟹2^x=1⟹x=0$.
Với $t=\frac{1}{2}⟹2^x=2^{-1}⟹x=-1$.
Tổng các nghiệm là $0+(-1)=-1$.
Chọn đáp án C.

Chọn A.
Phương trình đã cho: $4^x-m\cdot 2^x+3m-5=0$ (1).
Đặt $t=2^x>0$. Phương trình (1) trở thành: $f(t)=t^2-mt+3m-5=0$ (2).
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu $x_1<0<x_2\iff$ phương trình (2) có hai nghiệm $t_1,t_2$ thỏa mãn $0<t_1<1<t_2$.
Điều kiện tương đương:
$\{\begin{array}{l}1\cdot f(1)<0\\ S=m>0\\ P=3m-5>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1-m+3m-5<0\\ m>0\\ m>\frac{5}{3}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2m-4<0\\ m>\frac{5}{3}\end{array}\iff \frac{5}{3}<m<2.$
Suy ra khoảng giá trị của $m$ là $\left(\frac{5}{3};2\right)$, tức $a=\frac{5}{3}$ và $b=2$.
Vậy $a-b=\frac{5}{3}-2=-\frac{1}{3}$.

Ta có $(2-3i)z=(2-3i)(x+yi)=2x+3y+(2y-3x)i$ là số thực $\iff 2y-3x=0\iff y=\frac{3x}{2}$.
Mặt khác $|(3-i)z+1-7i|=10\iff |3-i|\cdot \left|z+\frac{1-7i}{3-i}\right|=10\iff \sqrt{10}|z+1-2i|=10\iff (x+1{)}^2+(y-2{)}^2=10$.
Thay $y=\frac{3x}{2}$ vào ta được $(x+1{)}^2+{\left(\frac{3x}{2}-2\right)}^2=10\iff 13x^2-16x-20=0\iff x=2$ (vì $x>0$, loại $x=-\frac{10}{13}$). Vậy $x=2\in (0;3)$.

a) Đúng: $M(6)=75-20\ln 7\approx 36,08\%\approx 36\%$.
b) Đúng: $M^{\prime }(t)=-\frac{20}{t+1}<0$ với mọi $t\in [0;12]$, nên hàm số nghịch biến trên $[0;12]$.
c) Sai: Từ $M=75-20\ln (t+1)\iff \ln (t+1)=\frac{75-M}{20}\iff t=e^{\frac{75-M}{20}}-1$.
d) Sai: $M(t)<25\iff \ln (t+1)>2,5\iff t>e^{2,5}-1\approx 11,18$, nên sau $10$ tháng khả năng nhớ trung bình vẫn là $M(10)=75-20\ln 11\approx 27,04\%>25\%$.
Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, Phần II Câu 1, trang 9): Đ, Đ, S, S.

**Chọn D**

Phương trình $4^x-2m\cdot 2^x+3m-6=0$ (1).
Đặt $t=2^x$ ($t>0$). Phương trình (1) trở thành $t^2-2mt+3m-6=0$ (2).
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm thỏa mãn $0<t_1<1<t_2$.
Điều kiện:
$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=m^2-3m+6>0\text{ (luoˆn đuˊng)}\\ t_1{t}_2=3m-6>0\\ 1\cdot f(1)=1-2m+3m-6<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>2\\ m<5\end{array}\iff 2<m<5$.
Do $m$ nguyên nên $m\in \{3;4\}$, có $2$ giá trị nguyên thỏa mãn.

Chia hai vế cho $4^x>0$, phương trình trở thành ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}-{\left(\frac{3}{2}\right)}^x=m$. Đặt $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$, với $x\in [-1;1]$ thì $t\in \left[\frac{2}{3};\frac{3}{2}\right]$. Xét $g(t)=t^2-t$ trên $\left[\frac{2}{3};\frac{3}{2}\right]$, ta có $\min g(t)=g\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{9}$ và $\max g(t)=g\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{4}$. Vậy $m\in \left[-\frac{2}{9};\frac{3}{4}\right]$, nên chỉ có $1$ giá trị nguyên là $m=0$.

**Chọn A**

Đặt $t=3^x>0$. Phương trình trở thành: $t^2+(m+2)t+m+1=0\iff (t+1)(t+m+1)=0$.
Vì $t>0$ nên $t+1>0$. Phương trình có nghiệm dương duy nhất khi và chỉ khi:
$t=-(m+1)>0\iff m+1<0\iff m<-1$.
Kết hợp điều kiện $m\in (-10;10)$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2\}$, gồm 8 giá trị nguyên.

Ta có $(1+i)(2+i)=1+3i$ và $(5-i)(1+i)=6+4i$. Phương trình trở thành $(1+3i)z+1-i=6+4i\iff (1+3i)z=5+5i\iff z=\frac{5+5i}{1+3i}=2-i$. Khi đó $w=(z+1{)}^2=(3-i{)}^2=8-6i\Rightarrow |w|=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}=10$. Chọn đáp án A.

Đặt ${\log }_{a}b=t$. Do $1<a<b\Rightarrow {\log }_{a}b>1\Rightarrow t>1$. Áp dụng BĐT Cô-si cho $2$ số dương $t-1;\frac{1}{t-1}$:
Ta có: $P=t+\frac{1}{t-1}=\left(t-1+\frac{1}{t-1}\right)+1\ge 2\sqrt{(t-1).\frac{1}{t-1}}+1=3$.
Dấu "$=$" xảy ra $\iff t-1=\frac{1}{t-1}\iff t=2$. Vậy GTNN của $P$ bằng $3$ khi $b=a^2$.

Điều kiện của phương trình $x>0$.
Ta có ${\log }_3^2(3x)-2{\log }_3{x}^2=\frac{x^2-6x+9}{4}\iff (1+{\log }_{3}x{)}^2-4{\log }_{3}x={\left(\frac{x-3}{2}\right)}^2\iff (1-{\log }_{3}x{)}^2={\left(\frac{x-3}{2}\right)}^2\iff [<table><tbody><tr><td>{\log }_{3}x=\frac{-x+5}{2}(2)</td></tr><tr><td>{\log }_{3}x=\frac{x-1}{2}(3)</td></tr></tbody></table>$.
+ Phương trình $(2)$ có nghiệm duy nhất $x=3$ vì hàm số $y={\log }_{3}x$ đồng biến, hàm số $y=\frac{-x+5}{2}$ nghịch biến.
+ Xét $g(x)={\log }_{3}x-\frac{x-1}{2}$ có $g^{\prime \prime }(x)=\frac{-1}{x^2\ln 3}<0$, nên phương trình $(3)$ có không quá $2$ nghiệm. Thử trực tiếp thấy $(3)$ có $2$ nghiệm $x=1,x=3$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $\{1;3\}$ và tổng các nghiệm là $1+3=4$.

Ta có $a^2+b^2=7ab\iff (a+b{)}^2=9ab$. Lấy ${\log }_3$ hai vế: ${\log }_3(a+b{)}^2={\log }_3(9ab)\iff 2{\log }_3(a+b)={\log }_{3}9+{\log }_{3}a+{\log }_{3}b=2+{\log }_{3}a+{\log }_{3}b\iff {\log }_3(a+b)=1+\frac{1}{2}({\log }_{3}a+{\log }_{3}b)$. Chọn B.